Cours 2 : Surfaces paramétrées
surface paramétrée. Archimède. Cours 2 : Surfaces paramétrées. Vincent Borrelli. Université de Lyon. Une surface réglée : la surface de Cayley
SURFACES PARAMÉTRÉES Résumé de cours de calcul différentiel
20 mars 2016 Deux surfaces paramétrées C1-équivalentes ont même espace tangent. Le corollaire 4.7 du résumé 1 nous dit que pour une surface paramétrée réguli ...
Université Paris-Sud XI COURBES ET SURFACES
nous intéresser au comportement local de la surface. 3.2.1 Plan tangent. Fixons un ouvert U de R2 et une nappe paramétrée ? : U ? R3. Pour étudier la.
Courbes et Surfaces Param´etr´ees
28 avr. 2020 des surfaces paramétrées et nous introduisons la notion de surface ... Soient f : D ? R2 ?? R3 une surface paramétrée de classe C1 et.
Courbes et surfaces
Le théorème suivant exprime la longueur d'une courbe paramétrée par une formule intégrale. 5. Page 6. Maths en L?1gne. Courbes et surfaces. UJF Grenoble.
Courbes et surfaces
Ainsi pour étudier les courbes et surfaces paramétrées
01/03/2013 1 Les surfaces paramétriques Plan Représentation
1 mars 2013 Représentation paramétrique. •. Forme générale d'une surface paramétrée: •. Pour une courbe un seul paramètre est nécessaire :.
Math2 – Chapitre 5 Circulation et flux
5.3 – Surfaces. Dans cette section: ‚ Surfaces données par une équation. ‚ Surfaces paramétrées. ‚ Vecteur normale et élément de surface
Mathématiques courbes et surfaces
3.1 Interprétation de « z=f(xy) » comme surface paramétrée. 20. 3.2 Points réguliers. 20. 3.3 Equation du plan tangent. 21. 3.4 Position de la surface par
SURFACES PARAMETRÉES
15 mars 2011 Ce vecteur va nous permettre d'orienter la surface. 2.4 Orientation d'une surface. 2.4.1 Introduction. Considérons une surface (S) paramétrée ...
Parametric Surfaces and Surface Area - Purdue University
Parametric Surfaces and Surface Area What to know: 1 Be able to parametrize standard surfaces like the ones in the handout 2 Be able to understand what a parametrized surface looks like (for this class being able to answer a multiple choice question is enough) 3 Be able to nd the equation of the tangent plane at a point of a parametric
Courbes et surfaces dans l’espace
Soit S la surface paramétrée 8 >> < >>: x ?cos(’)cos(µ) y ?cos(’)sin(µ) z ?sin(’) Alors les courbes coordonnées de S sont les méridiens et les parallèles de la sphère Mµ?0 M’?0 ’ µ Dé?nition 5: Point régulier à une surface paramétrée Soit S une surface paramétrée par une fonction M On dit que le point M(uv
Parametric Surfaces and Integration on Surfaces Section 166-16
Review Line Integrals De ne the integral of function f over C Z C f ds = Z b a f(r(t))kr0(t)kdt: Point: need parametrization of the curve De ne the integral of vector eld F over C:
What is a parametric surface?
Parametric representation is a very general way to specify a surface, as well as implicit representation. Surfaces that occur in two of the main theorems of vector calculus, Stokes' theorem and the divergence theorem, are frequently given in a parametric form.
How do you calculate the coefficients of a parametrized surface?
on the tangent plane to the surface which is used to calculate distances and angles. For a parametrized surface its coefficients can be computed as follows: Arc length of parametrized curves on the surface S, the angle between curves on S, and the surface area all admit expressions in terms of the first fundamental form.
How do you determine the orientation of a parametrized surface?
In general, there are two choices of the unit normal vector to a surface at a given point, but for a regular parametrized surface, the preceding formula consistently picks one of them, and thus determines an orientation of the surface.
