[PDF] [PDF] Chapitre 9 Couples (et suites) de VA discrètes

View - Download [PDF] Chapitre 9 Couples (et suites) de VA discrètes

Previous PDF

Next PDF

ECE 2 - Année 2017-2018

Lycée français de Vienne

Mathématiques - F. Gaunard

http://frederic.gaunard.comChapitre 9.Couples (et suites) de V.A. discrètes 1

Couples aléatoires discrets

On considère deux variables aléatoires discrètesXetY, avecX( )etY( )fini ou dénombrable.

Définition 1.

On appelle couple aléatoire discret une applicationV: 7!R2. Ainsi, on peut écrireV= (X;Y), oùXetYsont deux variables aléatoires discrètes, avec : 8!2 ; V(!) = (X(!);Y(!)): 1.1

Loi conjoin te

Définition 2(Loi conjointe).

La loi conjointe du couple(X;Y)est la donnée de la fonction :

X;Y:X(

)Y( )![0;1] (x;y)7!P([X=x];[Y=y]) oùP([X=x];[Y=y])est une notation pour signifierP([X=x]\[Y=y]). .Méthode.Pour obtenir la loi du couple(X;Y), on commence par déterminerX( ),Y( )puis on donne les valeurs deP([[X=x]\[Y=y]])pour toutx2X( )et touty2Y(

LorsqueX(

)etY( )sont finis, on peut résumer cette loi dans un tableau à double entrée. +On peut parfois utiliser la formule des probabilités composées

P([X=x]\[Y=y]) =P[Y=y]([X=x])P([Y=y]):

BLa probabilitéP([X=x]\[Y=y])n"esta prioripas égale àP([X=x])P([Y=y]).

Exercice 1.Une urne contient trois boules numérotées de1à3. On tire successivement, avec remise,

deux boules de l"urne. On appelleXla somme des numéros obtenus etYla valeur absolue de la différence entre les deux numéros obtenus. (1)

Préciser

,X( )etY( (2)

Déterminer la loi d ucouple (X;Y).

(3)

Quels son tles couples (x;y)2X(

)Y( )qui vérifient[[X=x]\[Y=y]] =;? +L"exercice ci-dessus permet de voir notamment queV( )(X(!)Y(

Proposition 1.On a :X

x2X( )X y2Y( )P([X=x]\[Y=y]) =X y2Y( )X x2X( )P([X=x]\[Y=y]) = 1:

2Chapitre 9.Couples et suites de V.A. discrètes1.2Lois marg inales

Définition 3(Loi marginale).

(1) L ap remièreloi mar ginaledu c ouple(X;Y)est la loi de la variable aléatoireX. (2) L ase condeloi mar ginaledu c ouple(X;Y)est la loi de la variable aléatoireY. .Méthode(Obtention des lois marginales à l"aide de la formule des probabilités totales). Soit(X;Y)un couple de variables aléatoires discrètes dont on connait la loi conjointe. On obtient la loi deXgrâce à la formule des probabilités totales avec le s.c.e([Y=y])y2Y(

P([X=x]) =X

y2Y( )P([X=x]\[Y=y])ouP([X=x]) =X y2Y( )P([Y=y])P[Y=y]([X=x]) On obtient la loi deYgrâce à la formule des probabilités totales avec le s.c.e([X=x])x2X(

P([Y=y]) =X

x2X( )P([X=x]\[Y=y])ouP([Y=y]) =X x2X( )P([X=x])P[X=x]([Y=y])

Remarque 1.Si la loi du couple est résumée dans un tableau à double entrée, les lois marginales

s"obtiennent en sommant les éléments de chaque ligne et de chaque colonne.

Exercice 2.Une urne contient3boules numérotées de1à3. On tire deux boules dans cette urne et

on noteXle numéro de la première boule etYle numéro de la deuxième boule. (1)

Cas d"un tirage a vecremise.

(a)

Déterminer la loi co njointedu couple (X;Y).

(b)

Déterminer les lois marginales du couple (X;Y)

(2) Reprendre les questions précéden tesdans le cas d"un tirage sans remise.

Exercice 3.On lance une pièce donnant pile avec probabilitép2]0;1[et face avec probabilitéq= 1p.

