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Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014

CINÉMATIQUE : CORRECTIONS

Exercices prioritaires :Vrai ou faux?

?Exercice n° 1Justifiez vos réponses. 1.

L "accélérationd "unpoint ma térieldont la v itesseest cons tante(5 0km/ h)e sts ystémati-

quement nulle.

Faux : l"accélération est nulle à condition que la vitesse soit constante à tout point de

vue (intensité et direction). Par exemple, un objet circulant sur une trajectoire circu-

laire à vitesse constante a une accélération centripètev2/R.2.U neba lleglisse san sfr ottementd ansune p entein curvée.C efaisa nt:

(a) S avi tesseaugmen teet s onacc élérationdi minue (b) S avi tessediminue e tson a ccélérationaugmen te (c)

L esd euxaugmen tent

(d)

L esdeux sont con stantes

(e)

Les deu xdi minuentSa vitesse augmente et son accélération diminue. Concernant la vitesse le problème

est simple. On peut y répondre en faisant appel au th de l"E cou encore à la conserva- vaille pas et le poids dérive du potentielgz). L"énergie potentielle diminue lorsque la balle descend donc sa vitesse augmente (énergie cinétique). Pour l"accélération c"est plus délicat. L"accélération tangentielle correspond à la projection de#gsur la trajec- toire. Comme la trajectoire s"incurve de la verticale vers l"horizontale cette projection diminue : l"accélération tangentielle diminue. L"accélération normale estv2/RoùR est le rayon de courbure. Il n"est donc pas du tout évident qu"elle diminue (en tout cas en permanence). Elle va sans doute finir par s"annuler si la trajectoire ne remonte

jamais.3.U nfilm m ontrela c huted "unobje t(qui a d oncu neac célérationdir igéev ersle ba s).S ion

projette le film à l"envers (de la fin, vers le début), l"accélération sera-t-elle dirigée :

UJF L1 1 TD Phy 12a/12b

Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 (a) v ersl eba s? (b) v ersl eh aut? Verslebas: lefilmàl"enversmontreunobjetquimonteavecunevitessequiseréduit (la vitesse augmente dans le film à l"endroit). L"accélération est donc opposée à la vitesse (vers le haut) : elle est vers le bas.Mouvement avec accélération constante ??Exercice n° 2 Quelle est la trajectoire d"un point subissant une accélération vectorielle constante?

On peut choisir une repère (O,~ı,~|,~k) de façon à ce que l"accélération soit~aAEa0~|, la vitesse

initiale soit ~v0AEvx0~ıÅvy0~|et le pointOsoit le point de départ. Par intégrations successives on peut aisément calculer les équations du mouvement : 8>< aAE~a0 vAE~a0tÅ~v0¡¡!OMAE12 ~a0t2Å~v0tÅ¡¡¡!OM0)8 aAEa0~| a0t2Åvy0t)~|)M8 :xAEvx0t yAE12 a0t2Åvy0t zAE0 Il s"agit donc d"un mouvement parabolique d"équation :yAEa0v

2x0x2Åvy0v

x0x. Le plan de la pa- rabole n"est autre que le plan définit par

~aet~v0.1.M ontrerqu ele m ouvementcorr espondantn "esten g énéralp asunifor mémentv arié.

On entend par mouvement uniformément varié un mouvement dont le module de la vitesse est une fonction linéaire du tempsjj~vjj AE®tů. On peut calculer le module de la vitesse : jj ~vjjAEp~ v¢~vAEqv

20Åa2t2Å2~a¢~v0t

Qui, de façon générale, n"a aucune raison d"être une fonction linéaire det...2.A qu ellec onditioncett etr ajectoireest -eller ectiligne?

La trajectoire est rectiligne pour

~vÒd~v/dt(accélération colinéaire à la vitesse), c"est à dire ( ~atÅ~v0)Ò~a. Or, comme de façon évidente~aÒ~at, on en déduit : Mouvement rectiligne,~v0Ò~aUJF L1 2 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 3. D ansqu elcas p articulierle mou vementest -ilu niformémentv arié? Le mouvement est uniformément varié si d"après la question 1 on a : qv

Les deux seuls cas possibles sont

~a¢~v0AE §av0réalisés si~v0Ò~a(mvt rectiligne) et

donnantjj~vjjAEv0§at(mouvementsrectilignesuniformémentaccéléréoudécéléré).Avion de chasse

?Exercice n° 3

Un avion de chasse vole à 1800 km/h suivant une trajectoire circulaire (looping) située dans un

plan vertical. 1.

C alculerla position, la v itessee tl "accélérationdu p iloteen c oordonnéescar tésienneset

polaires.

On part des équations du mouvement :

8>< :rAERµAE!t xAERcosµyAERsinµ rAE0µAE!xAE¡R!sinµyAER!cosµ et on obtient directement :

OMAER~urAERcosµ~ıÅRsinµ~|

vAER!~uµAE ¡R!sinµ~ıÅR!cosµ~|

aAE¡R!2~urAE ¡R!2cosµ~ı¡R!2sinµ~|2.S achantq u"unp iloteent raînésuppor teau t otal6 g(5gplus l"accélération de pesanteur

g), quel est le rayon minimum qu"il peut donner à la trajectoire?

La norme de l"accélération s"écrit :

j ~ajAEv2R

Et on obtient directement :

R minAEv2j ~ajmaxAEv25gAE5097mUJF L1 3 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 Remarque : dans ce type d"exercice, il faut partir des relations suivantes :

et remplacerx,x,¨x,y,y,¨y,z,z,¨z,r,r,¨r,µ,µet¨µpar leurs valeurs respectives.Détermination d"un mouvement polaire

??,Exercice n° 4

Le corrigé est dans le polycopié de TD.

du mobile est donnée parµ(tAE0)AE0 etr(tAE0)AEr0. On se propose d"étudier le mouvement de M. 1. Q uelleest l ad imensionde aet 1/¸? Que représentent-ils physiquement? 2. E xprimerles équ ationstemp orellesdu mou vementr(t) etµ(t). 3.

Q uelleest l at rajectoirede M? Faire un dessin.

4. C alculerle v ecteuracc élérationd eMen coordonnées polaires. 5. L emouv ementest-il unif orme,ac céléré,u niformémentac céléré,autr e? 6. L aconn aissancedu v ecteurvitesse est ell es uffisantep ourrépond reà l aq uestion2 ?à la question 4? Expliquer.Détermination d"un mouvement cylindrique ??Exercice n° 5 Un mouvement est représenté en coordonnées cylindriques parrAEa,µAE3bt2etzAE4abt2.

2¼a2¼43

al FIGURE1: un tour (µAE2¼) de l"hélice déroulée 1. Q uellesson tles dimensions des deu xc onstantesaetb?UJF L1 4 TD Phy 12a/12b Phy 12a/12b Cinématique : corrections 2013-2014 temps au carré.AE)a»[L] etb»[1/T2]2.Q uelleest l at rajectoire?quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4

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