[PDF] Feuille de TD 6 : Normes matricielles subordonnées rayon

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L3 Mathématiques 2020/2021 Calcul Matriciel : Feuille de TD 6 Feuille de TD 6 : Normes matricielles subordonnées, rayon spectral, conditionnement Exercice 1Déterminer les normes}}1,~~1,}}8,~~8des matricesA:1 2 0 2

PM2pRq

etB: 2 1 1 31 0
4 02

PM3pRq.

Solution :

•La norme} }1est la somme des modules des coefficients :}A}1 |1| |2| |0| |2| 5 et}B}114. •La norme} }8est le maximum des modules des coefficients :}A}82et}B}84. •La norme~ ~1est la norme subordonnée à la norme} }1des vecteurs colonnes. Un théorème la calcule comme le maximum de la norme}}1des vecteurs colonnes :~A~1 maxt10;22u 4et~B~1maxt9;2;3u 9. •La norme~ ~8est la norme subordonnée à la norme} }8des vecteurs colonnes. Un théorème la calcule comme le maximum de la norme} }1des vecteurs lignes :~A~8 maxt12;02u 3et~B~1maxt4;4;6u 6. Exercice 2SoitKRouCet soitnPNzt0;1u. Les questions suivantes sont indépendantes. 1. T outen ormesur MnpRqest-elle une norme subordonnée? Solution :La norme} }8surMnpRqn"est pas une norme matricielle : elle n"est donc pas une norme subordonnée. 2. Existe-t-il une nor me}}surMnpKqtelle que, pour tousA;BPMnpRq,}AB} }A}}B}?

Solution :La matrice nilpotenteN:

0 01 0 00 0 00 vérifie pour toute norme}}sur M npKq }NN} }0} }N}}N}:

Il n"existe donc pas de telle norme.

1 L3 Mathématiques 2020/2021 Calcul Matriciel : Feuille de TD 6 Exercice 3Déterminer le rayon spectral des matrices deM3pRq A: 3 1 0 41 0
4 82 B: 1 0 0 2 0 2 52 0
C: 1 42 0 63 1 4 0

Solution :

•p2qest une valeur propre deA. La somme des deux autres est3 p1q 211et leur produit3 p1q p4q 1111. L"entier1est donc valeur propre double. Le rayon spectral, maximum des modules des valeurs propres, est donc2. •Les valeurs propres deB(ou de sa transposéetB: 1 25 0 02 0 2 0 ) sont1,2iet2i. Le rayon spectral deBest donc2. •Le polynôme caractéristique deCestpX2q2p3Xq. Le rayon spectral deCest donc3. Exercice 4Déterminer les normes} }2et~ ~2des matricesC:1 0 1 1

PM2pRqet

D: 1 1 2 1 2 1 211

PM3pRq.

Solution :

•La norme} }2est la racine carrée de la somme des carrés des modules des coeffi- cients :}C}2?111?3et}D}2a3 p114q 3?2. •La norme~ ~2est la norme subordonnée à la norme} }2des vecteurs colonnes. Un théorème calcule~A~2comme la racine carrée du rayon spectral detAA: On trouve successivement, la matrice symétrique tCC21 1 1 , son polynôme ca- ractéristiquetCCpXq X23X1dont les racines sont3?5 2 et3?5 2 , le rayon spectral de tCCsoitptCCq 3?5 2 et enfin la norme~C~2aptCCq b3?5 2

On trouve

tDD 6 5 5 5 6 5 5 5 6

I5JavecJ:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 de valeurs propres0(de multiplicité2dansJpXq) et3. Les valeurs propres detDDsont donc1501et

15316. Donc,~D~2aptDDq ?164.

2 L3 Mathématiques 2020/2021 Calcul Matriciel : Feuille de TD 6 Exercice 5Pour chacune des matricesAsuivantes, la suiteAk kPNconverge-t-elle? 1 0 41
012 12 0 1 42 0 63 1 4 0

Solution :

•Le spectre deAestt1;1u: celui deAkest donc1ett1;p1qkuqui constitue une suite d"ensembles sans limite. La suiteAk kPNne converge donc pas. Autre démarche : On calcule (on peut aussi noter que le polynôme caractéristiqueX21 annuleA) A

2nI2etA2n11 0

41
Les deux sous-suites de termes d"indices pairs et impairs sont constantes donc convergentes mais vers des limites distinctes. La suiteAk kPNne converge donc pas. •L"image dee1e2est12 pe1e2q: par conséquent12 est valeur propre deA. L"autre, déterminée par la trace, est 12 . Le rayon spectral deAest donc12

1et la suitepAkqkPN

est donc convergente vers la matrice nulle.

