TD01- COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES ET
Les deux variables sont-elles indépendantes ? 7. Déterminer la loi de distribution de la variable aléatoire. W = Y 2 – X. Exercice 3.
Étude dun couple de variables aléatoires discrètes :
Loi conjointe d'un couple de v.a.d.. Soit Z = (XY) un couple de variables aléatoires discrètes. Définition et Théorème: La loi du
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Exercice 5. On considère une variable aléatoire X qui suit la loi uniforme discrète sur {12} et une variable aléatoire Y
CH VIII : Couples de variables aléatoires réelles discrètes
exercice suivant). Le parti-pris lois conditionnelles ne semble pas for- cément pertinent ici puisque la loi conditionnelle n'est pas directement une loi
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Déterminer les lois marginales du couple (X Y ) dans l'exercice précédent. 5. Page 6. ECG2 - Maths approfondies. Lycée Louis Pergaud.
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EXERCICE 2.5.– [Variance d'une variable aléatoire discrète]. Soit X une variable EXERCICE 3.3.– [Probabilité et couple de variables aléatoires]. Deux ...
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3 sept. 2021 Exercice : Après avoir vérifier que le tableau suivant décrit bien une loi conjointe trouver les lois marginales de X et Y . X/Y. 1. 2. 3 loi ...
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Vérifier qu'on a bien défini une loi de couple puis déterminer les lois marginales Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes
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un couple (X Y) de variables aléatoires discrètes Les nombres écrits près des points sont les poids des points Ils sont proportionnels aux probabilités 1 Tracer la droite de régression de Y en X On détaillera les calculs 2 Calculer le coefficient de corrélation linéaire de X et de Y Exercice 12
Variables aléatoires discrètes - mp1prepa-carnotfr
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TD 4 Couples de variables aléatoires discrètes
TD 4 Couples de variables aléatoires discrètes Exercice 1 : Ondisposed’uneurnecontenantdeuxboulesnoiresetdeuxboules rouges On lance un dé équilibré à 4 faces numérotées de 1 à 4 soit Xle nombre obtenu OnprélèvealorssimultanémentXboulesdansl’urneetonnoteY lenombre deboulesrougesobtenues
Variables aléatoires discrètes - MP 1
Ce chapitre dont l’objectif est d’aborder l’étude des variables aléatoires discrètes généralise celle qui a été effectuée en première année et fournit des outils permettant d’aborder sur des exemples simples l’étude de procédés stochastiques à temps discret
Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes
Soit (X;Y) un couple de variables aléatoires réelles discrètes admettant des moments d’ordre deux AlorsX+ Y admetunevarianceet: V(X+ Y) = V(X) + V(Y) + 2cov(X;Y) Preuve V(X+ Y) = cov(X+ Y;X+ Y) = cov(X;X+ Y) + cov(Y;X+ Y) parlinéaritéàgauchedelacovariance = cov(X;X) + cov(X;Y) + cov(Y;X) + cov(Y;Y) parlinéaritéàdroitedelacovariance
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Couples de variables al eatoires discr etes : exercices BCPST 2 14/15 Exercice 1 Un sac contient 4 boules num erot ees de 1 a 4 On tire au hasard deux boules avec remise On note X 1 le num ero de la premi ere boule X 2 le num ero de la deuxi eme boule et Y le plus grand des deux num eros obtenus 1) a) D eterminer la loi du couple (X 1;X 2)
Comment aborder l’étude des variables aléatoires discrètes ?
Ce chapitre, dont l’objectif est d’aborder l’étude des variables aléatoires discrètes, généralise celle qui a été effectuée en première année et fournit desoutils permettant d’aborder, sur des exemples simples, l’étude de procédés stochastiques à temps discret. La mise en place de ces outils nécessite d’introduire
Qu'est-ce que l'étude des variables aléatoires discrètes ?
Variables aléatoires discrètes Ce chapitre, dont l’objectif est d’aborder l’étude des variables aléatoires discrètes, généralise celle qui a été effectuée en première année et fournit desoutils permettant d’aborder, sur des exemples simples, l’étude de procédés stochastiques à temps discret.
Quels sont les variables aléatoires réelles discrètes ?
ÅY,X Y,min(X,Y),max(X,Y) sont des variables aléatoires réelles discrètes. Bien sûr, il y aussi ¡³Arctan³1ÅX2ÅY2´´, mais on n’a cité que quelques exemples fréquemment utiles.Mais il n’est pas inutile de savoir montrer directement que ces choses (XÅYpar exemple) sont bien des variables aléatoires. . . Allons-y pourXÅY.
