[PDF] Dans lœil de la spirale dor d'étudier différentes constructions

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Dans l"oeil de la spirale d"or

Robert March

La spirale logarithmique construite ˆ partir d"un rectangle d"or est bien connue. C"est moins vrai pour celle construite ˆ partir d"un triangle d"or. On se propose ici d"Žtudier diffŽrentes constructions du point asymptote de cette spirale et d"en dŽduire quelques propriŽtŽs gŽomŽtriques.

1 Triangle d"or

36¡, 72¡. Ce nom est justifiŽ par ce que le rapport des longueurs des

c™tŽs est Žgal au nombre d"or . Autrement dit, les c™tŽs ont pour longueur BCa;AB AC a. Pour Žtablir cette propriŽtŽ, traons la bissectrice intŽrieure de l"angle . Elle coupe AC en D. Il en rŽsulte que 36¡ et que le triangle DBC est

36¡). Notons cAB AC et aBC.

Alors BD a, AD aet CD ca.

Par ailleurs les triangles ABC et BCD sont semblables (triangles d"or) et on a donc soit .

En posant on obtient soit x

2 x1 0 (x1). Cette Žquation admet deux racines dont l"une est le nombre d"or ?; l"autre est nŽgative et donc ne convient pas. (Remarque : 2

1et 1/1).

A B C AB BC 1+5 2 ABC ABD DBC AB BC BC CD c a a c?a 1 c a ?1 c a =xx= 1 x?1

Pour chercher et approfondir

(*) ƒcole Nationale SupŽrieure d"Architecture Paris-Val-de-Seine -- robermarch@gmail.com March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page599 Puisque ABC et BCD sont semblables (non isomŽtriques) il existe une similitude directe S qui transforme ABC en BCD. Elle transforme A en B, B en C et C en D. L"angle de S est 108¡ et son rapport est S n"est ni une translation ni une rŽflexion, elle se dŽcompose donc en produit d"une rotation et d"une homothŽtie de mme centre ?.

valeur 36¡, 36¡ et 108¡ ou, ce qui est Žquivalent, dont les c™tŽs ont pour mesure a, a,

et a. Le triangle d"argent est le gnomon (1) du triangle d"or, et rŽciproquement.

2 Pentagone régulier et spirale d"or

ConsidŽrons un pentagone rŽgulier AXBCY, son cercle circonscrit et ses 5 diagonales. En analysant la figure on trouvera nombre de triangles d"or et d"argent. L"omniprŽsence du nombre d"or est liŽe ˆ celle des angles de 36¡. Ainsi en est-il des

3 angles dŽfinis par les 2 c™tŽs et les 2 diagonales issues d"un mme sommet : ce sont

3 angles inscrits interceptant des arcs Žgaux d"angle au centre 2π/5 (72¡).

Soustraction de gnomons

Nous allons Žtudier la suite de points dŽfinie par A ; B S(A) ; C S(B) S 2 (A) ; D S 3 (A) ; etc. L"image par S du triangle ABC est le triangle BCD ce que l"on peut Žgalement traduire par le fait qu"en amputant le triangle d"or ABC de son gnomon le triangle d"argent ADB, on obtient un nouveau triangle d"or BCD (puisque la similitude conserve les angles). En itŽrant cette opŽration, on obtient une succession de triangles d"or CDE, DEF, EFG, ... AB ,BC 3? 5 k= BC AB a c 1

600# "

(1) Ç Les Anciens appelaient gnomon d"une quantitŽ ce qu"il faut lui ajouter pour obtenir une

quantitŽ de la mme famille È (A. Warusfel, Les Nombres et leurs mystères, p. 80, Seuil, 1961

[2012]). Ainsi (2n+1) est le gnomon de n 2 March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page600 Le tracŽ de la spirale d"or se fait alors par arcs de cercles successifs : l"arc AB de centre D, l"arc BC de centre E, etc., ce qui assure le raccordement tangentiel des arcs. En effet la tangente en B ˆ l"arc AB est perpendiculaire ˆ (DB) et la tangente en B ˆ l"arc BC est perpendiculaire ˆ (EB) (DB). On peut prolonger cette spirale en traant l"arc de cercle de centre C et de rayon CA. que le centre de la similitude S. En guise de conclusion nous verrons que cette spirale points A, B, C, D, ... Remarque: La spirale d"or peut faire l"objet d"un exercice graphique : le plus simple Žtant de partir d"un triangle ABC de base 10 cm et de hauteur 15,4 cm. On pourra crŽer diffŽrents motifs dŽcoratifs :

