SECOND DEGRÉ (Partie 2)
On lit graphiquement que la courbe se situe au dessus de l'axe des abscisses sur les La parabole ne traverse donc pas l'axe des abscisses.
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
a) l'intersection de la courbe de avec l'axe des abscisses b) son axe de symétrie
FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE
On peut tracer la courbe représentative d'une fonction polynôme à l'aide de la calculatrice graphique. Il s'agit d'une parabole.
1 Forme canonique 2 Calcul des coordonnées du sommet et
Tableau de variation : La courbe représentative de f est une parabole de sommet S admettant la droite d'équation x = ?b. 2a pour axe de symétrie.
CONVEXITÉ
La fonction f est concave sur I si sur l'intervalle I
Math2 – Chapitre 5 Circulation et flux
Idée – Une courbe est une figure géométrique C de dimension intrins`eque égale `a 1 comme une droite
LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE
appelée une parabole. Propriété : La courbe d'équation = de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Diverses méthodes pour calculer des aires paraboliques Jean
sur la figure 1 que l'arc courbe (OW) est un arc de la parabole d'équation ... On rappelle le lien entre primitive et « aire sous la courbe » (fig.2 ...
Four solaire et parabole
courbe obtenue ressemble fortement à une parabole même si l'accumulation des approximations et le choix de placer M0 à l'extrémité de la.
A(x) On donne ci-contre la courbe (parabole) qui représente la
On donne ci-contre la courbe. (parabole) qui représente la fonction A : x x². Retrouver parmi les expressions suivantes la fonction polynôme.
Paraboles : constructions et propriétés
En reprenant les notations précédentes une parabole P est la courbe obtenue par l’intersection d’un cône et d’un plan ?parallèle à l’une des génératrices du cône Ci-dessous sont représentées des vues de face latérale et trois-quarts de la section d’un cône (en orange) par le plan
LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE - maths et tiques
Définition : Une fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées est une fonction paire Remarque : Pour une fonction paire on a : !(?$)=!($) C’est ce résultat qu’il faudra vérifier pour prouver qu’une fonction est paire Méthode : Démontrer qu’une fonction est paire Vidéo https://youtu be/oheL-ZQYAy4
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Etude complète de la courbe d’équation polaire r = 2cosq+1 2sinq+1 Correction H [005531] Exercice 3 La cardioïde Soit la courbe d’équation polaire r =a(1+cosq) a>0 1 Construire la courbe 2 Longueur et développée Correction H [005532] Exercice 4 Construire la courbe d’équation cartésienne x2(x2 +y2) (y x)2 =0 après être
Que représente une parabole ?
La parabole est une courbe plane, symétrique par rapport à un axe, approximativement en forme de U. Elle peut se définir mathématiquement de plusieurs façons, équivalentes. Le plus souvent, la parabole est définie comme une courbe plane dont chacun des points est situé à égale distance d'un point fixe, le foyer, et d'une droite fixe, la directrice.
Comment calculer la directrice d'une parabole ?
p est le paramètre de la parabole. Le point F (0, p / 2) est le foyer de la parabole. et la directrice est la droite y = ? p / 2. La représentation cartésienne de y = ax² + bx + c permet de visualiser les solutions du trinôme ax² + bx + c = 0 .
Comment savoir si une parabole est convexe ?