Comment calculer la loi d'une variable aléatoire ?
Soit(X,Y) un couple de variable aléatoires discrètes. On appelleloi conjointede(X,Y)la loi P(X,Y) de la variablealéatoire(X,Y). Vu la propriété précédente, cette loi est déterminée parPP(XÆx,YÆy)pour(x,y)2X()£Y(). Lorsque les variables aléatoiressont ?nies, cette loi peut être représentée dans un tableau à double entrée.
Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aleatoires reelles discretes08.1On dispose denbo^tes numerotees de 1 an. La bo^tekcontientkboules numerotees de 1 ak. On
choisit au hasard une bo^te, puis une boule dans cette bo^te. SoitXle numero de la bo^te etYle numero de la boule. 1.D eterminerl al oid ucou ple( X;Y).
2.Cal culerP(X=Y).
3.D eterminerl al oid eYetE[Y].1.X(
) =J1;nK. Y( ) =J1;nK.Soientk2X(
) et`2Y( ). CalculonsP([X=k]\[Y=`]). Si` > k, alorsP([X=k]\[Y=`]) = 0 car il est impossible de tirer une boule numerotee`dans l'urne klorsque` > k.Si`6k, alorsP([X=k]\[Y=`]) =P(X=k)P[X=k](Y=`) =1n
1k =1nkOn a donc nalement :
8k;`2J1;nK;P([X=k]\[Y=`]) =(
1nk si`6k0 si` > k
2.P(X=Y) =nX
k=1P([X=k]\[Y=`]) =nX k=11nk =1n n X k=11k 3.Rap pelonsd ejaq ueY(
) =J1;nK. Pour determiner la loi marginale deY, on utilise la formule des Probabilites Totales avec le systeme complet d'evenements ([X=k])16k6n. On a donc :8`2J1;nK;P(Y=`) =nX
k=1P([X=k]\[Y=`]) =nX k=`P([X=k]\[Y=`]) =nX k=`1nk =1n n X k=`1kPuisqueY(
) est un ensemble ni, la variableYadmet bien une esperance et on a :E[Y] =nX
`=1`P(Y=`) =nX `=1n X k=`jkn nX k=1k X j=1jkn nX k=11kn k(k+ 1)2 12nn X k=1(k+ 1) 12n (n+ 1)(n+ 2)2 1 =n+ 342011-2012 Lycee du Parc 1/15
Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aleatoires reelles discretes08.2Le nombre de visiteurs quotidiens a Disneyland Paris
c suit une loi de Poisson de parametre 10000.Chaque visiteur entre dans le parc par une des dix entreesE1;:::;E10, qu'il choisit de maniere equiprobable et
independamment des autres visiteurs. 1. D eterminerl en ombremo yend ev isiteursen u nejou rnee. 2. O nd esignepar Nle nombre de visiteurs en une journee etX1le nombre de visiteurs entrant parE1 durant cette journee. (a)D eterminerl al oic onditionnelle a[ N=n] deX1.
(b) E nd eduirel aloi c onjointede NetX1, puis la loi deX1. (c)E nd eduirel' esperancee tla v arianced eX1.
3.Sac hantqu 'unv isiteursu r10 s ed ebrouillep oure ntrersan spa yer,cal culerl en ombrem oyende v isiteurs
qui payent et entrent parE1par jour.1.F ixons-nousu nej ourneeq uelconquee tn otonsNla variable egale au nombre de visiteurs entrant dans la
journee. On sait dans l'enonce queNsuit une loi de Poisson de parametre 10000. On sait donc directement que : N( ) =N;8n2N;P(N=n) =e10000(10000)nn!;E[N] =V[N] = 10000 Le nombre moyen de visiteurs correspond donc aE[N], soit il y a 10000 visiteurs en moyenne en une journee. 2. ( a) On c herchela l oicon ditionnellede X1sachant l'evenement [N=n].Calculons dejaX1(
Le nombre de visiteurs entrant dans le parc etant un nombre deN, a priori, ils peuvent tous entrer parE1, tout comme aucun ne peut choisir l'entreeE1, donc on a X 1( ) =NFixons-nous a presentn2N.
Soitk2N. CalculonsP(X1=kjN=n).
Sik > n, on aP(X1=kjN=n) = 0, puisqu'il ne peut pas y avoir plus de visiteurs entrant par E1que de visiteurs au total entrant dans le parc.
