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OBSERVATOIRE DE GRENOBLE

LABORATOIRE D'ASTROPHYSIQUE

UNIVERSITE

JOSEPH FOURIER

GRENOBL E 1

SCIENCES. TECHNOLOGIE. MEDECINE.

ASTROPHYSIQUELes Etoiles la Vie la Mort et tout le Bazar Magistere et Matrise de PhysiqueJonathan FerreiraNovembre

TABLE DES MATI

ERESiTabledesmatieresIntro duction au Transfert de RayonnementDescription du champ de rayonnement Intensitespecique Densit

edenergie radiative Flux denergie radiative Pression de radiation Equation de transfert de rayonnementet ses derivees

Lequation de transfert

Solution formelle de lequation de transfert Lois de conservation Cas particuliers imp ortants en astrophysique Equilibre radiatifEquilibre thermo dynamique lo cal

ETL Milieux optiquementminces Milieux opaques corps noir et approximation de diusion Milieux gris dans lapproximation dEddingtonCouplage rayonnementmatiereequations uidesQuelques remarques annexes Relation avec une description statistique Loi de Kirchho Interaction matiererayonnement

Libre parcours moyen des photons Grandeurs utiles en Astrophysique LImp ermanence des

EtoilesQuestce quune etoileParametres theoriques dune etoile Observables et liens avec la theorie Le diagramme de HertzsprungRussell

HR

Formation stellaire Le milieu interstellaire Le theor eme du Viriel Leondrementdes co eurs moleculaires denses Structure stellaire Les princip es de la structure stellaire iiTABLE DES MATI

ERESMo deles stellaires p olytropiques Quels sontlesetats de la matiere stellaire Les sources denergie thermonucleaire nucleosynthese stellaire

Commentseectue le transp ort denergie

Mo deles numeriques de structure stellaire

Evolution stellaire

Evolution des etoiles de faible masse

MM

Evolution des etoiles massives

MM Les Ob jets CompactsLes naines blanches Equation detat de lamatiere degeneree

Structure mecanique theorie de Chandrasekhar Le refroidissementdes naines blanches Les etoiles aneutrons Mo deles detoiles aneutrons Les pulsars

Pulsating Stars Des glitches alatectonique des plaquesLes trous noirs Rapp els de relativiterestreinte Notions elementairesderelativitegeneraleIntro duction alaphysique des trous noirsLes trous noirs en astrophysique Les Systemes BinairesFormation et classication observationnelle Formation des systemes multiples Classication observationnelle Mecanique des systemes binaires Lois de Kepler Circularisation et synchronisation Le lob e de Ro che Transfert de masse entre les deux etoiles La zo ologie des systemes binaires

Les variables cataclysmiques ou CV

Les binaires X

Autres systemes binaires

ChapitreIntro ductionauTransfertdeRayonnement

Denitions de lintensitespecique et des grandeurs associeesEquation de transfert et ses momentsNotions dequilibreradiatif et ETLCas limites regimes opaque et transparentForceradiative et limite dEddington

Description du champ de rayonnementPour decrire un champ de rayonnement il y a plusieurs voies p ossibles On p eutconstruire une statistique de photons p ermettantdeconnaitre atout instantetentout p ointdelespace le nombre de photons dans un intervalle de frequence et ayantune direction donnee Cette appro che est necessaire dans des cas complexes On p eutegalementutiliser la notion de rayon lumineux issue de loptique geometriqueCest sur cette notion quest basee la theorie du transfert de rayonnementIntensitespeciqueUne grandeur elementaire p ermettantde decrire un rayon lumineux est p ertinente si elle reste conservee lorsque celuici se propage dans le vide Un rayon

ieune ligne ne p ossede pas denergie puisque son volume est nul Lui donner un volume revientaconsiderer un faisceau lumineux Pour cela on considere une surfaceelementaire orienteed

AdA ntraversee par un faisceau de direction

kdonnee etdextension langle solide elementaired voir gure Par ailleurs la seule information p ertinente est la puissance

energie ou nombre de photons par unitedetempstraversantlasurface plutot que lenergie ellememeAinsi lenergieErecue p endantuntempsdtpar une surfacedAde normalentraversee par un rayon lumineux mono chromatique se propageantdans la direction

CHAPITRE INTRODUCTION AUTRANSFERTDE RAYONNEMENT

Fig Rayon lumineux al lant dans une direction

kvecteur unitaireane pasconfondreavecunnombredonde et dangle solided kest simplement EI r k t kndAddtd ce qui denit lintensitespecique monochromatiqueI r k t unites J s m st Hz

En astrophysique on utilise aussi lenergie rayonnee par intervalle delongueur donde ce qui conduit adenir une intensitespecique en longueur dondeI

