rectangle dor
carreaux (fournir le programme de construction et le visuel de la spirale d'or). Comme en 6ème ou bien : Dessiner la spirale d'or sur Géogébra OU sur.
CONSTRUIRE UNE SPIRALE DOR
Matériel nécessaire : règle compas
Nautile nombre dor et spirale dorée
Pour construire une spirale dorée on prend un rectangle d'or horizontal de largeur 1 et de longueur ?. On y inscrit un carré de côté 1 dans le coin gauche. Le
Le nombre dor
(solution) Exercice 1 La spirale d'or : En poursuivant la construction du rectangle d'or on peut construire une spirale d'or :.
Le nombre dor : La proportion divine
I- Définition mathématique du nombre d'or a) Introduction : Programme de construction d'un rectangle d'or : ... C- Spirale d'or :.
Dans lœil de la spirale dor
d'étudier différentes constructions du point asymptote de cette spirale et On appelle triangle d'or un triangle ABC isocèle dont les angles mesurent.
Le Nombre dOr Exposé1
S'ensuit alors la proposition de construction d'un rectangle d'Or c'est à dire un cercle
Le nombre dor - Celui des proportions harmonieuses
Dans les constructions de l'homme. La Pyramide de Khéops Le Parthénon s'inscrit dans un rectangle d'or c'est-à-dire tel que le rapport de la.
Atelier sur le nombre dor
et la 3e et vise à faire découvrir le nombre d'or par des activités ludiques. Matériel : 3) Construction de la spirale de Fibonacci ...
[PDF] CONSTRUIRE UNE SPIRALE DOR - GERMEA
La construction se fait sur une feuille blanche • ABCD est un rectangle de 162 mm sur 100 mm Divise la longueur par la largeur Indique le résultat dans le
[PDF] rectangle dor
Possibilité de le faire sur une feuille de papier à petits carreaux (fournir le programme de construction et le visuel de la spirale d'or) Comme en 6ème ou
La Spirale dor
Pour dessiner une spirale d'or on construit un rectangle d'or dans lequel on trace un grand carré qui aura pour côté la largeur du rectangle On réitère cette
[PDF] Dans lœil de la spirale dor - APMEP
On se propose ici d'étudier différentes constructions du point asymptote de cette spirale et d'en déduire quelques propriétés géométriques 1 Triangle d'or On
Nautile nombre dor et spirale dorée - Accromath
Pour construire une spirale dorée on prend un rectangle d'or horizontal de largeur 1 et de longueur ? On y inscrit un carré de côté 1 dans le coin gauche Le
[PDF] Le nombre dor : La proportion divine - Collège Nelson Mandela
I- Définition mathématique du nombre d'or a) Introduction : Programme de construction d'un rectangle d'or : C- Spirale d'or :
[PDF] Le Nombre dOr Exposé1
S'ensuit alors la proposition de construction d'un rectangle d'Or c'est à dire un cercle on obtient ce que l'on appelle sa spirale d'Or qui
[PDF] Le nombre dor et le rectangle dor - Collège Catherine de Vivonne
La construction d'un rectangle d'or est simple il suffit de suivre les instructions suivantes : - tracer un carré ABCD - noter E le milieu de [AB]
[PDF] Nombre dor et nature(1) - MAThenJEANS
Une construction surprenante: plusieurs rectangles d'or imbriqués les uns dans les autres On obtient aussi la spirale logarithmique(3) qui peut grandir à
Comment faire spirale d'or ?
Pour construire une spirale dorée, on prend un rectangle d'or horizontal de largeur 1 et de longueur . On y inscrit un carré de côté 1 dans le coin gauche. Le rectangle restant est donc un rectangle d'or vertical de longueur 1. On y inscrit un carré dans le coin supérieur.Quel est le programme de construction d'un rectangle d'or ?
Programme de construction d'un rectangle d'or : 1- Construire un carré ABCD de côté 10 cm et placer le point O milieu de [DC]. 2- L'arc de cercle de centre O passant par B coupe la demi-droite [DC) en F. 2-Construire le point E tel que AEFD soit un rectangle.- Il existe une technique simple pour obtenir un rectangle d'or Tracez un trait et multipliez la taille de son côté par 1,618. Vous obtiendrez alors la bonne largeur (premier tracé) et la longueur associée (résultat de la multiplication).
