[PDF] Compléments sur les variables aléatoires discrètes





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Couples de variables aléatoires discrètes

toires réelles. 3. 3 Couples de variables aléatoires discrètes. 4. 3.1 Loi d'un couple de variables discrètes . . . . . 4. 3.2 Lois marginales .



OPERATIONS SUR LES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES

I - Couples de variables aléatoires discrètes. Il s'agit de mettre en place des outils pour comparer deux variables aléatoires (ce que l'on.



Couples de variables aléatoires discrètes 1 Loi dun couple de

14 mai 2010 Si (X Y ) est un couple de variables aléatoires discrètes





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3 sept. 2021 Couples de variables aléatoires discrètes ... Soit (X Y ) un couple de variable aléatoires discrètes Alors la loi (marginale) de X est ...



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probabilité d'une variable aléatoire discrète X en posant P(X = xn) = pn. 9.2 Couples de variables aléatoires. 9.2.1 Loi conjointe loi marginale. DÉFINITION - 



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Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble E et f une application Propriété 21 : Couple de variables aléatoires.



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8.1 Couples de VARD. 8.1.1 Loi d'un couple. Définition 1. On appelle couple de variables aléatoires réelles discrètes et note (X Y ) toute application.



Chapitre 6 Couples et suites de variables aléatoires discrètes

Soit (X;Y) un couple de variables aléatoires réelles discrètes admettant des moments d’ordre deux AlorsX+ Y admetunevarianceet: V(X+ Y) = V(X) + V(Y) + 2cov(X;Y) Preuve V(X+ Y) = cov(X+ Y;X+ Y) = cov(X;X+ Y) + cov(Y;X+ Y) parlinéaritéàgauchedelacovariance = cov(X;X) + cov(X;Y) + cov(Y;X) + cov(Y;Y) parlinéaritéàdroitedelacovariance



Variables aléatoires discrètes - mp1prepa-carnotfr

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TD01- COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES ET INDEPENDANCE

TD01- COUPLES DE VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES ET INDEPENDANCE Exercice 1 Soit (X Y) un couple de variables aléatoires discrètes dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant : 1 Vérifier que l’on dispose bien d’une loi de probabilité 2 Déterminer les lois marginales de X et Y 3 Calculer E[X] et E[Y ] 4



10 - Variables aléatoires Cours complet

Couple et famille de variables aléatoires indépendance Théorème 4 1 et définition 4 1 : couple de variables aléatoires discrètes Définition 4 2 : loi conjointe et lois marginales d’un couple de variables aléatoires discrètes



Couples de variables aléatoires discrètes - normale sup

Couples de variables aléatoires discrètes ECE3 Lycée Carnot 14 mai 2010 Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année nous allons introduire l'étude de couples de ariablesv aléatoires c'est-à-dire l'étude simultanée de deux ariablesv aléatoires Rien de très nouveau



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2 des variables aléatoires discrètes de arrcé intégrables a b cet ddes eérls Alors on a les propriétés suivantes : 1 cov(X;Y) = cov(Y;X) 2 cov(aX 1 + bX 2;Y) = acov(X 1;Y) + bcov(X 2;Y): 3 cov(X;cY 1 + dY 2) = ccov(X;Y 1) + dcov(X;Y 2): 2

Comment aborder l’étude des variables aléatoires discrètes ?

Ce chapitre, dont l’objectif est d’aborder l’étude des variables aléatoires discrètes, généralise celle qui a été effectuée en première année et fournit desoutils permettant d’aborder, sur des exemples simples, l’étude de procédés stochastiques à temps discret. La mise en place de ces outils nécessite d’introduire

Comment calculer un couple de variables aléatoires ?

Couples de variables aléatoires discrètes variables aléatoires. Rien de calculs sur trois exemples détailés. Loi d'un couple de variables Dénition 1. : ? ?R2. le le plus petit (au sens large). vertes. tirage. : le bleues. On tire la P P P F F P Dénition 2. . la longueur de la deuxième chaîne. Ainsi, si les premiers tirages donnent = 2. ?

Qu'est-ce que l'étude des variables aléatoires discrètes ?

Variables aléatoires discrètes Ce chapitre, dont l’objectif est d’aborder l’étude des variables aléatoires discrètes, généralise celle qui a été effectuée en première année et fournit desoutils permettant d’aborder, sur des exemples simples, l’étude de procédés stochastiques à temps discret.