Si 06k6n, alors on reconna^t un schema binomial.
Ch aquevi siteura de uxc hoix: p asserp arl' entreeE1(succes de probabilite 1=10) ou ne pas passer par l'entreeE1(echec de probabilite 9=10). Ce ttee xperiencee str epeteeex actementnfois (autant que de visiteurs) et de maniere indepen- dante selon l'enonce. La v ariableX1compte le nombre de succes lors de cesnexperiences On a donc bienX1qui suit une loi binomialeB(n;1=10). X1j[N=n] B
n;110 et donc :P(X1=kjN=n) =n
k 110k910 nk
En eet, on
2011-2012 Lycee du Parc 2/15
Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aleatoires reelles discretes(b)Loi c onjointede NetX1.
On aN(
) =X1( ) =N. Soientn;k2N.1er cas :k > n. Alors :
P([N=n]\[X1=k]) = 0
(puisqu'il n'est pas possible qu'il y aitkvisiteurs entrant parE1s'il y anvisiteurs (n < k) au total dans le parc).2eme cas :k6n. Alors :
P([N=n]\[X1=k]) =P(N=n)P[N=n](X1=k) =e10000(10000)nn! n k 110k910 nk
Loi marginale deX1.
On aX1(
) =N. Soitk2N. Alors, en utilisant la Formule des Probabilites Totales pour le systeme complet d'evene- ments ([N=n])n2N, on obtient :P(X1=k) =+1X
n=0P([N=n]\[X1=k]) =+1X n=kP([N=n]\[X1=k]) +1X n=ke10000(10000)nn!
n k 110k910 nk e10000k! 110
k+1X n=k(10000) n(nk)! 910
nk e10000k! 110
k (10000)k+1X `=0(9000) =e100001000kk!e9000=e10001000kk! On reconna^t alors queX1suit une loi de Poisson de parametre 1000. (c)
O nen d eduitqu eE[X1] =V[X1] = 1000.
Conclusion :siN P() et8n2N;Xj[N=n] B(n;p);alorsX P(p)3.O nap pliquel em ^emerai sonnementq uep recedemment.
On sait que le nombre de visiteurs qui entrent parE1par jour suit une loi de Poisson de parametre = 1000. Supposons qu'il y aitnvisiteurs entrant par l'entreeE1et notonsYle nombre de visiteurs qui payent parmi ces visiteurs.Chaque visiteur entrant parE1a deux possibilites : payer (succes, de probabilite 9=10) ou ne pas payer
(echec, de probabilite 1=10) et on repete cette epreuvenfois de maniere independante,Ycomptant le nombre de succes, suit alors une loi binomiale de parametreB(n;9=10). On en conclut donc que la variableYsuit une loi de Poisson de parametre 1000910 = 900.En particulier, le nombre moyen de visiteurs qui payent et entrent parE1par jour sera egal aE[Y] = 900.
2011-2012 Lycee du Parc 3/15
Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aleatoires reelles discretes08.3 1. O ns upposeq ueX P() etY P(0) avecX,Yindependantes. Montrer queX+Y P(+0). 2.O nsu pposeq ueX B(n;p) etY B(m;p) avecX,Yindependantes. Montrer queX+Y B(n+m;p).1.O ns upposeq ueX P() etY P(0) avecX,Yindependantes, et notonsZ=X+Y.
PuisqueX(
) =NetY( ) =N, on en deduit par somme queZ( ) =N.Soitk2N. Alors :
P(Z=k) =P(X+Y=k) =kX
i=0P([X=i]\[Y=ki]) kX i=0P(X=i)P(Y=ki) (carX;Yindependantes) kX i=0e ()ii!e0(0)ki(ki)! e0k!k X i=0k!i!(ki)!()i(0)ki e0k!(+0)k(Bin^ome) On reconna^t donc bien une loi de Poisson de parametre+0. 2. O ns upposeq ueX B(n;p) etY B(m;p) avecX,Yindependantes, et notonsZ=X+Y. Puisque X( ) =J0;nKetY( ) =J0;mK, on en deduit par somme queZ( ) =J0;n+mK.Soitk2J0;n+mK. Alors :
P(Z=k) =P(X+Y=k) =kX
i=0P([X=i]\[Y=ki]) kX i=0P(X=i)P(Y=ki) (carX;Yindependantes) kX i=0 n i p i(1p)nim ki p ki(1p)mk+i kX i=0 n i p k(1p)n+mkm ki =pk(1p)n+mkkX i=0 n i m ki =pk(1p)n+mkn+m k (d'apres Vandermonde) On reconna^t donc bien une loi Binomiale de parametres (n+m;p).2011-2012 Lycee du Parc 4/15
Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aleatoires reelles discretes08.4SoientXetYdes variables aleatoires independantes.