Legalitedenergie entraineI

dI dcest adireI c I

ProprieteOn p eut montrer tres facilementquil y a bien conservation de lintensitespecique le long du tra jet dun rayon lumineux dans le videSoit un rayon lumineux allantde dedSadS

Se propageantdanslevide il yaconservation de lenergie transp ortee par ce rayon lumineux Cette energie p eutse calculer de deux facons soit en partantdePsoitdePLenergie traversantdSsecritEI

kndSddtd oudest langle solide soutendantdS depuis POnadoncd k n dS P P

Par ailleurs lenergie traversantdS

secritEI kn dS d dt d oud kndSP P est langle solide soutendantdSdepuis P La conservationde lenergie entre P et P implique bienI I

En consequence la mesure de E energie recue dans une bande de frequence donneesur un recepteur de surface collectricedS

permetde determiner lintensitespeciquedu rayonnementemis par une source dS acondition de connaitred La determination de cette derniere grandeur necessite toutefois que dS soit spatialementresolue imp ossible p our les etoiles et la distance alobjet soit connue

DESCRIPTION DU CHAMP DE RAYONNEMENT

Fig Il lustration de la conservation de lintensitespecique dans le videApartir deI onpeut former lintensitemoyenne mono chromatique J RI d

Cest une grandeur qui intervientsouventdans les problemes de transfert car toutecart alamoyenne provoque un a justementdu champ Pour un champ de rayonnementisotrop e on aI

J

Densitedenergie radiativeLe champ de rayonnementtransp orte de lenergie radiative En considerantlenergieEcontenue dans un cylindre de hauteurdscdtet de basedA

dA n

k on p eut obtenir aisementla densitedenergie radiativemonochromatiquedue aux rayons se propageantdans la direction

k E dsdA d d I c En integrantsur toutes les directions de propagation kon obtientalors la densitedenergie mono chratique du champ de rayonnementdans sonensemble unites Jm Hz u R d c J

La densitedenergieurad

du champ de rayonnement unites J m estlintegralesur toutes les frequencesurad Ru

dFlux denergie radiativeSi lintensitespecique decrit linformation elementaire qui est transp ortee dansun rayon lumineux le transp ort luimemeest decrit par le vecteur ux denergie Il

CHAPITRE INTRODUCTION AUTRANSFERTDE RAYONNEMENT

Fig Densitedenergie radiative contenue dans un faisceau traversant unesurfacedAsecrit dF I d k et a p our unites des J s m Hz Cequi nous interesse est souventleuxdenergie recu atravers une surface donnee car cest ce qui est mesure app eleegalementeclat d uatoutes les directions kautrementdit F R dF n RI cos d le faisceau voit une surface ecacedAcos

Flux emis par un ob jetEn co ordonnees spheriques

dsin d d on p eut reecrire le ux atraversune surface quelconque sous la forme suivanteF Z d Z I cos sin d Z d Z I cos sin d

Dans le cas dune etoile la surface consideree est une surface fermee le premierterme corresp ond au ux sortant

sechappanthors de la surface et le deuxiemeau ux entrant Or le rayonnementqui p ourrait rentrer d ualapresence dautresetoiles est negligeable et lon aF I oulon a fait lhyp othese supplementaire que le champ de rayonnementI est isotrop eSi le champ de rayonnementI est globalementisotrop e autantdenergie quipasse dans un sens que dans lautreF I Z cos d

DESCRIPTION DU CHAMP DE RAYONNEMENT

Fig Il lustration de la pression de radiation communiqueedans la directionndue aunfaisceau se propageant dans la direction

kle ux est nul Cela traduit simplementlaconservation de lenergie en labsence desources ou de p ertes contenues par la surface fermee La surface dune etoile

ou detout ob jet brillant nest donc pas en equilibre thermo dynamique global mais decritune discontinuiterapideentre deux regionsLoi de decroissance du

ux enr

Considerons le cas particulier dune etoile de rayonRemettantde facon isotrop edans lespace La puissance ou luminositemono chromatique rayonnee vautL

Z F dAR F

Une sphere de rayonrRinterceptanttous les rayons lumineux issus de letoilela conservation de lintensitespecique de chaque rayon implique la conservation dela puissance rayonnee et on a donc bienF

r L r une decroissance du ux radiatif en r Pression de radiationChaque photon transp orte une quantitedemouvementdirectementreliee asonenergiep h c k

kest unitaire Donc aunuxdenergie radiativecorresp ondegalementunux de quantitede mouvement autrementdit aunepression exerceepar le champ de rayonnement La quantitede mouvementdp

transporteepar unfaisceau allantdans la direction ket traversantune surfaced

AdAnpendantdtest reliee alenergie radiativecontenue dans le cylindre formepar la surface eectiveet la direction de propagation des rayons cest adiredp

u c d k kd Acdtc d k d F d A c dt k I c cos dAddt k

CHAPITRE INTRODUCTION AUTRANSFERTDE RAYONNEMENTmais celle qui esttransfereedans la direction normale alasurface estdp

dp nLa pression resultantdutransfert dimpulsion asso cieaux rayons dans la direction ksecritdP dp dtdA I c cos d Ainsi la pression de radiation mono chromatique due alensemble des rayons lumineux vaut P c R I cos d