Dans l"oeil de la spirale d"or
Robert March
La spirale logarithmique construite partir d"un rectangle d"or est bien connue. C"est moins vrai pour celle construite partir d"un triangle d"or. On se propose ici d"tudier diffrentes constructions du point asymptote de cette spirale et d"en dduire quelques proprits gomtriques.1 Triangle d"or
36¡, 72¡. Ce nom est justifi par ce que le rapport des longueurs des
cts est gal au nombre d"or . Autrement dit, les cts ont pour longueur BCa;AB AC a. Pour tablir cette proprit, traons la bissectrice intrieure de l"angle . Elle coupe AC en D. Il en rsulte que 36¡ et que le triangle DBC est36¡). Notons cAB AC et aBC.
Alors BD a, AD aet CD ca.
Par ailleurs les triangles ABC et BCD sont semblables (triangles d"or) et on a donc soit .En posant on obtient soit x
2 x1 0 (x1). Cette quation admet deux racines dont l"une est le nombre d"or ?; l"autre est ngative et donc ne convient pas. (Remarque : 21et 1/1).
A B C AB BC 1+5 2 ABC ABD DBC AB BC BC CD c a a c?a 1 c a ?1 c a =xx= 1 x?1Pour chercher et approfondir
(*) cole Nationale Suprieure d"Architecture Paris-Val-de-Seine -- robermarch@gmail.com March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page599 Puisque ABC et BCD sont semblables (non isomtriques) il existe une similitude directe S qui transforme ABC en BCD. Elle transforme A en B, B en C et C en D. L"angle de S est 108¡ et son rapport est S n"est ni une translation ni une rflexion, elle se dcompose donc en produit d"une rotation et d"une homothtie de mme centre ?.valeur 36¡, 36¡ et 108¡ ou, ce qui est quivalent, dont les cts ont pour mesure a, a,
et a. Le triangle d"argent est le gnomon (1) du triangle d"or, et rciproquement.2 Pentagone régulier et spirale d"or
Considrons un pentagone rgulier AXBCY, son cercle circonscrit et ses 5 diagonales. En analysant la figure on trouvera nombre de triangles d"or et d"argent. L"omniprsence du nombre d"or est lie celle des angles de 36¡. Ainsi en est-il des3 angles dfinis par les 2 cts et les 2 diagonales issues d"un mme sommet : ce sont
3 angles inscrits interceptant des arcs gaux d"angle au centre 2π/5 (72¡).
Soustraction de gnomons
Nous allons tudier la suite de points dfinie par A ; B S(A) ; C S(B) S 2 (A) ; D S 3 (A) ; etc. L"image par S du triangle ABC est le triangle BCD ce que l"on peut galement traduire par le fait qu"en amputant le triangle d"or ABC de son gnomon le triangle d"argent ADB, on obtient un nouveau triangle d"or BCD (puisque la similitude conserve les angles). En itrant cette opration, on obtient une succession de triangles d"or CDE, DEF, EFG, ... AB ,BC 3? 5 k= BC AB a c 1600# "
(1) Ç Les Anciens appelaient gnomon d"une quantit ce qu"il faut lui ajouter pour obtenir unequantit de la mme famille È (A. Warusfel, Les Nombres et leurs mystères, p. 80, Seuil, 1961
[2012]). Ainsi (2n+1) est le gnomon de n 2 March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page600 Le trac de la spirale d"or se fait alors par arcs de cercles successifs : l"arc AB de centre D, l"arc BC de centre E, etc., ce qui assure le raccordement tangentiel des arcs. En effet la tangente en B l"arc AB est perpendiculaire (DB) et la tangente en B l"arc BC est perpendiculaire (EB) (DB). On peut prolonger cette spirale en traant l"arc de cercle de centre C et de rayon CA. que le centre de la similitude S. En guise de conclusion nous verrons que cette spirale points A, B, C, D, ... Remarque: La spirale d"or peut faire l"objet d"un exercice graphique : le plus simple tant de partir d"un triangle ABC de base 10 cm et de hauteur 15,4 cm. On pourra crer diffrents motifs dcoratifs :3 Étude de la similitude S
