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PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes

Variables aléatoires discrètes

I Loi d"une variable aléatoire

1 Définition d"une variable aléatoire

Définition

Soit( ;A;P)un espace probabilisé quelconque. Unevariable aléatoire discrètesur( ;A) est une applicationXdéfinie sur , telle queX( )est au plus dénombrable et pour toute partieUdeX( ),X1(U)est un événement :

8U2 P(X(

));X1(U)2 A:

Rq :Les seules variables aléatoires considérées dans le cours sont des variables aléatoires dis-

crètes (même si ce n"est pas rappelé dans chaque énoncé). SiUX( ), on note :X1(U) =f!2 =X(!)2Ug=fX2Ug= (X2U).

En particulier, six2X(

), alors : X

1(fxg) =f!2

=X(!) =xg=X1(x) =fX=xg= (X=x). SiXest une variable aléatoire réelle, on note :fX6xg=f!2 =X(!)6xg(idem pour fX>xg) . Propriété 1: Caractérisation d"une variable aléatoire discrète

SoitXune application définie sur

, telle queX( )soit au plus dénombrable.

Xest une variable aléatoire sur(

;A)si et seulement si, pour toutx2X( ),fX=xg

est un événement.Exemple :SiA2 A, la fonction indicatrice1AdeAest une variable aléatoire réelle discrète.

On admet la propriété suivante :

Propriété 2: Image d"une variable aléatoire SoitXune variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensembleEetfune application définie surX( )à valeurs dans un ensembleF. AlorsY=fX=f(X)est une variable aléatoire discrète .2 Loi de probabilité d"une variable aléatoire Propriété 3: Définition d"une loi de probabilité

SoitXune variable aléatoire discrète sur(

;A;P).

L"applicationPX:P(X(

))7![0;1]qui à toute partieUdeX( )associeP(X2U) est une probabilité sur(X( );P(X( )), appeléeloi de probabilitédeX.X(

)étant au plus dénombrable,PXest entièrement caractérisée par les probabilités élémen-

taires : 1 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes SiX( ) =fx1;;xng, on peut poser :8i2J1;nK;pi=P(X=xi). Les événementsfX=xig;16i6nforment un système complet d"événements. p

1;;pnsontnréels positifs tels que :nX

i=1p i= 1. Toute partie deX( )étant finie, la probabilité d"un événementfX2Ugse calcule en additionnant les probabilitéspiassociées aux éléments deU. SiX( ) =fxn=n2Ng, on peut poser :8n2N;pn=P(X=xn). Les événementsfX=xig;i2Nforment un système complet d"événements. (pn)nest une suite de réels positifs tels que la sérieXp nconverge et1X n=0p n= 1.

Toute partie deX(

)étant au plus dénombrable, la probabilité d"un événementfX2Ug se calcule en additionnant les probabilitéspiassociées aux éléments deU: il peut s"agir de la somme d"un nombre fini de termes ou de la somme d"une série à termes positifs convergente.

On peut noter plus généralement :X(

) =fxi=i2Ig, oùIest une partie deN. Réciproquement, on admet que la donnée despncaractérise une loi de probabilité :

Propriété 4:

1.

Soit Xune variable aléatoire telle queX(

) =fx1;;xnget soientp1;;pn nréels positifs tels que :nX i=1p i= 1. Il existe alors une unique probabilitéPsur ;A)telle que :8i2N;pi=P(X=xi). 2.

Soit Xune variable aléatoire telle queX(

) =fxn=n2Nget(pn)nune suite de réels positifs tels que la série Xp nconverge et1X n=0p n= 1. Il existe alors une unique probabilitéPsur( ;A)telle que :8n2N;pn=P(X=xn).Rq :Le choix de l"indexation des éléments deX( )est arbitraire. Mais puisqu"il s"agit d"une

série à termes positifs, ce choix n"influe pas sur la convergence de la série ni sur la valeur de sa

somme.