Autre démarche : On calcule

A 2n12

2nI2etA2n1 12

2n1 0 1 1 0 Les deux sous-suites de termes d"indices pairs et impairs convergent toutes les deux vers la même limite, la matrice nulle : la suitepAkqkPNest donc convergente vers la matrice nulle. •Le polynôme caractéristique deAestp3XqpX2q2. Le rayon spectral deAest stricte- ment plus grand que1: la suitepAk kPNne converge donc pas, car la suite des spectres pt3k;2kuqkPNde ces matrices trigonalisables n"a pas d"ensemble limite. Exercice 6SoientKRouC,mPNzt0;1uetAPMmpKq. Le but de l"exercice est de montrer que la série¸ nAndeMmpKqconverge si et seulement sipAq 1. 1.

Mon trerque si la série

nAnconverge alorspAq 1.

Solution :Si la suite¸

nAnconverge, alors son terme généralAntend vers la matrice nulle. Par théorème, le rayon spectral deAest donc strictement plus petit que1. 3 L3 Mathématiques 2020/2021 Calcul Matriciel : Feuille de TD 6 2. Mon trerque si pAq 1alors la matriceImAdeMmpKqest inversible. Solution :SipAq 1alors les valeurs propres deAsont toutes de module strictement plus petit que1. En particulier,1n"est pas une valeur propre deAetImAest inversible. 3.

Mon trerque, p ourtout nPN,pImAqn¸

k0A kImAn1.

Solution :

pImAqn¸ k0A kn¸ k0A kn¸ k0A k1n¸ k0A kn1¸ k1A kImAm1: 4.

En déduire le résultat rec herché.

Solution :La question 1 montre l"implication directe. Réciproquement, sipAq 1, alors par les questions 2 et 3, pour toutnPN,°n k0Ak pImAq1pImAn1q. Par théorème, puisquepAq 1, la suitepAn1qnPNtend vers0. Ainsi la suitep°n k0AkqnPN est convergente et tend verspImAq1: donc¸ nAnconverge verspImAq1.

Exercice 7On considère la matriceA:1 0

0 10 6 deM2pRq. 1.

Déterminer cond1pAq,cond8pAqetcond2pAq.

Solution :Comme les matricesAetA1sont diagonales, leurs normes subordonnées

1,~ ~2et~ ~8coïncident.

cond

1pAq ~A~1~A1~11106106cond8pAq cond2pAq:

2.

Résoudre les systèmes

•AXBavecB:1 10 6

Solution :SoitXPR2. CommeAest inversible,

AXBðñXA1BðñX1

1 •AYBBoùB:106 0

Solution :SoitYPR2. CommeAest inversible,

AYBBðñYA1pBBq ðñYA1BA1BðñY1106

1 4 L3 Mathématiques 2020/2021 Calcul Matriciel : Feuille de TD 6 •AZBBoùB:0 10 6

Solution :SoitZPR2. CommeAest inversible,

AZBBðñZA1pBBq ðñZA1BA1BðñZ1

2 3.

Déterminer les erreurs relativ es

}YX}}X}et}ZX}}X}pour chacune des normes}}2,}}1et}}8.

Solution :

}YX}}X}}A1B}}X}}106 0 1 1

On trouve donc

1062
pour la norme} }1,106?2 pour la norme} }2, et106pour la norme} }8. }ZX}}X}}A1B}}X}}0 1 1 1

On trouve donc

12 pour la norme} }1,1?2 pour la norme} }2, et1pour la norme} }8. On trouve dans tous ces cas des erreurs relatives inférieures au ma- jorantcondpAq}B}}B}1}B}donné par théorème. Exercice 8SoitnPNzt0uet soitAPGLnpRqune matrice symétrique. On noteMla plus grande valeur propre deAen valeur absolue etmla plus petite valeur propre deAen valeur absolue. Montrer quecond2pAq |M||m|. Solution :CommeAestA1sont symétriques, leur norme~~2est leur rayon spectral. Ainsi, cond

2pAq ~A~2~A1~2pAqpA1q |M| 1|m||M||m|:

Exercice 9SoitnPNzt0u.

1.

Solution :CommeOetO1sont orthogonales,

cond 5 L3 Mathématiques 2020/2021 Calcul Matriciel : Feuille de TD 6 2. Soien tAPGLnpRqetBPMn;1pRq. On notetArQrRla décomposition "QR" de la trans- posée tAdeA. Montrer que le systèmeAXB, de vecteur inconnuX, est équivalent au système trQXtrR1B. Solution :SoitXPRn. CommeAinversible, la matricerRl"est aussi et on a 3. Que p eut-ondire du conditionnemen tde ce d erniersystème ? Solution :CommetrQest orthogonale, le conditionnement de ce dernier système est cond

2ptrQq 1par la première question. Ce système est donc bien conditionné. Mais,

noter qu"une incertitude surBpeut induire une grande incertitude sur le second membre trR1Bdu nouveau système si la norme detrR1est grande. 6quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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