Si a>0 a > 0, la fonction est convexe sur ? R, ce qui signifie que la parabole est située au-dessus de chacune de ses tangentes. Si a
![SECOND DEGRÉ (Partie 2) SECOND DEGRÉ (Partie 2)](https://pdfprof.com/Listes/17/48080-17Secondegre2GM.pdf.pdf.jpg)
1 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRÉ (Partie 2) I. Lecture graphique du signe d'une fonction 1) Tableau de signes On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction f. On lit graphiquement que la courbe se situe au dessus de l'axe des abscisses sur les intervalles -∞;-3
et 2;+∞. Ainsi, sur ces intervalles, la fonction f est positive. On observe de même que la fonction f est négative sur l'intervalle -3;2
. On peut donc dresser le tableau de signes de la fonction f : x -∞ -3 2 +∞f (x) + 0 - 0 + 2) Résolution graphique d'une inéquation On déduit de l'étude précédente que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)≥0
est : S=-∞;-3 ∪2;+∞ . On a également que l'ensemble des solutions de l'inéquation f(x)<0 est : S=-3;22 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frII. Signe d'un polynôme du second degré Vidéo https://youtu.be/sFNW9KVsTMY Vidéo https://youtu.be/pT4xtI2Yg2Q 1) Exemples a) Soit la fonction f, telle que :f(x)=x
2 +3x+5. - On a = 1 > 0, donc la parabole est tournée dans le sens " cuvette ». - Le discriminant de
x 2 +3x+5 est : Δ = 32 - 4 x 1 x 5 = 9 - 20 = -11 < 0 L'équation x 2 +3x+5=0n'a pas de solution. La parabole ne traverse donc pas l'axe des abscisses. Elle est donc située au dessus de l'axe des abscisses. On en déduit que
x 2 +3x+5 est toujours positif. b) Soit la fonction f, telle que : f(x)=-x 2 +4. - On a = -1 < 0, donc la parabole est tournée dans le sens " colline ». - Le discriminant de -x
2 +4 est : Δ = 02 - 4 x (-1) x 4 = 16 > 0 L'équation -x 2 +4=0admet deux solutions donc la parabole traverse l'axe des abscisses en deux points. La parabole est donc située au dessus de l'axe des abscisses entre ces deux points. On en déduit que -x
2 +4est positif pour x compris entre les abscisses de ces deux points et négatif ailleurs. 2) Cas général Soit f une fonction polynôme du second degré, telle que :
f(x)=ax 2 +bx+c . a) Cas où Δ < 0 Dans ce cas, l'équation ax 2 +bx+c=0n'a pas de solution donc la parabole ne traverse pas l'axe des abscisses. Selon le signe de a, elle est soit au dessus, soit en dessous de l'axe des abscisses.
3 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Sia > 0 Si a < 0 b) Cas où Δ = 0 Dans ce cas, l'équation ax
2 +bx+c=0admet une unique solution donc la parabole admet son extremum sur l'axe des abscisses. Selon le signe de a, elle est soit au dessus, soit en dessous de l'axe des abscisses. Sia > 0 Si a < 0 c) Cas où Δ > 0 Dans ce cas, l'équation ax
2 +bx+c=0admet deux solutions donc la parabole traverse l'axe des abscisses en deux points. Selon le signe de a, on a : Sia > 0 Si a < 0 x -∞
f(x) + x -∞ f(x) - x -∞ x 0 f(x) - 0 - x -∞ x 0 f(x) + 0 + x -∞ x 1 x 2 f(x) + 0 - 0 + x -∞ x 1 x 2 f(x) - 0 + 0 - x0 x0 x1 x2 x1 x24 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frIII. Résolution d'une inéquation du second degré Méthode : Résoudre une inéquation Vidéo https://youtu.be/AEL4qKKNvp8 Résoudre l'inéquation suivante :
3x 2 +6x-9>0 - On commence par résoudre l'équation 3x 2 +6x-9=0 . Le discriminant de 3x 2 +6x-9 est Δ = 62 - 4 x 3 x (-9) = 36 + 108 = 144. Les solutions de l'équation 3x 2 +6x-9=0 sont : x 1 -6-1442×3
-6-12 6 =-3 et x 2 -6+1442×3
-6+12 6 =1 - On dresse ensuite le tableau de signes : x -∞ -3 1 +∞ 3x 2 +6x-9 + 0 - 0 + 3x 2 +6x-9 est strictement positif sur les intervalles -∞;-3 et 1;+∞ . L'ensemble des solutions de l'inéquation 3x 2 +6x-9>0 est donc -∞;-3 ∪1;+∞. Une vérification à l'aide de la calculatrice n'est jamais inutile ! On peut lire une valeur approchée des racines sur l'axe des abscisses. -3 1 Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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