3 Fonction de répartition d"une variable aléatoire réelle

Définition

SoitXune variable aléatoire discrète réelle sur( ;A;P). Lafonction de répartitiondeX est la fonctionFXdeRdans[0;1]définie par :8x2R;FX(x) =P(X6x). La fonction de répartition donne donc les probabilités cumulées :FX(x)se calcule en sommant

(somme finie ou somme de série positive) les probabilités des événementsfX=xngpour toutes

les valeursxn6x. Propriété 5: Propriétés de la fonction de répartition La fonction de répartition d"une variable aléatoire discrèteXest une fonction croissante, telle que :limx!1FX(x) = 0etlimx!+1FX(x) = 12 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes Propriété 6: Fonction de répartition et loi Pouraetbréels tels quea < b, on a :P(a < X6b) =FX(b)FX(a). SiX( ) =fxn=n2Igavec :8n;xn< xn+1. Alors :P(X=x0) =FX(x0)et

8n>1;P(X=xn) =FX(xn)FX(xn1).4 Rappel des lois finies usuelles

Loi uniforme :On note :X(

) =fx1;;xng.Xsuit la loi uniforme sur cet ensemble lorsque toutes les éventualités ont la même probabilité :8k2J1;nK;P(X=xk) =1n

Exemples :Xest le numéro apparu lorsqu"on lance un dé équilibré ouXest le numéro de la

boule tirée lorsqu"on fait un tirage au hasard dans une urne contenantnboules numérotées. Loi de Bernoulli :C"est la loi d"une variable aléatoire telle que :X( ) =f0;1g. Cette loi est caractérisée par le paramètrep=P(X= 1)2]0;1[, qui correspond à la probabilité de "succès". Exemple : On lance une pièce et on poseX= 1si on obtient Pile (le "succès") etX= 0 sinon. Si la pièce est équilibrée, on a :p=12 Loi binomiale :Cette loi est caractérisée par deux paramètres :n2Netp2]0;1[.

On a alors :X(

) =J0;nKet8k2J0;nK;P(X=k) =n k p k(1p)nk. Exemple : C"est la loi d"une variable aléatoire qui compte le nombre de succès (probabilité

p) lors denépreuves répétées indépendantes. Par exemple, on lancenfois une pièce de

monnaie et on compte le nombre de Piles obtenus.

5 Loi géométrique

Définition

Xsuit uneloi géométriquede paramètrep2]0;1[lorsque : X( ) =Net8k2N;P(X=k) =p(1p)k1.

Rq :La définition est cohérente car on reconnaît une série géométrique positive de raison dans

]0;1[donc convergente et dont la somme est égale à 1.

Interprétation :On considère une suite d"épreuves répétées indépendantes au cours desquelles

un certain "succès" se réalise avec une probabilitépet on observe l"apparition du premier succès.

La probabilité d"observer un succès dès la 1ère épreuve est égale àp. Celle d"observer le 1er

succès à l"épreuvekest égale à(1p)k1p. On constate en sommant la série que la probabilité

d"obtenir au moins un succès est égale à 1. La probabilité de n"obtenir aucun succès lors de cette

répétition infinie est donc nulle (événement quasi-impossible). On peut alors définir la variable

aléatoireXégale au rang du premier succès.Xsuit la loi géométrique de paramètrep. Propriété 7: Caractérisation d"une loi géométrique SoitXune v.a. à valeurs dansN.Xsuit une loi géométrique si et seulement si :

8n2N;P(X > n)6= 0et8(n;k)2N2;P(X > n+kjX > n) =P(X > k).

On dit que la loi géométrique est la seuleloi sans mémoire.3 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes

6 Loi de Poisson

Définition

Xsuit uneloi de Poissonde paramètre2R+lorsque : X( ) =Net8k2N;P(X=k) =ekk!.

Rq :La définition est cohérente car on reconnaît une série exponentielle donc convergente,

positive et1X k=0P(X=k) = 1. Propriété 8: Approximation d"une loi binomiale par une loi de Poisson Soit(Xn)nune suite de v.a. telle que :8n2N;Xn,! B(n;pn)aveclimn!+1npn= >0.