Elle a pour angle , pour rapport et pour centre un point ? que nous allons dterminer par diverses approches. Remarque préliminaire: l"image du triangle d"or BCD par S est le triangle d"or CDE et les triangles d"or successifs BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, ... sont les images de ABC par S, S 2 , S 3 , S 4 , S 53.1 Première approche : S
5 est une homothétie. S 5 est la similitude de centre ?, de rapport et d"angle . C"est donc l"homothtie de centre ? et de rapport . Puisque l"image de ABC par S 5 est FGH, le centre ? se trouve l"intersection des droites (AF), (BG) et (CH). AB ,BC 3? 5 BC AB 1 1 5 5? 3? 5 =3?. 1 5Dans l"oeil de la spirale d"or
March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page601 Remarque: les droites joignant ? aux points A, B, C, D, E, forment un faisceau rgulier, d"angle π/5.3.2 Deuxième approche : les médianes
Soient I et J les milieux de [AB] et [BC], K le point d"intersection de (CI) et (DJ). La mdiane (DJ) du triangle BCD est l"image par S de la mdiane (CI) du triangle ABC. L"angle est donc gal et puisque (IJ) et Par consquent K n"est autre que le centre ? de S.Construction d"Euler :
Si (MN) a pour image (MN) dans une
similitude S, et que P est le point d"intersection de (MN) et (MN), alors le d"intersection des cercles MM"P et NNP. Ici, (CI) et (DJ) se coupent en K ; on en dduit cercles CDK et IJK. Or on vient de voir que K ?.Donc les cercles ?CD et ?IJ se coupent en
deux points confondus : autrement dit ils sont tangents en ?. 3? 5 IC ,JD =IK ,JK =KI ,KJ KJ KI KD KC KJ+KD KI+KC DJ IC 1 KI KC KJ KD IJ DC602# "
March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page602Remarque:
En posant aBC rappelons que : AC =adonc ; et
On en dduit : puis .
? est donc le barycentre des points A(1), B(1) et C(1). exemple celui dfini par [BC] et sa mdiatrice : En notant (x; y) les coordonnes de ? la relation permet le calcul de xet de ysoit : et En rappelant que et puisque on obtient finalement les coordonnes de ? : Ce calcul nous permet galement d"obtenir des valeurs approches des mesures des angles et .En effet :
Par consquent : et
3.3 Troisième approche : ensemble des points du plan d"où l"on voit un segment
sous un angle donné. S(A) B : ? appartient donc l"arc capable de 2π/5 construit sur [AB] ; or D est un point de cet arc capable (ADB est un triangle d"argent) ; donc ? appartient au cercleABD (tangent en B (BC)).
De mme S(B) C : ? appartient donc l"arc capable de 2π/5 construit sur [BC] ; or E est un point de cet arc donc ? appartient au cercle BCE (tangent en B (AB) et ?I ?C IJ CD a? 2 a 2 2 ?+1 2 2?I +?+1()?C =0 ?A +?B +?+1()?C =0 A0; a 2 tan 2? 5 ) B? a 2 ;0 ) C a 2 ;0 ?A +?B +?+1()?C =0 x= a?2?+3()
tan 2? 5 =5+25 y= atan 2? 52?+3()
1+5 2 a 441+35 a 44
7?5 5+25 ?BC ?BD tan?BC a 44
7 5 5+25 a 2 a 44
1+35 7 5 5+25 23+35
?0,494. ?BC ?26,27°?BD ?36° 26,27°=9,73°. CD= a IJ= a? 2
Dans l"oeil de la spirale d"or
March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page603 en C (AC)). Remarque: il s"ensuit que ? appartient aux cercles BCE, CDF, DEG, ... images du cercle ABD par S, S 2 , S 33.4 Quatrième approche : ensemble des points M du plan tels que MA/MB=k.
