[PDF] SURFACES PARAMÉTRÉES Résumé de cours de calcul différentiel

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SURFACES PARAM

ETREES

Resume de cours de calcul dierentiel 2 L3 de B. Calmes, Universite d'Artois (version du 20 mars 2016) Il est possible de parametrer des surfaces a partir de domaines varies dansR2, ouverts, fermes, ni l'un ni l'autre, etc. mais il faut garder a l'esprit que les sous- ensemples quelconques deR2sont topologiquement beaucoup plus compliques que ceux deR, et certains (comme une droite) sont vraiment trop degeneres pour pa- rametrer des surfaces. Toutefois, comme nous nous interessons ici en premier lieux aux proprietes locales, nous supposerons que notre domaine de denition est soit un ouvert connexe deR2.

1.Surfaces parametrees

Dans ce qui suit,Udesigne un ouvert connexe deR2.

1.1.Denition.Unesurface parametreeest une application continueF:U!Rn.

Sonsupportest l'image def.

On parle de surface parametreeCksi l'applicationFestCk, ce qui est le cas exactement si lesn-applications coordonneesFi:U!RsontCk.

1.2.Denition.La surface parametree est ditesimplesiFest injective.

1.3.Denition.La surface parametree est ditereguliereen (u;v) si elle estC1en

(u;v) et si sa dierentielleDF(u;v) est de rang 2 (i.e. injective). C'est bien entendu equivalent a ce que les deux derivees partielles@1Fet@2F soient continues sur un voisinage ouvert de (u;v) et a ce que les vecteurs@1F(u;v) et@2F(u;v) soient lineairement independants.

1.4.Denition.Deux surfaces parametreesF:U!RnetG:V!Rnsont

ditesequivalentes(resp.Ck-equivalentes) s'il existe un homeomorphisme (resp. un C k-dieomorphisme) :U!Vtel queG=F . Comme dans le cas des courbes, deux surfaces equivalentes ont m^eme support, l'une est simple si l'autre l'est, et si elles sontCk-equivalentes, l'une estCksi l'autre l'est, etc.

2.Espace tangent

SoitUun ouvert deR2, etF:U!Rnune application dierentiable enx2U.

2.1.Denition.On dit qu'elle estreguliereenxsi c'est une immersion enx.

2.2.Denition(espace tangent).Pour une surface parametree dierentiable en

(u;v), on denit son espace tangent comme le sous-espace ane passant par le point F(u;v) et d'espace vectoriel sous-jacent im(DF(u;v)). Il est donc de dimension au plus 2, et exactement 2 lorsque la surface est reguliere en (u;v). Lorsque la surface n'est pas dierentiable en (u;v), la notion d'espace tangent n'est pas aussi claire et il y a plusieurs denitions possibles selon le point de vue qu'on adopte (ordre de contact, ensemble des tangentes au courbes passant par le point, etc.). Nous ne nous aventurerons pas dans cette direction. 1

2 SURFACES PARAM

ETREES

2.3.Proposition.Deux surfaces parametreesC1-equivalentes ont m^eme espace

tangent.

Le corollaire

4.7 du r esume1 nous di tque p ourun esurface param etreer eguliere, le plan tangent en un point se caracterise par une propriete de contact. Par ailleurs, puisque dansR3, un plan engendre par deux vecteursaetbest l'ensemble des vecteursxtels que (a^b)x= 0, ce qui fournit une equation cartesienne, on a :

2.4.Proposition.Le plan tangent a une surface parametree reguliereFen(u;v)

est donne par l'equation0 @0 @x y z1 A

F(u;v)1

A @F@u (u;v)^@F@v (u;v)= 0 Voici un cas particulier important. Soitf:U!Rune application conti- nue. On considere songraphefqui est l'ensemble des points deURde la forme (u;v;f(u;v)). C'est une surface parametree parF:U!R3envoyant (u;v) (u;v;f(u;v)).

2.5.Proposition.SifestC1en un point(u;v), alorsFest reguliere en(u;v)et

l'espace tangent aFen(u;v)est le plan d'equation zf(u;v) = (xu)@f@u (u;v) + (yv)@f@u (u;v)

2.6.Remarque.Notons que lorsque la surface n'est pas parametree, mais donnee

comme les zeros d'une submersionR3!R, alors le theoreme4.11 du r esume1 nous fournit une equation du plan tangent.

3.Normale et repere de Darboux

Etant donne une surface parametree reguliere simpleF:U!R3, considerons le vecteur h(u;v) =N(u;v)kN(u;v)kouN(u;v) =@F@u (u;v)^@F@v (u;v) C'est donc un vecteur unitaire normal a la surface, qui engendre la droite normale (i.e. perpendiculaire au plan tangent) a cette surface au point considere.