On noteXle rang d"apparition du premier pile etYle rang d"apparition du deuxième pile. (1)

Préciser X(

)etY( )puis déterminer la loi du couple(X;Y). (2) Déterminer les lois mar ginalesdu couple (X;Y)(sans calculs pour la loi deX). 1.3

Lois conditionnelles

Définition 4.Soit(X;Y)un couple de variables aléatoires discrètes.

Soity2Y(

)fixé tel queP([Y=y])6= 0. On appelleloi conditionnelle deXsachant [Y=y]la donnée des valeurs P [Y=y]([X=x]);8x2X(

Soitx2X(

)fixé tel queP([Y=y])6= 0. On appelleloi conditionnelle deYsachant [X=x]la donnée des valeurs P [X=x]([Y=y]);8y2Y(

.Méthode.On peut obtenir une loi conditionnelle de différentes manières suivants les situations.

Si on connait la loi du couple (donc les probabilitésP([X=x]\[Y=y])), on utilise la formule des probabilités composées. Par exemple, la loi conditionnelle deXsachant[Y=y]est donnée par : P [Y=y]([X=x]) =P([X=x]\[Y=y])P([Y=y]);8x2X( Si on ne connait pas la loi du couple, on peut souvent reconnaitre pour la loi conditionnelle une loi connue en utilisant l"information contenue dans l"évènement qui conditionne.

Exercice 4.On lance une pièce donnant pile avec probabilitép2]0;1[. On noteXle rang d"apparition

du premier pile et siX=n, on noteYle nombre de faces obtenus lors denlancers supplémentaires. (1) Déterminer la loi co nditionnellede Ysachant[X=n]. 3 (2)

Préciser Y(

)puis montrer que pour toutk2N,

P(Y=k) =qp

k1+1X n=k n k (pq)n: 2 Indép endancede v ariablesaléatoires discrètes 2.1

Cas de deux v ariables

Définition 5.On dit que deux variables aléatoires discrètesXetYsontindépendantesssi :

8(x;y)2X(

)Y( ); P([X=x]\[Y=y]) =P([X=x])P([Y=y]) Remarque 2.Pour montrer que deux variables aléatoiresXetYne sont pas indépendantes, il suffit de trouver un contre-exemple à la relation précédente. On cherche alors souvent des évènements[X=x]et[Y=y]de probabilité non nulle et tels que l"évènement[X=x]\[Y=y]est impossible donc de probabilité nulle.

Exercice 5.

(1) Les v ariablesaléatoires XetYde l"Exercice 2 sont-elles indépendantes (dans chaque cas) ? (2) Les v ariablesaléatoires XetYde l"Exercice 3 sont-elles indépendantes ? 2.2

Cas de nvariables

Définition 6.

On dit que les variables aléatoires discrètesX1;:::;Xnsontmutuellement indépendantesssi

8(x1;:::;xn)2Rn; P([X1=x1]\ \[Xn=xn]) =nY

k=1P([Xk=xk]): On dit que(Xn)n2Nest une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes si pour tout n2Nles variables aléatoiresX0;;Xnsont mutuellement indépendantes. 2.3

Lemme des coalitions

Proposition 2(Lemme des coalitions).

SiXetYsont deux variables aléatoires discrètes indépendante et sifetgsont deux fonctions numériques définies respectivement surX( )etY( )alorsf(X)etg(Y)sont indépendantes. SoientX1;:::;Xnnvariables aléatoires discrètes mutuellement indépendantes et soitp2J2;n

1K. Alors toute variable aléatoire fonction des variablesX1;;Xpest indépendante de toute

variable aléatoire fonction des variablesXp+1;;Xn.

Exemple.

SiX1;X2;X3;X4;X5sont 5 variables aléatoires discrètes discrètes mutuellement indépendantes

alors les variablesX1X2+ 2X24etX3X25sont indépendantes. SiX2etY2ne sont pas indépendantes, alorsXetYne le sont pas non plus. 3 F onctionsde deux v ariablesaléatoires di scrètes: Loi de Z= g(X;Y) Dans cette section, on étudie des variables aléatoires du typeZ=g(X;Y)où(X;Y)est un couple de variables aléatoires etgune fonction deX( )Y( )dansR. Exercice 6.Déterminer la loi deD=XYpuis la loi deP=XYoù(X;Y)est le couple défini dans l"Exercice 2.