On poseU= max(X;Y) etV= min(X;Y). Determiner les fonctions de repartition deUet deVen fonction de celles deXet deY.SoitU= max(X;Y) et notonsFUsa fonction de repartition.On a donc
8t2R; FU(t) =P(U6t)
=P(max(X;Y)6t) =P([X6t]\[Y6t]) =P(X6t)P(Y6t) (carX;Yindependantes) =F X(t)FY(t)SoitV= min(X;Y) et notonsFVsa fonction de repartition.On a donc
8t2R; FV(t) =P(V6t)
=P(min(X;Y=6t) = 1P(min(X;Y)> t) = 1P([X > t]\[Y > t]) = 1P(X > t)P(Y > t) (carX;Yindependantes) = 1(1P(X6t))(1P(Y6t)) = 1(1FX(t))(1FY(t)) =FX(t) +FY(t)FX(t)FY(t)2011-2012 Lycee du Parc 5/15
Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aleatoires reelles discretes08.5SoitXune VAR discrete dont la loi est donnee par :k21012
P(X=k)1
6141
61
41
6 1. O nn oteY=X2. Determiner la loi deYainsi que celle du couple (X;Y).
2.XetYsont-elles independantes?
3. Cal culerco v(X;Y) et faire une remarque sur ce resultat.1.Pu isqueX( ) =f2;1;0;1;2g, on en deduit directement queY( ) =f0;1;4g. On en deduit la loi deYet la loi conjointe deXetY: :k014P(Y=k)1
6121
3XnY014
20016 101
40
01 600
101
40
2001
6 2. P are xemple,P([X= 1]\[Y= 0]) = 0, maisP(X= 1)P(Y= 0)6= 0, donc les variablesXetYne sont pas independantes. 3.
O na f acilement: E[X] = 0,E[Y] =116
Pour le calcul de la covariance, on a besoin de la loi deZ=XY.k81018P(Z=k)1
6141
61
41
6 On calcule alors facilement queE[XY] = 0. On en deduit que cov(X;Y) =E[XY]E[X]E[Y] = 0 Ainsi les variablesXetYne sont pas independantes mais pourtant leur covariance est nulle. Elles sont seulement non-correlees.
2011-2012 Lycee du Parc 6/15
Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aleatoires reelles discretes08.6Soit (Xi)i2Nest une suite de variables aleatoires de Bernoulli de parametrep, independantes mutuel-
lement. On note pour touti>0,Yi=XiXi+1. 1.Q uellees tl al oide Yi?
2.Soi tSn=nX
i=1Y i. CalculerE[Sn] etV[Sn].1.Soi ti2Net etudionsYi=XiXi+1.PuisqueXi(
) =Xi+1( ) =f0;1g, on a egalementYi( ) =f0;1g. La variableYiest donc egalement une variable aleatoire de Bernoulli.De plus,
P(Yi= 1) =P([Xi= 1]\[Xi+1= 1]) =P(Xi= 1)P(Xi+1= 1) =pp=p2 car les variablesXietXi+1sont independantes.On en deduit alors que
P(Yi= 0) = 1P(Yi= 1) = 1p2
On a donc montre que :8i2N; Yi B(p2)Rappelons donc qu'on aE[Yi] =p2etV[Yi] =p2(1p2). 2.Soi tn>1 et notonsSn=nP
i=1Y i. Par linearite de l'esperance, on a :E[Sn] =E[Y1+Y2++Yn] =nP i=1E[Yi] =nP i=1p2=np2.A priori, les variablesYisont loin d'^etre independantes (par exemple leXiappara^t simultanement dans
le calcul deYietYi1). On sait en tout cas (cas general) que :V[Sn] =V[Y1+Y2++Yn] =nX
i=1V[Yi] + 2X16i Fixons-nous (i;j) tel que 16i < j < net calculons cov(Yi;Yj). Y iYj=XiXi+1XjXj+1est encore une variable de Bernoulli (produit de 0 ou de 1). On a donc E[YiYj] =P(YiYj= 1) =P([Xi= 1]\[Xi+1= 1]\[Xj= 1]\[Xj+1= 1]) Sij6=i+ 1, alors les quatres variablesXi;Xi+1;Xj;Xj+1sont distinctes et independantes, donc E[YiYj] =p4
Sij=i+ 1, alors il n'y a que trois variablesXi;Xj;Xj+1(independantes) : E[YiYj] =p3
Donc en conclusion :
si j6=i+ 1, alors cov(Yi;Yj) =p4p2p2= 0 si j=i+ 1, alors cov(Yi;Yi+1) =p3p4=p3(1p). On en deduit donc que
V[Sn] =np2(1p2) + 2(n1)p3(1p) =p2(1p)(n+ 3np2p)
2011-2012 Lycee du Parc 7/15
Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aleatoires reelles discretes08.7SoientXetYdeux variables aleatoires independantes, qui suivent la loi geometrique de parametre
p2]0;1[. On pose A=X1 0Y Determiner la probabilite pour que la matriceAsoit diagonalisable.Avant d'introduire les probabilites, rappelons lorsque la matrice
A=x1 0y pourx;y2Rest diagonalisable ou non. CommeAest triangulaire, ses valeurs propres sont ses coecients diagonaux, doncxety. Si on ax6=y, alorsAa deux valeurs propres distinctes et est de taille 2, donc elle est diagonalisable.