On a alors :8k2N;limn!+1P(Xn=k) =ekk!.Considérons une épreuve répétée un très grand nombre de fois, avec une probabilité de succès

très faible. Soitle nombre moyen de succès etXla v.a. qui compte le nombre de succès. Alors Xsuit approximativement la loi de Poisson de paramètre. On interprète ainsi la loi de Poisson comme la loi des événements rares. Exemples typiques : nombre de personnes dans une file d"attente (guichet de poste, péage d"au-

toroute ...), nombre de défauts sur une pièce fabriquée industriellement, nombre de noyaux ato-

miques désintégrés pendant un intervalle de temps fixé, nombre de soldats morts par ruade de

cheval dans l"armée prussienne (exemple de Von Bortkiewicz, fin XIXième siècle) ...

II Espérance et variance

1 Espérance

Définition

$%1.Si X( )est fini,Xadmet une espérance définie par :E(X) =nX i=1x iP(X=xi). 2. Si X( )est dénombrable, la variable aléatoireXadmet une espérance finie lorsque la série de terme généralxiP(X=xi)est absolument convergente, et alors :

E(X) =X

i2Nx iP(X=xi):

Rq :La condition de convergence absolue entraîne que cette définition est indépendante de la

numérotation des valeurs prises parX. Exemple :SiA2 A, l"espérance de la fonction caractéristique1Aest égale àP(A):

E(1A) =P(A):

Les propriétés vues en Sup dans le cas des variables aléatoires finies se généralisent au cas des

variables aléatoires discrètes quelconques. 4 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes Théorème 9: Théorème du transfert dans le cas fini SoitXune variable aléatoire finie etfune fonction à valeurs réelles définie surX( Alors la variable aléatoiref(X)a une espérance finie et :

E(f(X)) =nX

i=1f(xi)P(X=xi):Exemple :E(X2) =nX i=1x

2iP(X=xi).

On admet la généralisation :

Théorème 10: Théorème du transfert dans le cas dénombrable

On supposeX(

)dénombrable :X( ) =fxi=i2Ng. Soitfune fonction à valeurs réelles définie surX( ). Alors la variable aléatoiref(X)a une espérance finie si et seulement si la sérieXf(xi)P(X=xi)est absolument convergente, et dans ce cas :

E(f(X)) =+1X

i=0f(xi)P(X=xi):Rq :L"intérêt du théorème du transfert est de permettre le calcul de l"espérance de la variable

aléatoireY=f(X)sans avoir besoin d"expliciter la loi de probabilité deY. Propriété 11: Propriétés de l"espérance 1. Linéarité : Soien tXetYdeux variables aléatoires discrètes d"espérances finies. Pour tous réelsaetb,aX+bYa une espérance finie et :

E(aX+bY) =aE(X) +bE(Y):

2. P ositivité: Soit Xune variable aléatoire discrète à valeurs positives. SiXa une espérance finie, alors :E(X)>0. 3. Croissance : Soien tXetYdeux variables aléatoires discrètes d"espérances finies

telles que :X6Y. Alors :E(X)6E(Y).On dit qu"une variable aléatoire est centrée lorsqu"elle admet une espérance nulle. SiXadmet

une espérance finie,XE(X)est donc centrée.

Propriété 12: Cas d"une variable aléatoire à valeurs dansNSiXest à valeurs dansN, alorsXadmet une espérance finie si et seulement si la sérieXP(X>n)converge, et dans ce cas :

E(X) =+1X

n=1P(X>n) =+1X n=0P(X > n):5 PSI-Lycée Brizeux Variables aléatoires discrètes

2 Variance

SiX2est d"espérance finie, on dit queXadmet un moment d"ordre 2.

Propriété 13:

SiX2est d"espérance finie, alorsXest d"espérance finie,XE(X)admet un moment d"ordre 2.Définition SiXadmet un moment d"ordre 2, lavariancedeXest le réel positif défini par :

V(X) =E((XE(X))2) =E(X2)(E(X))2:

L"écart-typedeXest alors défini par :(X) =pV(X). Rq :V(X) = 0si et seulement si :P(X=m) = 1avecm=E(X). Propriété 14: Propriétés de la variance SiXadmet une variance, alors pour tous réelsaetb: V(aX+b) =a2V(x)et(aX+b) =jaj(X).Propriété 15: Espérance et variance des lois usuelles 1. Soit Xde loi binomiale de paramètresnetp(p2]0;1[).

E(X) =npetV(X) =np(1p)

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