4Chapitre 9.Couples et suites de V.A. discrètesExercice 7.SoientX ,! B(p)etY ,! B(q)deux variables de Bernoulli indépendantes. Déterminer la

loi deXY.

Théorème 1.

L"ensemble des valeurs prises parZ=g(X;Y)est donné par : Z( ) =fz=g(x;y)jx2X( );y2Y( )g

La loi deZ=g(X;Y)est donnée par :

8z2Z( ); P([Z=z]) =X (x;y)jg(x;y)=zP([X=x]\[Y=y]); la somme précédente portant sur l"ensemble des couples(x;y)vérifiantg(x;y) =z. .Méthode(Loi d"une somme, d"une différence).

On obtient la loi de la somme (ou de la différence) deux variables aléatoires discrètesXetYpar

application de la formule des probabilités totales avec au choix le s.c.e associé àXou àY.

Par exemple, avec le s.c.e associé àX, la loi deX+Yest donnée par :8z2(X+Y)(

P(X+Y=z) =X

x2X( )P([X=x]\[X+Y=z]) =X x2X( zx2Y( )P([X=x]\[Y=zx]): +Noter que la probabilitéP([X=x]\[Y=zx])est nulle dès quezxn"appartient pas àY( ce qui a pour conséquence de restreindre les indices de la somme.

Exercice 8.SoientXetYdeux variables indépendantes suivant toutes deux la loi géométriqueG(p).

(1) Déterminer, en utilisan tu ns.c.e asso ciéà X,P(X=Y). (2) Mon trer,en utilisan tu ns. c.easso ciéà Xque pour toutn2:P(X+Y=n) = (n1)p2qn2.

Théorème 2(Somme des lois classiques).

Somme de lois de Bernoulli. SiX1;X2;:::;Xnsontnvariables aléatoires mutuellement indépendantes suivant une même loi de Bernoulli de paramètrep, alors nX k=1X k,! B(n;p): Stabilité des lois binomiales. SoientX ,! B(n;p)etY ,! B(m;p)deux lois binomiales indépendantes. Alors,

X+Y ,! B(n+m;p):

Stabilité des lois de Poisson. SoientX ,! P()etY ,! P()deux lois de Poisson indépen- dantes. Alors,

X+Y ,! P(+):

Exercice 9.SoientX1;:::;Xkdes variables aléatoires mutuellement indépendantes. Déterminer la loi

deX1++XklorsqueX1,! P(1),:::,Xk,! P(k). 4

Calculs d"esp érance

4.1 Esp érancede Z=g(X;Y)- Théorème de transfert

Si on a déjà calculé la loi deZ=g(X;Y), on peut calculer son espérance avec la formule classique.

Sinon, on peut utiliser le théorème suivant qui nécessite seulement de connaitre la loi du couple.

Théorème 3(Théorème de transfert).Soit(X;Y)deux variables aléatoires discrètes. Alors, on a sous

réserve de convergence absolue :

E(Z) =E(g(X;Y)) =X

x2X( )X y2Y( )g(x;y)P([X=x]\[Y=y]): 5

Remarque 3.SiX(

)etY( )sont deux ensembles finis, il n"y a pas de problème de convergence

(absolue), puisqu"il s"agit alors d"une somme (double) finie. Dans le cas où (au moins) un des deux

ensembles est infini, le caractère licite de l"écriture de la somme ci-dessus est conditionné par la con-

vergence absolue d"une série à double indice et présente donc un problème assez subtil. Les sujets des

problèmes de concours faisant intervenir ce type de somme proposent donc un guidage étape par étape

pour en justifier l"existence d"une telle somme. Exercice 10.SoientD=XYetP=XYoù(X;Y)les variables aléatoires définies dans l"Exercice 2. (1) Déterminer l"esp éranced eP=XYà l"aide du théorème de transfert. (2) Déterminer l"esp éranced eD=XYà l"aide de la loi trouvée dans l"Exercice 6. 4.2

Esp éranced"une somme

Proposition 3(Linéarité de l"espérance).

SoientX1;:::;Xndes variables aléatoires discrètes admettant une espérance,(1;:::;n)2Rn.

