[PDF] LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE - maths et tiques





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SECOND DEGRÉ (Partie 2)

On lit graphiquement que la courbe se situe au dessus de l'axe des abscisses sur les La parabole ne traverse donc pas l'axe des abscisses.



FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

a) l'intersection de la courbe de avec l'axe des abscisses b) son axe de symétrie



FONCTIONS POLYNOMES DU SECOND DEGRE

On peut tracer la courbe représentative d'une fonction polynôme à l'aide de la calculatrice graphique. Il s'agit d'une parabole.



1 Forme canonique 2 Calcul des coordonnées du sommet et

Tableau de variation : La courbe représentative de f est une parabole de sommet S admettant la droite d'équation x = ?b. 2a pour axe de symétrie.



CONVEXITÉ

La fonction f est concave sur I si sur l'intervalle I



Math2 – Chapitre 5 Circulation et flux

Idée – Une courbe est une figure géométrique C de dimension intrins`eque égale `a 1 comme une droite



LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

appelée une parabole. Propriété : La courbe d'équation = de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.



Diverses méthodes pour calculer des aires paraboliques Jean

sur la figure 1 que l'arc courbe (OW) est un arc de la parabole d'équation ... On rappelle le lien entre primitive et « aire sous la courbe » (fig.2 ...



Four solaire et parabole

courbe obtenue ressemble fortement à une parabole même si l'accumulation des approximations et le choix de placer M0 à l'extrémité de la.



A(x) On donne ci-contre la courbe (parabole) qui représente la

On donne ci-contre la courbe. (parabole) qui représente la fonction A : x x². Retrouver parmi les expressions suivantes la fonction polynôme.



Paraboles : constructions et propriétés

En reprenant les notations précédentes une parabole P est la courbe obtenue par l’intersection d’un cône et d’un plan ?parallèle à l’une des génératrices du cône Ci-dessous sont représentées des vues de face latérale et trois-quarts de la section d’un cône (en orange) par le plan



LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE - maths et tiques

Définition : Une fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées est une fonction paire Remarque : Pour une fonction paire on a : !(?$)=!($) C’est ce résultat qu’il faudra vérifier pour prouver qu’une fonction est paire Méthode : Démontrer qu’une fonction est paire Vidéo https://youtu be/oheL-ZQYAy4



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Etude complète de la courbe d’équation polaire r = 2cosq+1 2sinq+1 Correction H [005531] Exercice 3 La cardioïde Soit la courbe d’équation polaire r =a(1+cosq) a>0 1 Construire la courbe 2 Longueur et développée Correction H [005532] Exercice 4 Construire la courbe d’équation cartésienne x2(x2 +y2) (y x)2 =0 après être

Que représente une parabole ?

La parabole est une courbe plane, symétrique par rapport à un axe, approximativement en forme de U. Elle peut se définir mathématiquement de plusieurs façons, équivalentes. Le plus souvent, la parabole est définie comme une courbe plane dont chacun des points est situé à égale distance d'un point fixe, le foyer, et d'une droite fixe, la directrice.

Comment calculer la directrice d'une parabole ?

p est le paramètre de la parabole. Le point F (0, p / 2) est le foyer de la parabole. et la directrice est la droite y = ? p / 2. La représentation cartésienne de y = ax² + bx + c permet de visualiser les solutions du trinôme ax² + bx + c = 0 .

Comment savoir si une parabole est convexe ?

Si a>0 a > 0, la fonction est convexe sur ? R, ce qui signifie que la parabole est située au-dessus de chacune de ses tangentes. Si a

LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE - maths et tiques 1 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

LES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/DUbAkwCX8O8

Partie 1 : Fonction paire, fonction impaire

1. Fonction paire

Définition : Une fonction dont la courbe est

symétrique par rapport à l'axe des ordonnées est une fonction paire.

Remarque :

Pour une fonction paire, on a :

C'est ce résultat qu'il faudra vérifier pour prouver qu'une fonction est paire. Méthode : Démontrer qu'une fonction est paire

Vidéo https://youtu.be/oheL-ZQYAy4

Démontrer que la fonction définie par =5 +3 est paire.

Correction

On a :

=5 +3=5 +3

Donc

La fonction est donc paire.

Sa représentation graphique (ci-contre) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

2. Fonction impaire

Définition : Une fonction dont la courbe est symétrique par rapport à l'origine du repère est une fonction impaire.

Remarque :

Pour une fonction impaire, on a :

C'est ce résultat qu'il faudra vérifier pour prouver qu'une fonction est impaire. 2 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr Méthode : Démontrer qu'une fonction est impaire

Vidéo https://youtu.be/pG0JNDLgEDY

Démontrer que la fonction définie par -3 est impaire.

