Métropole juin 2018 PDF On a représenté ci-

La chaînette 1 Le cosinus hyperbolique

La chaînette est le nom que porte la courbe obtenue en tenant une corde (ou un collier un fil

Métropole juin 2018

On a représenté ci-dessous la courbe d'équation : y= On définit la « largeur » et la « hauteur » de l'arc de chaînette délimité par les points M et M' ...

Chaînette ? ?

On considère un fil pesant ou une chaînette à maille fine de longueur 2L Cette équation transcendante est résolue numériquement et on en déduit a = u/z.

chainette.pdf - Optimisation et cha?nette

2 juin 2008 courbe est une cha?nette dont l'équation fait intervenir un cosinus hyperbolique. Afin de modéliser mathématiquement le probl`eme

Chapitre 13 Les câbles

Les équations d'équilibre externe et le calcul des réactions d'appui pour rejoindre celle de la chaînette d'équation plus complexe.

Sujet et corrigé mathématiques bac s obligatoire

https://www.freemaths.fr/corriges-par-theme/bac-s-mathematiques-france-metropolitaine-2018-obligatoire-corrige-exercice-1-fonctions-derivees-integrales.pdf

Cours de mathématiques - Exo7

Place aux maths : nous allons expliquer comment calculer l'équation d'une chaînette. 1. Le cosinus hyperbolique. 1.1. Définition.

Textes L-4

Le calcul différentiel de Leibniz appliqué à la chaînette Figure 3 : L'équation de la chaînette établie par Jean Bernoulli

Exo7 - Cours de mathématiques

Stop ! Place aux maths : nous allons expliquer comment calculer l'équation d'une chaînette. 1. Le cosinus hyperbolique.

Sans titre

2/ L'équation différentielle de la chaînette : Leibniz tire de l'étude précédente la relation : dx. V k. (1) qui "traitée avec adresse" se réduit à dy.

3 5 Calcul de l’équation Théorème 1 Une équation de la chaînette est y(x) = ach x a ; où aest une constante qui vaut a= T h g Démonstration Tout d’abord nous lions la tension horizontale T het la tension verticale T v en fonction de l’angle que forme la chaînette avec l’horizontale Tdénote la norme de ~T (x) ~T(x)-T h(x)~i

Cours de mathématiques - Exo7

Chaînette On considère un fil pesant ou une chaînette à maille fine de longueur 2L et dont la masse par unité de longueur est ? Le fil est suspendu entre les points A et B de coordonnées (-u v) et (u v) On recherche la forme du fil quand il n’est soumis qu’à son propre poids

UNE CHAINETTE - maths au quotidien

On appelle chaînette ou caténaire une courbe d’équation y = a ch Une chaînette est la forme prise par un « fil » pesant homogène flexible inextensible suspendu entre deux points Galilée pensait que c'était un arc de parabole mais Leibniz Jean Bernoulli et Huygens

Exo7 : Cours et exercices de mathématiques

Quelle est l’équation d’une chaînette?

Introduction Lachaînetteest le nom que porte la courbe obtenue en tenant une corde (ou un collier, un ?l,...) par deux extré- mités. Sans plus tarder voici l’équation d’une chaînette : y=ach x a Ici «ch» désigne le cosinus hyperbolique, dé?ni à partir de la fonction exponentielle :y(x) =a 2 ex a+ea , nous y reviendrons.

Comment calculer la chaînette ?

Vérifier que pour tout réel x : ch2(x) = . Une chaînette est la forme prise par un « fil » pesant, homogène, flexible, inextensible suspendu entre deux points. Galilée pensait que c'était un arc de parabole, mais Leibniz, Jean Bernoulli, et Huygens ont montré en 1691, indépendamment, qu'il n'en était rien.

Qu'est-ce que la théorie de la chaînette ?