Quels sont les variables aléatoires réelles discrètes ?

ÅY,X Y,min(X,Y),max(X,Y) sont des variables aléatoires réelles discrètes. Bien sûr, il y aussi ¡³Arctan³1ÅX2ÅY2´´, mais on n’a cité que quelques exemples fréquemment utiles.Mais il n’est pas inutile de savoir montrer directement que ces choses (XÅYpar exemple) sont bien des variables aléatoires. . . Allons-y pourXÅY.

Compléments sur les variables aléatoires discrètes Compléments sur les variables aléatoires discrètes

Table des matières

1 Couples de variables aléatoires discrètes 2

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1 Loi d"un couple de variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2 Lois conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.3 Lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.4 Indépendance de deux variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Fonction d"un couple de variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.2 Espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.3 Loi d"une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3 Covariance, corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.1 Covariance de deux variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.2 Corrélation linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.3 Cas de l"indépendance de deux variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Suites de variables aléatoires discrètes 12

2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.2 Indépendance mutuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.2 Stabilité des lois binomiales et de Poisson par l"addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2.1 Somme de variables de Bernoulli mutuellement indépendantes et de même paramètre .

14

2.2.2 Stabilité de la loi de Poisson par l"addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2.3 Stabilité de la loi binomiale par l"addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3 Espérance et variance d"une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 1

Dans ce chapitre, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur le même espace probabilisé

(Ω,A,P).

1 Couples de variables aléatoires discrètes

1.1 Définitions

1.1.1 Loi d"un couple de variables aléatoires discrètesDéfinition 1.1 :Couple de variables aléatoiresOn appelle couple de variables aléatoires discrètesdéfinie sur(Ω,A)toute application

Ω→R2

ω?→(X(ω),Y(ω))

oùXetYsont des variables aléatoires discrètes sur(Ω,A).Définition 1.2 :Loi conjointeSoit(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes dans l"espace probabilisé(Ω,A,P). L"application

P (X,Y):X(Ω)×Y(Ω)→[0,1] (x,y)?→P([X=x]∩[Y=y]) est appelée loi du couple(X,Y)ou loi conjointe des variables aléatoiresXetY.

La loi deXest appeléepremière loi marginaledu couple et celle deYest appeléedeuxième loi marginaledu couple.

Exemple 1.

On lance deux dés équilibrés à6faces (l"un est bleu, l"autre blanc). On appelleX(resp.Y) le

numéro obtenu avec le dé bleu (resp. blanc). CommeXetYsont des variables aléatoires discrètes, alors

(X,Y)est un couple de variables aléatoires discrètes. On a la loi du couple(X,Y): ?(i,j)?[[1,6]]2,P([X=i]∩[Y=j]) =136

Exemple 2.

On lance les mêmes dés que dans l"exemple précédent. Cette fois, on appelleXle plus petit

des deux numéros obtenus etYle plus grand numéro obtenu (si les numéros sont égaux,XetYprennent

la valeur commune). CommeXetYsont des variables aléatoires discrètes, alors(X,Y)est un couple de

variables aléatoires discrètes. On a la loi du couple(X,Y): ?(i,j)?[[1,6]]2,P([X=i]∩[Y=j]) =? ??136 ,sii=j 118
,sii < j

0,sii > j.Remarque 1.3

On note aussi la loi conjointeP([X=x],[Y=y])ou, plus simplementP(X=x,Y=y).2

1.1.2 Lois conditionnelles

Définition 1.4 :Loi conditionnelleSoit(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes et pour touty?Y(Ω)tel queP(Y=y)?= 0,

l"application

X(Ω)→R

x?→P[Y=y](X=x) =P([X=x]∩[Y=y])P(Y=y) est appelée loi deXconditionnellement à l"événement[Y=y].