Alors :

E(1X1++nXn) =nX

i=1 iE(Xi): Lorsque les constante sont égales à1, on obtient le cas particulier important : E nX i=1X i! =nX i=1E(Xi):

Exercice 11.SoientX1;:::;Xndes variables aléatoires suivant toute la loi de Poisson de paramètre

>0. SoitM=1n P n i=1Xi. Déterminer l"espérance deM. 4.3

Esp éranced"un pro duit

Théorème 4.Soit(X;Y)deux variables aléatoires discrètes. Alors, on a

E(XY) =X

x2X( )X y2Y( )xyP([X=x]\[Y=y]): Théorème 5.SiXetYsontindépendanteset admettent une espérance, alorsXYadmet une es- pérance, et on a

E(XY) =E(X)E(Y):

+On peut utiliser le théorème précédent pour montrer que deux variables aléatoires discrètes ne

sont pas indépendantes en vérifiant queE(XY)6=E(X)E(Y).

Exercice 12.SoientX1;X2, etX3, indépendantes, suivant des lois de Bernoulli de paramètrep. Montrer

que les variables aléatoiresY1=X1X2etY2=X2X3ne sont pas indépendantes. 5

V arianceet co variance

5.1

Co variance

Définition 7.Soient(X;Y)deux variables aléatoires discrètes admettant des moments d"ordre2.

LacovariancedeXetYest définie par :

cov(X;Y) =E (XE(X))(YE(Y))

Théorème 6(Formule de Koenig-Huygens).Soient(X;Y)deux variables aléatoires discrètes admettant

des moments d"ordre2. Alors : cov(X;Y) =E(XY)E(X)E(Y):

En particulier, on a :

cov(X;X) =V(X)

6Chapitre 9.Couples et suites de V.A. discrètesExercice 13.Déterminer la covariance des variablesXetYde l"Exercice 2 dans chaque cas.

Proposition 4(Propriétés de la covariance).

Symétrie :cov(X;Y) = cov(Y;X):

Linéarité à gauche :8(;)2R2cov(X1+X2; Y) =cov(X1; Y) +cov(X2; Y). Linéarité à droite :8(;)2R2cov(X ; Y1+Y2) =cov(X ; Y1) +cov(X ; Y2). Exercice 14.SoientXetYdeux variables aléatoires discrètes admettant un moment d"ordre2et

2R. Montrer que :V(X+Y) =V(X) + 2cov(X;Y) +2V(Y).

Proposition 5.SiXetYsont indépendantes, alors :cov(X;Y) = 0.La réciproque est fausse ! 5.2

V arianced"une somme

Théorème 7.

SiXetYadmettent une variance, alorsX+Yégalement, et :

V(X+Y) =V(X) +V(Y) + 2cov(X;Y):

SiXetYsont indépendantes, et admettent une variance, alorsX+Yaussi, et on a :

V(X+Y) =V(X) +V(Y):

Si les variablesX1;:::;Xnsont mutuellement indépendantes, et admettent une variance, alors la variableX1++Xnadmette une variance et on a :

V(X1++Xn) =V(X1) ++V(Xn):

Exercice 15.SoientX1;:::;Xndes variables aléatoires indépendantes suivant toute la loi de Poisson

de paramètre >0. SoitM=1n P n i=1Xi. Déterminer la variance deM. 5.3

Co efficientd ecorrélation linéaire

Définition 8.Soit(X;Y)un couple de variables aléatoires discrètes admettant des variances non nulles.

Lecoefficient de corrélation linéairedeXetYest :X;Y=cov(X;Y)(X)(Y).

Théorème 8.Le coefficient de corrélation linéaire deXetYest un réel compris entre1et1:

1X;Y1:

Exercice 16.On a obtenu dans l"Exercice 14 l"égalité suivante

V(X+Y) =V(X) + 2cov(X;Y) +2V(Y):

En étudiant le discriminant du polynôme enobtenu, montrer que :jX;Yj 1. Proposition 6.Le coefficient de corrélation linéaire deXetYest un réel compris entre1et1: 1X;Y1

Il est égal à1dans le cas où l"une des variables est fonction affine croissante de l"autre variable.

Il est égal à1dans le cas où l"une des variables est fonction affine décroissante de l"autre

variable.

Les valeurs intermédiaires renseignent sur le degré de dépendance linéaire entre les deux variables.