La théorie de la chaînette décrit la courbe d'équilibre d'une ligne (chaîne ou câble) suspendue entre deux points, homogène, inextensible, sans rigidité en flexion, soumise à son seul poids. Cette dernière condition assure que toute la courbe est située dans un plan vertical, le système de coordonnées étant naturellement x horizontal, y vertical.

Qu'est-ce que la chaînette ?

Chaînette / chaînette renversée. L'application de la courbe de la chaînette à la construction d' arches est attribuée au physicien anglais Robert Hooke, dans le contexte de la reconstruction de la Cathédrale Saint-Paul de Londres, où il a fait allusion à une caténaire (« catenary curve »), mais il n'en réalisa qu'une « approximation » 6 .

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Exercice 1 6 points

Dans cet exercice, on munit le plan d'un repère orthonormé. On a représenté ci-dessous la courbe d'équation : y=1

2(ex+e-x-2).

Cette courbe est appelée une " chaînette ».

On s'intéresse ici aux " arcs de chaînette » délimités par deux points de cette courbe symétriques par rapport

à l'axe des ordonnées.

Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.

On définit la " largeur » et la " hauteur » de l'arc de chaînette délimité par les points M et M' comme indiqué

sur le graphique.

Le but de l'exercice est d'étudier les positions possibles sur la courbe du point M d'abscisse x strictement po-

sitive afin que la largeur de l'arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation :

(E): ex+e-x-4x-2=0.

2. On note f la fonction définie sur l'intervalle [0;+∞[ par : f(x)=ex+e-x-4x-2.

2.a. Vérifier que pour tout x > 0, f(x)=x

(ex x-4)+e-x-2.

2.b. Déterminer

limx→+∞ f(x).

3.a. On note

f' la fonction dérivée de f. Calculer f'(x), où x appartient à l'intervalle [0;+∞[.

3.b. Montrer que l'équation f'(x)=0 équivaut à l'équation : (ex)2-4ex-1=0.

3.c. En posant X=ex, montrer que l'équation

f'(x)=0 admet une unique solution réelle le nombre : ln(2+

4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée

f' de f.

4.a. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

4.b. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution strictement positive que l'on notera

5. On considère L'algorithme suivant où les variables a, b et m sont des nombres réels :

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5.a. Avant l'exécution de cet algorithme, les variables a et b contiennent respectivement les valeurs 2 et 3

Que contiennent-elles à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-dessous avec les différentes valeurs

prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme.

5.b. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin de l'algorithme à la question précédente ?

6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis au États-Unis, a l'allure ci-dessous.

Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à la hauteur.

La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement positive de l'équation

(E'): et

39+e-t

39-4t

39-2=0 .

Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

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CORRECTION

1. Pour tout nombre réel x positif, la largeur de la chaînette est égale à 2x et la hauteur de la chaînette est égale

à 1

2(ex+e-x-2). La largeur de la chaînette est égale à sa hauteur si et seulement si 1

2(ex+e-x-2)=2x

⇔ ex+e-x-2=-4x ⇔ ex+e-x-4x-2=02. Pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;+∞[, f(x)=ex+e-x-4x-2.

2.a. Pour tout nombre réel x strictement positif :

x (ex x-4)=ex-4x donc f(x)=ex+e-x-4x-2=x(ex x-4)+e-x-2.

2.b. Nous savons que

limx→+∞ ex x=+∞donc limx→+∞(ex x4)=+∞, d'autre part e-x=1 ex et limx→-∞e-x=0

Conséquence

limx→+∞ f(x)=+∞3.a. (eu)'=u'eu donc (e-x)'=-e-x f est dérivable sur [0;+∞[ et f'(x)=ex-e-x-43.b. f'(x)=0 ⇔ ex-e-x-4=0 ⇔ ex-1 ex-4=0 ⇔ (ex)2-1-4ex ex=0 ⇔ (ex)2-4ex-1=0

3.c. On pose

X=ex et on obtient l'équation : X2-4X-1=0.