Remarque 1.5

On dit aussi "loi conditionnelle deXsachant que[Y=y]est réalisé" ou plus simplement "loi deXsachant

[Y=y]".Remarque 1.6 On définit de manière similaire la loi conditionnelle deYsachant[X=x].1.1.3 Lois marginales

Théorème 1.7 :Loi marginale

Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes, alors par application de la formule des probabilités

totales, les lois deXetY(lois marginales) sont données par les formules suivantes ?x?X(Ω),P(X=x) =? y?Y(Ω)P([X=x]∩[Y=y]), ?y?Y(Ω),P(Y=y) =? x?X(Ω)P([X=x]∩[Y=y]).Remarque 1.8

La connaissance des lois marginales ne suffit cependant pas à reconstituer la loi conjointe du couple, sauf

dans le cas où elles sont indépendantes.Méthode 1.9 :Comment déterminer les lois marginales avec la loi du couple?

Une fois que l"on a déterminé la loi du couple, on peut déterminer les lois marginales. La loi deXs"écrit

?x?X(Ω),P(X=x) =? y?Y(Ω)P([X=x]∩[Y=y]).

À noter que même siY(Ω)n"est pas fini, la série converge puisque l"on calcule la probabilité d"un événement

(qui existe donc).3

Exemple 3.On reprend l"exemple précédent : on lance deux dés (Xle plus petit des deux numéros obtenus

etYle plus grand numéro obtenu). On rappelle la loi du couple(X,Y): ?(i,j)?[[1,6]]2,P([X=i]∩[Y=j]) =? ??136 ,sii=j 118
,sii < j

0,sii > j.

Ainsi puisqueY(Ω) = [[1,6]]

•pouri?[[1,5]],

P(X=i) =6?

j=1P([X=i]∩[Y=j]) =P([X=i]∩[Y=i]) +6? j=i+1P([X=i]∩[Y=j]) 136
+6-i18 =13-2i36 •pouri= 6,

P(X= 6) =6?

j=1P([X= 6]∩[Y=j]) =P([X= 6]∩[Y= 6]) =136 .Proposition 1.10 :Loi marginale et loi conditionnelle

Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes. Si l"on connaît la loi marginale deY, ainsi que la

loi conditionnelle deXsachant que[Y=y]est réalisé alors la loi deXest déterminée par : ?x?X(Ω),P(X=x) =?

y?Y(Ω)P(Y=y)P[Y=y](X=x).Méthode 1.11 :Comment déterminer une loi marginale avec une loi conditionnelle?

Une fois que l"on a déterminé la loi deY, ainsi que la loi conditionnelle deXsachant que[Y=y]est

réalisé, on peut déterminer la loi deX. ?x?X(Ω),P(X=x) =? y?Y(Ω)P(Y=y)P[Y=y](X=x).Exemple 4. SoientY ?→ P(λ)pourλ >0et pourk?Netp?]0,1[, la loi deXsachant que[Y=k]est réalisé, est la loiB(k,p). Donner la loi deX.

1.1.4 Indépendance de deux variables aléatoires discrètesDéfinition 1.12 :IndépendanceOn dit que deux variables aléatoires discrètesXetYsont indépendanteslorsque :

?(x,y)?X(Ω)×Y(Ω),P([X=x]∩[Y=y]) =P(X=x)P(Y=y).Exemple 5.

On lance deux dés équilibrés à6faces (l"un est bleu, l"autre blanc). On appelleX(resp.Y) le

numéro obtenu avec le dé bleu (resp. blanc). On rappelle la loi du couple(X,Y): ?(i,j)?[[1,6]]2,P([X=i]∩[Y=j]) =136

On a les lois marginales :

?i?[[1,6]],P(X=i) =16 4 ?j?[[1,6]],P(Y=j) =16 .Comme?(i,j)?[[1,6]]2,P([X=i]∩[Y=j]) =P(X=i)P(Y=j), on en déduit queXetYsont deux variables aléatoires indépendantes.

1.2 Fonction d"un couple de variables aléatoires discrètes

1.2.1 GénéralitésProposition 1.13 :Fonction d"un couple de variables aléatoires discrètes

Soient(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes etgune application deX(Ω)×Y(Ω)dansR. La

variable aléatoireZ=g(X,Y)est alors également discrète.Remarque 1.14 :Quelques exemples En particulier, siXetYsont deux variables aléatoires discrètes, alorsX+Y,XY,max(X,Y)et

min(X,Y)sont aussi des variables aléatoires discrètes.Méthode 1.15 :Comment déterminer la loi deMax(X,Y), siXetYsont indépendantes?