3 Étude de la similitude S

Elle a pour angle , pour rapport et pour centre un point ? que nous allons dŽterminer par diverses approches. Remarque préliminaire: l"image du triangle d"or BCD par S est le triangle d"or CDE et les triangles d"or successifs BCD, CDE, DEF, EFG, FGH, ... sont les images de ABC par S, S 2 , S 3 , S 4 , S 5

3.1 Première approche : S

5 est une homothétie. S 5 est la similitude de centre ?, de rapport et d"angle . C"est donc l"homothŽtie de centre ? et de rapport . Puisque l"image de ABC par S 5 est FGH, le centre ? se trouve ˆ l"intersection des droites (AF), (BG) et (CH). AB ,BC 3? 5 BC AB 1 1 5 5? 3? 5 =3?. 1 5

Dans l"oeil de la spirale d"or

March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page601 Remarque: les droites joignant ? aux points A, B, C, D, E, forment un faisceau rŽgulier, d"angle π/5.

3.2 Deuxième approche : les médianes

Soient I et J les milieux de [AB] et [BC], K le point d"intersection de (CI) et (DJ). La mŽdiane (DJ) du triangle BCD est l"image par S de la mŽdiane (CI) du triangle ABC. L"angle est donc Žgal ˆ et puisque (IJ) et Par consŽquent K n"est autre que le centre ? de S.

Construction d"Euler :

Si (MN) a pour image (MN) dans une

similitude S, et que P est le point d"intersection de (MN) et (MN), alors le d"intersection des cercles MM"P et NNP. Ici, (CI) et (DJ) se coupent en K ; on en dŽduit cercles CDK et IJK. Or on vient de voir que K ?.

Donc les cercles ?CD et ?IJ se coupent en

deux points confondus : autrement dit ils sont tangents en ?. 3? 5 IC ,JD =IK ,JK =KI ,KJ KJ KI KD KC KJ+KD KI+KC DJ IC 1 KI KC KJ KD IJ DC

602# "

March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page602

Remarque:

En posant aBC rappelons que : AC =adonc ; et

On en dŽduit : puis .

? est donc le barycentre des points A(1), B(1) et C(1). exemple celui dŽfini par [BC] et sa mŽdiatrice : En notant (x; y) les coordonnŽes de ? la relation permet le calcul de xet de ysoit : et En rappelant que et puisque on obtient finalement les coordonnŽes de ? : Ce calcul nous permet Žgalement d"obtenir des valeurs approchŽes des mesures des angles et .

En effet :

Par consŽquent : et

3.3 Troisième approche : ensemble des points du plan d"où l"on voit un segment

sous un angle donné. S(A) B : ? appartient donc ˆ l"arc capable de 2π/5 construit sur [AB] ; or D est un point de cet arc capable (ADB est un triangle d"argent) ; donc ? appartient au cercle

ABD (tangent en B ˆ (BC)).

De mme S(B) C : ? appartient donc ˆ l"arc capable de 2π/5 construit sur [BC] ; or E est un point de cet arc donc ? appartient au cercle BCE (tangent en B ˆ (AB) et ?I ?C IJ CD a? 2 a 2 2 ?+1 2 2?I +?+1()?C =0 ?A +?B +?+1()?C =0 A0; a 2 tan 2? 5 ) B? a 2 ;0 ) C a 2 ;0 ?A +?B +?+1()?C =0 x= a?

2?+3()

tan 2? 5 =5+25 y= atan 2? 5

2?+3()

1+5 2 a 44
1+35 a 44
7?5 5+25 ?BC ?BD tan?BC a 44
7 5 5+25 a 2 a 44
1+35 7 5 5+25 23+35
?0,494. ?BC ?26,27°?BD ?36° 26,27°=9,73°. CD= a IJ= a? 2

Dans l"oeil de la spirale d"or

March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page603 en C ˆ (AC)). Remarque: il s"ensuit que ? appartient aux cercles BCE, CDF, DEG, ... images du cercle ABD par S, S 2 , S 3