S(C) D, donc et par consquent le point ? appartient au cercle ensemble des points M tels que Or A, Y et E vrifient cette proprit puisque YCD est un triangle d"argent et ECD un triangle d"or. Donc ? appartient au cercle AYE (dont le centre est l"intersection de la droite (CD) et de la mdiatrice de [AY]). Remarque: L appartient galement ce cercle : LCD est un triangle d"argent. De mme S(D) E : ? appartient donc au cercle ensemble des points M tels que ; or B, L et F vrifient cette proprit : LDE est un triangle d"argent, FDE un triangle d"or. Donc ? appartient au cercle BLF (dont le centre est l"intersection de la droite (DE) et de la mdiatrice de [BL]). ?D= 1 ?C MC MD MD ME604# "
March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page604 Remarque: il s"ensuit que ? appartient aux cercles transforms du cercle AEL par S, S 2 , S 33.5 Cinquième approche : la ronde des carrés
Cette mthode permet de dterminer le centre d"une similitude directe par l"intersection non pas de cercles mais de droites (2) Soit MNPQ un carr construit sur le segment [MN] et MNPQson image par S. Soient R, T, U, V les points d"intersection de, respectivement, (MN) et (MN), (NP) et (NP), (PQ) et (PQ), (QM) et (QM). Alors, le point d"intersection de (RU) et (TV) est le centre ? de la similitude S.Dans l"oeil de la spirale d"or
(2) Wikipedia, similitude (gomtrie) ; Programme TS 2002, document d"accompagnement p.64-65.
March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page605En effet :
R appartenant (MN), son image Rpar S appartient (MN) ; de mme, U appartenant (PQ), son image Upar S appartient (PQ) (Ret Un"ont pas t appartient la droite (RU) (et la droite (RU)). Un raisonnement analogue montre que ? appartient la droite (TV) et permet de conclure : ? est le point d"intersection des droites (RU) et (TV). Appliquons cette mthode notre cas de figure, en construisant un premier carr de ct [AB] (extrieur au triangle ABC) et ses images par S et S 2 . En prolongeant les Revenons aux deux premiers carrs, et transposons les notations initiales : M est en A, N en B, Men B et Nen C. Le point R est donc en B et le point U en B". Le centre ? de S est donc sur la droite (BB). On montre de la mme faon que ? est sur (CC) et, comme les deux triangles ABC et ABCsont homothtiques, le centre ? de S estgalement le centre de cette homothtie.
Conclusion : ? est le point d"intersection des droites (AA), (BB) et (CC).Curiosité:
Le rapport d"homothtie n"est pas gal 4 comme toute figure trace la k= ′A′B AB k= ′B′C BC606# "
March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page606 avec . Les coordonnes de Bsont obtenues comme intersection de la droite (B ?) avec la droite (BC) d"quation y=a.On obtient : .
Un calcul analogue nous donne .
D"o
soit finalementEt en remplaant ?et tan?par leurs valeurs :
4 Au fait, et la spirale logarithmique ?
Considrons une spirale logarithmique de centre ? d"origine A et passant par B. L"quation polaire de cette spirale est de la forme ?? 0 b . Elle passe par A donc 0 b 0 0 ?A et puisque elle passe par B : soitL"quation de cette spirale est donc : avec ?
0 ?A.Quand augmente de 3π/5, est multipli par
1 ; par consquent la spirale passe par les points C, D, E, F, ... L"angle vque fait la tangente la spirale logarithmique avec le rayon vecteur vrifie : soit . Considrons maintenant l"angle que fait la tangente en B l"arc de cercle AB de centre D avec (?B) : il est gal ,soit environ 90¡ 9,73¡ = 80,27¡ L"angle que font entre elles les tangentes aux deux courbes (la spirale d"or et la spirale logarithmique) en B est donc de 80,27¡ 75,68¡ = 4,59¡. Cela tmoigne du faible cart entre les deux courbes et de la pertinence du trac B? a 2 ;0 C a 2 ;0 a? 2?+6 atanθ 2?+6 2? 5 ′B′C= a 2 3a tanθ a 2 a2?+3() tanθ =a+2a?+6a
tanθ k= ′B′C BC =1+ 2?+6 tanθ k=1+ 7+5 5+25 ?4,00098. ′B? a 2 a2?+3() tanθ ;?a ′C a 2 3a tanθ ;?aquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19[PDF] programme 1ère primaire belgique
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