3.1.Lemme.La droite normale ne change pas par changement de parametreC1

(laissant la surface reguliere) et le vecteurhne change pas non plus si et seule- ment si le changement de parametre induit un isomorphisme direct sur les espaces tangentsR2!R2. Par exemple, si on echange le r^ole deuetv, le vecteurhchange de sens. Uetant connexe, on voit facilement par continuite qu'un changement de variable U'Vinduit soit en tout point un isomorphisme tangent directR2'R2, soit en tout point un isomorphisme non direct (i.e. il ne peut y avoir un point ou c'est l'un et un point ou c'est l'autre). De maniere analogue, le choix d'un sens de la normale en un point induit un choix sur toutes les normales par continuite. Les choix suivants sont donc equivalents : (1) Un c hoixd'une classe d' equivalencede param etrages ac hangementde v a- riable \direct" pres;

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(2) Un c hoixd'un sens sur la normale en un p ointdonn e.

3.2.Denition.La donnee d'un tel choix est appele uneorientation.

Autant le vecteur normalhest relativement canonique (au sens pres), autant le choix d'une base de l'espace tangent est arbitraire. Toutefois, si l'on se donne une courbe regulierefparametree par longueur d'arc et qui est sur la surface, alors en tout pointF(u;v) =f(s), on peut considerer les trois vecteurs(s),h(s) =h(u;v) etn(s) =h(s)^(s).

3.3.Denition(repere de Darboux).Le repere orthonorme direct ((s);n(s);h(s))

est appelerepere de Darbouxassocie afdansF. Le vecteurn(s) est appelevecteur normal geodesique. Attention, le vecteur normal geodesique est normal a la courbef, mais tangent a la surfaceF.

On a donc bien entendu les relations suivantes

2=n2=h2= 1 etn=nh=h= 0

dont on tire par derivation lorsque la courbe estC2

0=nn0=hh0= 0 etn0+0n=nh0+n0h=h0+h0= 0:

3.4.Denition.On appellecourbure normaledefdansFla fonction

n(s) =h(s)0(s) =h0(s)(s); courbure geodesiquedefdansFla fonction g(s) =n(s)0(s) =n0(s)(s); ettorsion geodesiquedefdansFla fonction g(s) =n(s)h0(s) =n0(s)h(s):

3.5.Proposition.On a les formules de Darboux :

0(s) =g(s)n(s) +n(s)h(s); n0(s) =g(s)(s)g(s)h(s);

eth0(s) =n(s)(s) +g(s)n(s) ou, sous forme matricielle : dds 0 @(s) n(s) h(s)1 A =0 @0g(s)n(s) g(s) 0g(s) n(s)g(s) 01 A0 @(s) (s) (s)1 A Contrairement au cas du repere de Frenet, il n'y a aucune raison que la compo- santen(s) s'annule en general.

3.6.Denition.Une courbefreguliere (parametree par longueur d'arc) sur la

surfaceFest appeleegeodesiquesi sa courbure geodesiquegest nulle en tout point. Ces courbes ont une importance capitale en mecanique du point parece qu'il y a equivalence entre les deux points suivants : (1) Une particule se d eplace avitesse constan tesur une g eodesiquede la sur- face; (2) Elle ne subit qu'une acc elerationn ormale ala sur face.

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ETREES

Si une particule se deplace \sans frotter" sur une surface et sans ^etre soumise a aucune force exterieure, elle suivra donc une geodesique.

Cela revient a ceci :

3.7.Proposition.Pour une courbefparametree parf(t) =F(u(t);v(t)), ouuet

vsontC2, il y a equivalence entre (1)f00(t)@F@u (u(t);v(t)) = 0etf00(t)@F@v (u(t);v(t)) = 0; (2)fest une geodesique etkf0(t)kest constante.

3.8.Remarque.La generalisation de la notion de courbure et de geodesique a

d'autres dimensions (ex : 4) permet la formulation de nombreuse situtations en physique. Par exemple la relativite generale arme qu'une particule (par exemple une particule de lumiere, un photon) suit une geodesique de l'espace-temps (de dimension 3 + 1 = 4).

4.Aire

SoitF:U!R3une surface parametree reguliere, et soitDUun domaine (mesurable). Alors l'aire de la surface est donne parZ D k@F@u ^@F@v kdudv On peut justier cette formule en veriant qu'elle donne le resultat attendu pour les surfaces anes sur des rectangles, qu'elle est additive sur le domaine (equivalent de la relation de Chasles).quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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