3.4 Quatrième approche : ensemble des points M du plan tels que MA/MB=k.

S(C) D, donc et par consŽquent le point ? appartient au cercle ensemble des points M tels que Or A, Y et E vŽrifient cette propriŽtŽ puisque YCD est un triangle d"argent et ECD un triangle d"or. Donc ? appartient au cercle AYE (dont le centre est ˆ l"intersection de la droite (CD) et de la mŽdiatrice de [AY]). Remarque: L appartient Žgalement ˆ ce cercle : LCD est un triangle d"argent. De mme S(D) E : ? appartient donc au cercle ensemble des points M tels que ; or B, L et F vŽrifient cette propriŽtŽ : LDE est un triangle d"argent, FDE un triangle d"or. Donc ? appartient au cercle BLF (dont le centre est ˆ l"intersection de la droite (DE) et de la mŽdiatrice de [BL]). ?D= 1 ?C MC MD MD ME

604# "

March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page604 Remarque: il s"ensuit que ? appartient aux cercles transformŽs du cercle AEL par S, S 2 , S 3

3.5 Cinquième approche : la ronde des carrés

Cette mŽthode permet de dŽterminer le centre d"une similitude directe par l"intersection non pas de cercles mais de droites (2) Soit MNPQ un carrŽ construit sur le segment [MN] et MNPQson image par S. Soient R, T, U, V les points d"intersection de, respectivement, (MN) et (MN), (NP) et (NP), (PQ) et (PQ), (QM) et (QM). Alors, le point d"intersection de (RU) et (TV) est le centre ? de la similitude S.

Dans l"oeil de la spirale d"or

(2) Wikipedia, similitude (gŽomŽtrie) ; Programme TS 2002, document d"accompagnement p.

64-65.

March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page605

En effet :

R appartenant ˆ (MN), son image Rpar S appartient ˆ (MN) ; de mme, U appartenant ˆ (PQ), son image Upar S appartient ˆ (PQ) (Ret Un"ont pas ŽtŽ appartient ˆ la droite (RU) (et ˆ la droite (RU)). Un raisonnement analogue montre que ? appartient ˆ la droite (TV) et permet de conclure : ? est le point d"intersection des droites (RU) et (TV). Appliquons cette mŽthode ˆ notre cas de figure, en construisant un premier carrŽ de c™tŽ [AB] (extŽrieur au triangle ABC) et ses images par S et S 2 . En prolongeant les Revenons aux deux premiers carrŽs, et transposons les notations initiales : M est en A, N en B, Men B et Nen C. Le point R est donc en B et le point U en B". Le centre ? de S est donc sur la droite (BB). On montre de la mme faon que ? est sur (CC) et, comme les deux triangles ABC et ABCsont homothŽtiques, le centre ? de S est

Žgalement le centre de cette homothŽtie.

Conclusion : ? est le point d"intersection des droites (AA), (BB) et (CC).

Curiosité:

Le rapport d"homothŽtie n"est pas Žgal ˆ 4 comme toute figure tracŽe ˆ la k= ′A′B AB k= ′B′C BC

606# "

March.qxp_Mise en page 1 07/12/2016 06:48 Page606 avec . Les coordonnŽes de Bsont obtenues comme intersection de la droite (B ?) avec la droite (BC) d"Žquation y=a.

On obtient : .

Un calcul analogue nous donne .

D"o

soit finalement

Et en remplaant ?et tan?par leurs valeurs :

4 Au fait, et la spirale logarithmique ?

ConsidŽrons une spirale logarithmique de centre ? d"origine A et passant par B. L"Žquation polaire de cette spirale est de la forme ?? 0 b . Elle passe par A donc 0 b 0 0 ?A et puisque elle passe par B : soit

L"Žquation de cette spirale est donc : avec ?

0 ?A.

Quand augmente de 3π/5, est multipliŽ par

1 ; par consŽquent la spirale passe par les points C, D, E, F, ... L"angle vque fait la tangente ˆ la spirale logarithmique avec le rayon vecteur vŽrifie : soit . ConsidŽrons maintenant l"angle que fait la tangente en B ˆ l"arc de cercle AB de centre D avec (?B) : il est Žgal ˆ ,soit environ 90¡ 9,73¡ = 80,27¡ L"angle que font entre elles les tangentes aux deux courbes (la spirale d"or et la spirale logarithmique) en B est donc de 80,27¡ 75,68¡ = 4,59¡. Cela tŽmoigne du faible Žcart entre les deux courbes et de la pertinence du tracŽ B? a 2 ;0 C a 2 ;0 a? 2?+6 atanθ 2?+6 2? 5 ′B′C= a 2 3a tanθ a 2 a2?+3() tanθ =a+

2a?+6a

tanθ k= ′B′C BC =1+ 2?+6 tanθ k=1+ 7+5 5+25 ?4,00098. ′B? a 2 a2?+3() tanθ ;?a ′C a 2 3a tanθ ;?aquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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