Δ=16-4×(-1)×1=20

X'=4-

X''=4+

ex=2-

L'équation

4.a. En utilisant le tableau de signes de la fonction dérivée, on obtient le tableau de variations de f.

f(0)=e0+e0-4×0-2=0

On obtient en utilisant la calculatrice

4.b. Sur l'intervalle ]0;ln(2+

sur l'intervalle f est continue et strictement croissante sur

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donc le théorème des valeurs intermédiaires nous permert d'affirmer que l'équation f(x)=0 admet une uni-

L'équation f(x)=0 admet une unique solution

α strictement positive.

5.a. En utilisant la calculatrice on obtient :

f(2,5)=0,26 >0, f(2,25)=-1,4< 0, f(2,375)=-0,66< 0, f(2,4375)=-0,22< 0 On peut obtenir ces résultats en effectuant une programmation en Python de l'algorithme

Exécution du programme

5.b. on obtient 2,4375 < α < 2,5

6. (E'): et

39+e-t

39-4t

39-2=0

On pose

x=t

39 et on obtient l'équation (E) : ex+e-x-4x-2=0.

L'unique solution strictement positive de cette équation est :

α=t

39 ⇔ t=39α.

La largeur, en mètre, de l'arc considéré est : l=

78α

2,4375 < α < 2,5 78×2,4375 < 2l < 78×2,5

190,125 < 2l < 195

La hauteur étant égale à la largeur, la hauteur de la Gateway Arch comprise entre 190 m et 195 m.

quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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[PDF] Métropole juin 2018 On a représenté ci-

Quelle est l’équation d’une chaînette?

Comment calculer la chaînette ?

Qu'est-ce que la théorie de la chaînette ?

Qu'est-ce que la chaînette ?

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2(ex+e-x-2).

à l'axe des ordonnées.

1. Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement positives de l'équation :

2. On note f la fonction définie sur l'intervalle [0;+∞[ par : f(x)=ex+e-x-4x-2.

2.a. Vérifier que pour tout x > 0, f(x)=x

2.b. Déterminer

3.a. On note

3.b. Montrer que l'équation f'(x)=0 équivaut à l'équation : (ex)2-4ex-1=0.

3.c. En posant X=ex, montrer que l'équation

4. On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée

4.a. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

4.b. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution strictement positive que l'on notera

5. On considère L'algorithme suivant où les variables a, b et m sont des nombres réels :

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5.a. Avant l'exécution de cet algorithme, les variables a et b contiennent respectivement les valeurs 2 et 3

5.b. Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin de l'algorithme à la question précédente ?

6. La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis au États-Unis, a l'allure ci-dessous.

39+e-t

39-2=0 .

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CORRECTION

1. Pour tout nombre réel x positif, la largeur de la chaînette est égale à 2x et la hauteur de la chaînette est égale

à 1

2(ex+e-x-2). La largeur de la chaînette est égale à sa hauteur si et seulement si 1

2(ex+e-x-2)=2x

2.a. Pour tout nombre réel x strictement positif :

2.b. Nous savons que

Conséquence

3.c. On pose

X=ex et on obtient l'équation : X2-4X-1=0.

Δ=16-4×(-1)×1=20

X''=4+

L'équation

4.a. En utilisant le tableau de signes de la fonction dérivée, on obtient le tableau de variations de f.

On obtient en utilisant la calculatrice

4.b. Sur l'intervalle ]0;ln(2+

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L'équation f(x)=0 admet une unique solution

α strictement positive.

5.a. En utilisant la calculatrice on obtient :

Exécution du programme

5.b. on obtient 2,4375 < α < 2,5

6. (E'): et

39+e-t

39-2=0

On pose

39 et on obtient l'équation (E) : ex+e-x-4x-2=0.

α=t

39 ⇔ t=39α.

78α

2,4375 < α < 2,5 78×2,4375 < 2l < 78×2,5

190,125 < 2l < 195