Correction

On a :

-3× +3

Et -

-3 +3

Donc

La fonction est donc impaire. Sa représentation graphique (ci-contre) est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Partie 2 : Fonction carré

Définition : La fonction carré est la fonction définie sur ℝ par

Remarque :

Dire que la fonction carré est définie sur ℝ signifie que peut prendre n'importe quelle

valeur de ℝ.

La courbe d'équation =

de la fonction carré est appelée une parabole. Propriété : La courbe d'équation = de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. La fonction carré est paire.

Méthode : Comparer des images

Vidéo https://youtu.be/-d3fE8d0YOc

1) Représenter la fonction carré dans un repère.

2) a) Comparer graphiquement les nombres (0,5) et (2).

b) Même question avec (-1,5) et (-1).

3) Vérifier par calcul le résultat de la question 2b.

-2 -1 0 1 2

4 1 0 1 4

3 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

Correction

1)

2) a) En traçant les images de 0,5 et de 2 par la fonction , on constate que :

0,5 2 b) En traçant les images de -1,5 et de -1 par la fonction , on constate que : -1 -1,5

3) On a .

Ainsi :

-1,5 -1,5 =2,25. -1 -1 =1

On en déduit que

-1 -1,5 Résoudre une inéquation avec la fonction carré :

Vidéo https://youtu.be/Xv_mdK9kaCA

fx =x 2 4 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

Partie 3 : Fonction racine carrée

Définition : La fonction racine carrée est la fonction définie sur

0;+∞

par Remarque : La fonction racine carrée n'est pas définie pour des valeurs négatives. Résoudre une inéquation avec la fonction racine carrée :

Vidéo https://youtu.be/UPI7RoS0Vhg

Partie 4 : Fonction inverse

Définition : La fonction inverse est la fonction définie sur ℝ\ 0 par

Remarques :

• Dire que la fonction inverse est définie sur ℝ\ 0 signifie que peut prendre n'importe quelle valeur de ℝ sauf 0. On dit que la fonction inverse n'est pas définie en 0. • L'ensemble ℝ\ 0 peut se noter également ]-¥;0[∪]0;+¥[ ou encore ℝ*.

La courbe d'équation =

de la fonction inverse est appelée une hyperbole. -2 -1 0,25 1 2 3 () -0,5 -1 4 1 0,5 1 3 5 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

Propriété : La courbe d'équation =

de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère. La fonction inverse est impaire. Méthode : Calculer une image ou un antécédent par la fonction inverse

Vidéo https://youtu.be/gHDcYSHfSlk

On considère la fonction définie sur ℝ\ 0 par =2+ a) Calculer les images de 3 et de 6 par la fonction . b) Calculer l'antécédent de 7 par la fonction .

Correction

a) - Image de 3 : 3 =2+ =2+1=3.

L'image de 3 est 3.

- Image de 6 : 6 =2+ 3 6 =2+0,5=2,5

L'image de 6 est 2,5.

b) Antécédent de 7 :

On résout l'équation

=7

Soit : 2+

=7 =7-2 3 =5 3 1 5 =3× 1 5 3 5

L'antécédent de 7 est

Résoudre une inéquation avec la fonction inverse :

Vidéo https://youtu.be/V07NxCl7Eto

6 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

Partie 5 : Fonction cube

1. Définition et représentation graphique

Définition : La fonction cube est la fonction définie sur ℝ par Propriété : La courbe d'équation = de la fonction cube est symétrique par rapport à l'origine du repère. La fonction cube est impaire.

2. Positions relatives des courbes d'équations : =, =

et = Propriété : Pour des valeurs positives de , on a : - Si ≥1 : La courbe d'équation = se trouve au-dessus de la courbe d'équation = qui se trouve elle-même au-dessus de la courbe d'équation =.

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/op54acayjIQ

• 1 er cas : si ≥ : - Pour étudier les positions relatives des courbes d'équations = et = il suffit d'étudier le signe de 7 Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr

Or,

-1 ≥0 car ≥1.

Donc, la courbe d'équation =

se trouve au-dessus de la courbe d'équation - Pour étudier les positions relatives des courbes d'équations = et il suffit d'étudier le signe de

Or,

-1 ≥0 car ≥1.

Donc la courbe d'équation =

se trouve au-dessus de la courbe d'équation - Dans ce cas, -1

Donc, la courbe d'équation =

se trouve en dessous de la courbe d'équation - Et, -1

Donc la courbe d'équation =

se trouve en dessous de la courbe d'équation

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