-Plus le coefficientX;Yest proche des valeurs extrêmes1et1, plus la corrélation entre les variables est forte. -Deux variables aléatoires dont la covariance est nulle (et donc le coefficient de corrélation linéaire est nul) sont dites non corrélées. -Une corrélation positive (X;Y>0) indique que les variablesXetYvarient dans le même sens. -Une corrélation négative (X;Y<0) indique que les variablesXetYvarient en sens inverse. Exercice 17.SoitXune variable aléatoire discrète etY= 12X. Déterminer la covariance deXet Y. 7

8Chapitre 9.Couples et suites de V.A. discrètes6Autres exercices

Exercice 18.SoitXune variable aléatoire (finie) dont la loi est donnée par le tableau ci-dessousx21012

P(X=x)1=61=41=61=41=6et on définit ensuiteY=X2. (1) Déterminer la loi du couple (X;Y)puis la loi deY. (2) Déterminer cov(X;Y). Les variablesXetYsont-elles indépendantes?

Exercice 19.On lance simultanément deux dés à trois faces (numérotées de1à3) et on noteXle

maximum des numéros obtenus etYle minimum des numéros obtenus. (1)

Déterminer la loi co njointedu couple (X;Y).

(2)

Déterminer les lois marginales.

(3)

Les v ariablesXetYsont-elles indépendantes ?

(4) Déterminer la loi co nditionnellede Xsachant[Y2]. (5) Déterminer la loi de la v ariableZ=YXainsi que son espérance. (6)

Déterminer la co variancede Xet deY.

Exercice 20.Soita2Ret(X;Y)un couple de variables aléatoires à valeurs dansN2, de loi conjointe

P([X=i]\[Y=j]) =a2

i+1j!: (1)

Déterminer le réel a.

(2)

Déterminer les lois marginales.

(3)XetYsont-elle indépendantes ?

Exercice 21.Une urne contientnboules blanches numérotées de1ànet2boules noires numérotées

1et2. On tire une à une, sans remise, toutes les boules de l"urne et on définit deux variables aléatoires

XetYcorrespondant respectivement au rang d"apparition de la première boule blanche et de la boule numérotée1. (1)

Déterminer les lois de XetY.

(2) Les v ariablesXetYsont-elles indépendantes? CalculerX;Y.

Exercice 22.Une urneU1contientnboules numérotées de1àn. Une urneU2contient des boules rouges

en proportionp. On tire une boule au hasard dansU1et on noteXla variable aléatoire correspondant au numéro de la boule obtenue. SiX=k, on tirekfois, avec remise, une boule dans l"urneU2et on appelleYle nombre de boules rouges tirées. (1) Déterminer la loi d eX, son espérance et sa variance. (2) Déterminer la loi cond itionnellede YsachantX=k, pourk2X( (3)

Déterminer la loi d ucouple (X;Y).

(4)

Déterminer l"esp éranceet la v ariancede Y.

Exercice 23.SoientXetYtelles queX ,! B(n;p)et telles que la loi conditionnelle deY, sachant

X=k(oùk2X(

)) est une loi binomiale de paramètrenketp. Quelle est la loi deY? Exercice 24.SoientX1,! B(p)etX2,! B(p)que l"on suppose indépendantes. On définitS=X1+X2 etD=X1X2. CalculerS;D. Les variablesSetDsont-elles indépendantes? Exercice 25.Un auto-stoppeur attend au péage d"une autoroute pendant une certaine période. On

admet que le nombre de véhicules franchisant le péage pendant cette période est une variable aléatoire

quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

[PDF] exercice probabilité couple variable aléatoire

[PDF] couple de variables aléatoires discrètes

[PDF] variable aléatoire exercices corrigés pdf

[PDF] couples de variables aléatoires réelles exercices corrigés

[PDF] couple de variables aléatoires continues

[PDF] couple difference age 20 ans

[PDF] mariage femme plus agée que l homme bible

[PDF] différence age couple statistiques

[PDF] couple redox co2/c

[PDF] communication dans le couple psychologie pdf

[PDF] psychologie couple communication

[PDF] tableau couple oxydant réducteur

[PDF] classification des couples redox pdf

[PDF] couple redox no3- no

[PDF] couple redox so42-/so2