![01/03/2013 1 Les surfaces paramétriques Plan Représentation 01/03/2013 1 Les surfaces paramétriques Plan Représentation](https://pdfprof.com/Listes/17/48106-17CM_08_surfaces.pdf.pdf.jpg)
01/03/2013
1Les surfaces paramétriques
Ce cours est une compilation :
- Du cours de Modélisation géométrique (IRIT-UPS Toulouse; Equipe Vortex) - Cours de Christian Jacquemin (LIMSI- Paris 11) - Cours de Marc Daniel (LSIS- Marseille) - Cours de E. Bechet (Université de Liège) - Cours Antoine Brière-Côté (ETS, Canada) - Cours G. Gesquière DUT Informatique- Arles - Cours G. Gesquière Gamagora- LyonPlanDéfinition générale
•Produit tensoriel de deux courbesPrincipe et définitionTangentes, normales
Carreaux d'Hermite
Carreaux de Bézier
•Carreaux triangulaires de Bézier •Patches de CoonsReprésentation paramétrique •Forme générale d'une surface paramétrée: •Pour une courbe, un seul paramètre est nécessaire : •x=x(u)y=y(u)z=z(u) •Pour une surface, deux paramètres sont nécessaires : •x = x (u,v) y = y(u,v) z = z(u,v)•Caractéristiques générales•Les techniques de représentation sont des extensions des courbes paramétriques dans la seconde
dimension v; •Les surfaces ainsi obtenues partagent beaucoup de caractéristiques avec les courbes correspondantes.Représenation paramétrique •Exemple simple: Carreau rectangulaire du plan XY... •Sommets P 0,0 (a, b), P 1,0 (c, b), P 1,1 (c, d), P 0,1 (a, d)...Représentation paramétrique •Exemple: Carreau planaire dans l'espace 3D... •Sommets P 0,0 ,P 1,0 ,P 1,1 ,P 0,1 Représentation paramétrique•Surface sphérique centrée enP0 = (x0, y0, z0):
•arallèles (latitude): courbes iso-paramétriques à u constant; •Méridiens (longitude): courbes iso-paramétriques à wcste;01/03/2013
2Surfaces balayées
•Surface de révolution •Obtenue par révolution d'une courbe génératrice autour d'un axe de révolution; •Génératrice = courbe déplacée qui balaie la surface;•L'intersection d'un plan perpendiculaire à l'axe de révolution qui coupe la surface fourni un cercle
nommé parallèle;Surfaces balayées
•Surface cylindrique•Créées par une droite directrice sur laquelle est translatée de manière parallèle une courbe
génératrice. •Directrice = Guide ou trajectoire; •Si la génératrice est un cercle, onobtient un cylindre circulaire;•SE: Extrusion = directrice droite (direction + distance) + profil générateur quelconque (esquisse);
Surfaces balayées
•Surface réglée•Surface telle que en chaque point de la surface passe un segment de droite complètement contenu
dans la surface;•Peut être obtenue par balayage d'un segment de droite (génératrice) qui se déplace entre deux
courbes quelconques.Surface balayée
•Surface réglée (formulation mathématique):•Soit deux courbes P(u) et Q(u) définie dans l'espace 3D en fonction du même paramètre u variant
de 0 a 1; •Si P(u) et Q(v), effectuer un changement de variable v = f(u);•Le principe revient à former un segment de droiteentre tous les points évalués P(ui) et Q(ui):
S(u,v) = (1-v)P(u) + vQ(u)
Carreaux de surfaces
•Caractéristiques générales: •Élément de base dans la définition de surfaces complexes; •Équivalent aux segments pour la définition des courbes;•Un carreau est considéré bi-paramétrique puisqu'il est décrit par deux paramètres (u et v);
•Pour un carreau, u et v varient habituellement de 0 a 1;•En fixant u ou v, on génère une courbe iso-paramétrique sur la surface définie en fonction du 2e
paramètre; •Une surface est ainsi décrite par un réseau de courbes iso-paramétriques; •Ici, incrément de 0.1 en u et v.Définition générale
•Une surface paramétrique dans l'espace R 3 est définie par une fonction f : •Ainsi quand u parcourt D et v parcourt E, le point p(u,v) parcourt la surface •Le point p(u 0 ,v 0 ) est l'intersection entre 2 courbesiso- paramétriques: celle àuconstant (u=u 0 enbleu)et celle àvconstant (v=v 0 enrouge). p(u 0 ,0) p(0,v 0 u v p(u 0 ,v 001/03/2013
3Produit tensoriel : principe
•Une façon de construire la surface paramétrique est de faire le produit tensoriel de deux
courbes paramétriques. Une courbe f d (u) est appelée courbedirectriceet l'autre courbe f g (v) est appelée courbegénératrice.•La surface est obtenue endéplaçantetdéformantla courbe génératrice le long de la courbe
directrice. directrice génératriceCoins et bords
•Soient un (u,v) dans [a,b][c,d] p(b,d) p(b,c) p(a,d) p(a,c) p(a,v) p(b,v) p(u,c) p(u,d)Tangentes et normales
•Le plan tangent est défini par les vecteurs tangentes p u (u 0 ,v 0 )etp v (u 0 ,v 0 ) aux deux courbes iso- paramétriques passant par le point p(u 0 ,v 0 ) considéré. •La normale est donnée par le produit vectoriel des tangentesLa normale unitaire est donnée par :
p u (u 0 ,v 0 p v (u 0 ,v 0 n(u 0 ,v 0 p u (a,c) p v (a,cCarreau bi-cubique
Carreau bi-cubique d'HermiteCarreaux de Bézier : maillage de contrôle •La surface est contrôlée à partir d'un maillage régulier composé de quadrilatères •Les points de contrôles sont les sommets S ij du maillages et il sont numérotés dans les directions de u et de v -Les(n+1)points de contrôle enu donnent le degréndes courbes en u. Ici n = 3. -Les(m+1)points de contrôle env donnent le degrémdes courbes en v. Ici m = 3. u v S 00 S 10 S 20 S 30S 01 S 11 S 21
S 02 S 12 S 03 S 23
S 33
S 1 3 S 31S
32
S 22
01/03/2013
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