SoientXetYdeux variables aléatoires discrètes indépendantes à valeurs dansN. Pour trouver la loi de

S= Max(X,Y), on utilise la fonction de répartition, après avoir justifié l"égalité suivante :

On obtient alors la loi deSavec

Une urne contientnboules numérotées de1àn. On tire au hasard deux boules, avec remise

de la boule tirée. On noteXla variable aléatoire égale au numéro de la première boule etYla variable

aléatoire égale au numéro de la deuxième boule. On poseS=Max(X,Y), ce qui signifie que?ω?Ω, S(ω) =

Max(X(ω),Y(ω)). Donner la loi deS.Méthode 1.16 :Comment déterminer la loi deMin(X,Y), siXetYsont indépendantes?

SoientXetYdeux variables aléatoires discrètes indépendantes à valeurs dansN. Pour trouver la loi de

I=Min(X,Y), on utilise la fonction de répartition de manière différente que dans le casMax(X,Y),

après avoir justifié l"égalité suivante : ?k?I(Ω),[I > k] = [X > k]∩[Y > k].

On obtient alors la loi deIavec

Une urne contientnboules numérotées de1àn. On tire au hasard deux boules, avec remise de la

boule tirée. On noteXla variable aléatoire égale au numéro de la première boule etYla variable aléatoire égale

au numéro de la deuxième boule. On poseI=Min(X,Y), ce qui signifie que?ω?Ω, I(ω) =Min(X(ω),Y(ω)).

Donner la loi deI.

5

1.2.2 Espérance

Propriété 1.17 :Linéarité de l"espéranceSi deux variables aléatoiresXetYont chacune une espérance, alors, pour touta,b?R, la variable

aléatoireaX+bYpossède une espérance et on a : E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y).Propriété 1.18 :Croissance

Soient(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes etgune application deX(Ω)×Y(Ω)dansR. On

a (sous réserve d"existence)

E(g(X,Y)) =?

x?X(Ω) y?Y(Ω)g(x,y)P([X=x]∩[Y=y]).Exemple 9. On reprend l"exemple précédent. Déterminer l"espérance deI=Min(X,Y)et deS=Max(X,Y).

1.2.3 Loi d"une sommeProposition 1.20 :Loi d"une somme de deux variables aléatoires discrètes et indépendantes

SoientXetYdeux variables aléatoires discrètes et indépendantes. La loi deX+Yest donnée par

l"égalité suivante : ?z?(X+Y)(Ω),P(X+Y=z) =? (x,y)?X(Ω)×Y(Ω) x+y=zP([X=x]∩[Y=y]) x?X(Ω)

z-x?Y(Ω)P(X=x)P(Y=z-x).Méthode 1.21 :Comment déterminer la loi de la somme de deux variables aléatoires discrètes?

SoientXetYdeux variables aléatoires discrètes et indépendantes. On utilise l"égalité précédente pour

déterminer la loi deX+Y.Exemple 10.

Soientλ,μ >0. SoientX1etX2deux variables aléatoires indépendantes tels queX1?→ P(λ)

etX2?→ P(μ). Déterminer la loi deX1+X2.Propriété 1.22 :Stabilité de la loi de Poisson par l"addition

Soientλ,μ >0. SiX1etX2sont deux variables aléatoires indépendantes telles queX1?→ P(λ)et

X2?→ P(μ), alors

X

1+X2?→ P(λ+μ).6

Propriété 1.22 :Stabilité de la loi de Poisson par l"additionSoientλ,μ >0. SiX1etX2sont deux variables aléatoires indépendantes telles queX1?→ P(λ)et

X2?→ P(μ), alors

X

1+X2?→ P(λ+μ).Propriété 1.23 :Stabilité de la loi binomiale par l"addition

SiX1etX2sont deux variables aléatoires indépendantes telles queX1?→ B(n1,p)etX2?→ B(n2,p), alors

X1+X2?→ B(n1+n2,p).Démonstration.On a :

?k?[[0,n1+n2]],P(X1+X2=k) =k? j=0P(X1=j)P(X2=k-j) k? j=0?? n 1 j? p j(1-p)n1-j? ??n 2 k-j? p k-j(1-p)n2-(k-j)? =pk(1-p)(n1+n2)-k( (k? j=0? n 1 j??quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38
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