Six=y,xest l'unique valeur propre deA. SiAetait diagonalisable, elle serait semblable axI2: il existerait une matrice inversiblePtelle que A=P(xI2)P1=xPP1=xI2
Or, on a bien evidemmentA6=xI2, donc six=y,An'est pas diagonalisable. En conclusion :
Adiagonalisable()x6=y
NotonsBl'evenement "la matriceAest diagonalisable". D'apres l'etude precedente, on a donc : P(B) =P(X6=Y) = 1P(X=Y);
puisque [X6=Y] =[X=Y]. On a donc : P(B) = 1P(X=Y) = 1+1X
k=1P([X=k]\[Y=k]) = 1+1X k=1P(X=k)P(Y=k) (carX;Yindependantes) = 1+1X k=1 (1p)k1p 2 = 1p2+1X k=1 (1p)2k1 = 1p2+1X n=1 (1p)2n = 1p211(1p)2 = 1p22pp2 = 1p2p=22p2p 2011-2012 Lycee du Parc 8/15
quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38
E[YiYj] =p4
Sij=i+ 1, alors il n'y a que trois variablesXi;Xj;Xj+1(independantes) :E[YiYj] =p3
Donc en conclusion :
si j6=i+ 1, alors cov(Yi;Yj) =p4p2p2= 0 si j=i+ 1, alors cov(Yi;Yi+1) =p3p4=p3(1p).On en deduit donc que
V[Sn] =np2(1p2) + 2(n1)p3(1p) =p2(1p)(n+ 3np2p)
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Kh^agne B/LCorrection Exercices Chapitre 08 - Couples de variables aleatoires reelles discretes08.7SoientXetYdeux variables aleatoires independantes, qui suivent la loi geometrique de parametre
p2]0;1[. On pose A=X1 0YDeterminer la probabilite pour que la matriceAsoit diagonalisable.Avant d'introduire les probabilites, rappelons lorsque la matrice
A=x1 0y pourx;y2Rest diagonalisable ou non. CommeAest triangulaire, ses valeurs propres sont ses coecients diagonaux, doncxety.Si on ax6=y, alorsAa deux valeurs propres distinctes et est de taille 2, donc elle est diagonalisable.
Six=y,xest l'unique valeur propre deA. SiAetait diagonalisable, elle serait semblable axI2: il existerait une matrice inversiblePtelle queA=P(xI2)P1=xPP1=xI2
Or, on a bien evidemmentA6=xI2, donc six=y,An'est pas diagonalisable.En conclusion :
Adiagonalisable()x6=y
NotonsBl'evenement "la matriceAest diagonalisable". D'apres l'etude precedente, on a donc :P(B) =P(X6=Y) = 1P(X=Y);
puisque [X6=Y] =[X=Y]. On a donc :P(B) = 1P(X=Y) = 1+1X
k=1P([X=k]\[Y=k]) = 1+1X k=1P(X=k)P(Y=k) (carX;Yindependantes) = 1+1X k=1 (1p)k1p 2 = 1p2+1X k=1 (1p)2k1 = 1p2+1X n=1 (1p)2n = 1p211(1p)2 = 1p22pp2 = 1p2p=22p2p2011-2012 Lycee du Parc 8/15
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