Dans le cas dun champ de rayonnementisotrop e

I J la pression de radiationsecrit simplementP c J u fournissantune pression totale integree sur toutes les frequencesPrad urad

Le tenseur pression de radiation

Cidessus nous nous sommes interesses essentiellementalapression exerceecontre une paroi dA autrementdit au transfert dimpulsion dans la direction normale alasurface En fait p our une direction de propagation

kdonnee dun rayonlumineux il y a trois directions orthogonales p ossibles dechange dimpulsion desphotons avec un milieu Mathematiquement cela signie que la pression de radiation doit etre decrite par une matrice

P tenseur dordre dontles co ecientssecriventP ij Z I c k in jd

Clairement cette matrice est symetrique

P ij P ji

ce qui signie quil faut co ecients p our decrire completementletransfert dimpulsion d uaunchamp derayonnementanisotrop e Lorsque le champ de rayonnementest isotrop e

seul casetudieici les elements non diagonaux sontnuls et P B P P P C A

Ce tenseur est lanalogue du tenseur des contraintes dans lequation de NavierStokes p our un ecoulementuide Les eets danisotropie dun champ de rayonnementdeviennentimp ortants et p ertinents surtout p our des milieux en mouvementrelativiste

EQUATION DE TRANSFERTDERAYONNEMENT ET SES D

ERIV EES

Equation de transfert de rayonnementetsesderiveesLequation de transfertLequation de transfert decrit le fait que la variation de lintensitespeciqueI

r tlelong dun rayon lumineux est due atrois causes dI ds dI ds emission dI ds absorption dI ds diusion

dscdtetantlelementdedistance innitesimal le long du tra jet lumineux Noterque la dierentielle totale le long du tra jet lumineux p eut secrire egalementdI

ds c I t k rI

Emission

Par emission on entend iciemission sp ontaneede la matiere qui enrichitainsi en photons le champ de rayonnementindep endammentdeceluici Lapp orten intensitepeut donc secriredI

j ds ouj est lecoe cient demissionde la matiere unites J s m Hz st

Lexpression dej

dep end evidemmentdes pro cessus microscopiques resp onsablesde lemission de ces photons On distingue deux typ es de pro cessusPro cessus thermiquesles photons sontemis par desexcitation collisionnelle datomesou de molecules chaues!Pro cessus nonthermiquestoute autre forme de creation de photons Exemplesrayonnementsynchrotron

electrons spiralantautour dun champ magnetiqueBremsstrahlung deviations de la tra jectoire delectrons par collisions coulombiennesAbsorption La matiere a deux facons dabsorb er un rayonnementincident Soit par unevraie absorption

lenergie des photons absorbes reste sto ckee en energie internedes particules photoionisation photo excitation soit lors duneemission induite

o uune fraction de lenergie des photons absorbes est renvoyee dans le champ derayonnement Dans les deux cas la p erte ou le gain dintensiteest prop ortionnellealintensiteincidente et ces deux eets p euventsecriredI

I ds ou est lecoe cient dabsorptionde la matiere unites m Il est p ositif p ourune vraie absorption negatif p our une emission induite

CHAPITRE INTRODUCTION AUTRANSFERTDE RAYONNEMENTDi

usion

La diusion de la lumiere par des particules dep end comme labsorption duchamp de rayonnementincident En toute generalite la diusion change la directionde propagation dun photon mais p eut egalementmodier son energie et donc agircomme une source

par ex eet Compton Dans ce cas la diusion ne dep endplus des proprietes lo cales et cest ce qui rend sa prise en compte b eaucoup plusdicile diusion avec un electron libre

diusion Thomson avec un atome oumolecule diusion Rayleigh avec de la p oussiere diusion de MieOn se place dans le cas simple o uladiusion est elastique

par ex diusionThomson la frequence des photons diuses reste donc inchangee La diminutiondintensitedue aladiusion des photons hors du faisceau lumineux p eut alors secrirefacilementdI

I ds ou est lecoe cient de diusion unites m

Mais de la diusion se pro duisantalexterieur du faisceau p eut ramener des photons alinterieur de celuici et augmenterson intensitedunfacteurdI

Z I d ds

agissantainsi comme une nouvelle fonction source Si le milieu et le pro cessus dediusion consideresontisotrop es leet de la diusion seule p eut secriredI

ds I J oulon p eut remarquer queJ

agit eectivementcomme une source La diusionisotrop e et elastique pro duit une sorte de relaxation puisque sous son eet seul lechamp de rayonnementvatendre adevenir isotrop e

I tend versJ cfEq

OpacitesOn voit donc que dans la theorie du transfert de rayonnement toute la physique de linteraction matiererayonnement

emission absorption et diusion estcachee dans les divers co ecients Il existe plusieurs group es de recherche uniquementvoues au calcul de ces divers co ecients essentiels En eet il faut employerdes moyens numeriques lourds si lon veut les calculer p our des gaz constitues deplusieurs atomes et molecules

voire des grains de p oussieres et des glaces p our lemilieu interstellaire chaque espece ayantplusieurs transitions atomiques p ossiblesou bien encore subissantdes transformations irreversibles

destruction des grainssublimation de la glaceDans la plupart des cas cep endant les co ecients imp ortants aconnaitre sontlabsorption et la diusion On utilise souventlesco ecients massiques ouopacites

EQUATION DE TRANSFERTDERAYONNEMENT ET SES D

ERIV EES Fig Rayon lumineux produit par une sourcese trouvant derriereunmilieupurement absorbant j unites m kg

ouest la densitedelamatiere On parle dopacites grises lorsqueces opacites sontindep endantes de la frequence A partir des calculs numeriqueslourds evoques plus haut il est ensuite dusage

car pratique dutiliser des a justements analytiques des tables dopacites du typ eo T ouo

et les indicesetsontconnus et varientselon les domaines en densiteetentemperatureSolution formelle de lequation de transfertOn ne considere ici que le cas simplieoutous les co ecients sontisotrop es etla diusion elastique Lequation de transfert complete secrit alorsdI

ds j I I J Dans le cas le plus simple o uunmilieu ne comp orte que des absorbants j et quil existe une source de rayonnementderriere ce milieu lequation de transfert a p our solutionI sI so e R ss o s ds

cestadire une decroissance exp onentielle de lintensitespecique due aux sources situees derriere Cette decroissance est dautantplus forte p our un milieu o ulepaisseuroptique

Z ss o s ds est grande On qualie doptiquementepais ou opaque un milieu o u doptiquementmince ou transparentunmilieu o u

Noter que lepaisseur optiquedep end de la frequence Par exemple un nuage interstellaire p eut etre opaque enlumiere visible mais transparentenondes radioEn presence simultanee dabsorption et demission

lequation de transfert secrit souventsous laforme dI d S I oud dsest epaisseur optique surdsetS j est app eleefonctionsourceOnpeut interpreter cette equation comme une equation de relaxation En

CHAPITRE INTRODUCTION AUTRANSFERTDE RAYONNEMENTeet dans des milieux susammentopaques la variation dintensitespecique aveclepaisseur optique varie p eu etI

tend versS

LorsqueI

etS ne sontque des fonctions de lepaisseur optique cette equationapour solution generaleI I e Z S e d

Lintensiteest donc la somme de deux contributions lune due uniquementalabsorption et lautre due alemission integree corrigee de labsorptionLa presence de diusion

intro duit une mo dication de la fonction sourcedun milieu Lequation de transfert se met sous une forme similairedI

d S I mais o ulanouvelle fonction source estS j J et o ulepaisseur optique est denie pard dsLecoecient est quelquefois app elelecoe cient dextinctionLintro duction de la diusion

meme elastique et isotrop e a considerablementaccru la complexitede lequationde transfertLois de conservationLequation de transfert

secrit c I t k rI j I I J

Cette equation est dans la plupart des cas une equation integrodierentielle auxderivees partielles horriblementcompliquee aresoudre" Il existe cep endantquelquescas simples montres dans la section suivante p our lesquels il est p eu co uteux dobtenir une solution de cette equationPour calculerI

r k t il faudrait connaitreJ

r tquiest lintegrale deIsur toutes les directions de propagation La resolution de lequation de transfertnous fournirait lintensitespecique

et les autres grandeurs asso ciees en fonctionde variablesrt k

speciepar angles etLunedes facons damoindrir ladicultede lequation de transfert consiste aperdre linformation sur la directionde propagation Pour cela on forme de nouvelles equations qui vontporter sur denouvelles grandeurs prop ortionnelles aux divers moments deI

densitedenergieu scalaire momentdordre ux radiatif F vecteur momentdordre pressionde radiation P

tenseur momentdordre Les moments dordre superieur nepossedentpasdesens physique et ne sontpasutilises

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