[PDF] Rang et déterminant des matrices - LaBRI





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1 Quest-ce que le déterminant dune matrice ?

1 Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice ? Nous généralisons ici la notion de déterminant que vous connaissez déjà en dimension 2 et 3. La définition que 



LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

2- Le déterminant d'une matrice . 3- Calcul du déterminant pour une matrice ... Déterminants de matrices carrées de dimensions 4x4 et plus .



Déterminants

Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale



Sommaire 1. Déterminant dune matrice carrée

Démonstration : On admet l'existence et l'unicité du déterminant d'une matrice de Mn(). On va simplement faire le calcul en dimension 2.



Rang et déterminant des matrices

4 sept. 2019 Soit A ? Mnp(R) une matrice



Matrices et déterminants 1 Matrices

Matrices et déterminants. 1 Matrices. Définition 1.1. Une matrice réelle (ou complexe) M = (mij) (m



Module 2 : Déterminant dune matrice

Le déterminant concerne les matrices carrées. Une matrice dont le déterminant est différent de zéro est une matrice dite régulière. Elle est dite singulière 



Calculs de déterminants

Attention ! La règle de Sarrus ne s'applique qu'aux matrices 3×3. 3. Deuxième méthode. Se ramener à une matrice diagonale ou 



CHAPITRE I : MATRICES 1 Trace 2 Déterminant

Théorème 2.2 Une matrice A est inversible si et seulement si son déter- minant est non nul. 3 Matrices équivalentes et matrices semblables. Si A B ? Mm



MAT 1200: Introduction à lalgèbre linéaire

Déterminant de la matrice transposée. Les déterminants et les matrices inversibles. Sous-matrices Aij - Mineur- Cofacteurs. Mineur. Cofacteur.



[PDF] LES DÉTERMINANTS DE MATRICES

3- Calcul du déterminant pour une matrice Considérons la matrice de dimension 2 2 : Le déterminant de la matrice est définie par la relation



[PDF] Déterminants - Exo7 - Cours de mathématiques

Le déterminant permet de savoir si une matrice est inversible ou pas et de façon plus générale joue un rôle important dans le calcul matriciel et la 



[PDF] Matrices et déterminants

Matrices et déterminants 1 Définition d'une matrice On appelle matrice à p lignes et à n colonnes tout tableau rectangulaire dont les éléments



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[PDF] Chapitre 6 Déterminant dune matrice carrée

Ca sert à calculer l'inverse de la matrice (si elle existe) résoudre un système sans faire des échelonnements tester lié ou libre base ou pas



[PDF] Chapitre 5 : Le déterminant dune matrice

Dans la méthode de pivot de Gauss pour calculer un déterminant on applique des opérations des lignes et/ou colonnes pour obtenir une matrices triangulaire Le 



[PDF] Chapitre 5 Déterminant

La quantité det(A) est appelée le déterminant de la matrice A qui est inversible si et seulement si cette quantité est non nulle



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Matrices et déterminants 1 Matrices Définition 1 1 Une matrice réelle (ou complexe) M = (mij) (m n) `a m lignes et n



Rang et déterminant des matrices - LaBRI

4 sept 2019 · Soit A ? Mnp(R) une matrice on appelle rang de la matrice A le rang dans Rn du syst`eme constitué par ses p vecteurs



[PDF] Déterminants

12 sept 2016 · Le déterminant d'une matrice carrée de taille n × n est nul si et seulement si son rang est strictement inférieur à n 2 On ne modifie pas le 

  • Quelle est la formule du déterminant d'une matrice ?

    Le déterminant d'une matrice est égal à celui de sa transposée : si M ? Mn(R), alors det(M) = det(tM).

  • Quel est le meilleur méthode pour calculer le déterminant d'une matrice ?

    Le déterminant se calcule en multipliant les deux termes de la diagonales : a x d, puis les deux autres : b x c. On soustrait alors, ce qui donne det(A) = a x d – b x c. Rien de bien compliqué, il faut juste connaître la formule Autre cas particulier très simple : les matrices diagonales et triangulaires.

  • Pourquoi calculer déterminant matrice ?

    Le calcul du déterminant d'une matrice carrée est un outil nécessaire, tant en alg?re linéaire pour vérifier une inversibilité ou calculer l'inverse d'une matrice, qu'en analyse vectorielle avec, par exemple, le calcul d'un jacobien.
  • Si dans une matrice on ajoute à une ligne un multiple d'une autre ligne, le déterminant ne change pas. Si A est une matrice carrée d'ordre n, on a det(A)=det(At). Si A et B sont des matrices carrées d'ordre n, on a det(A?B)=det(A)?det(B).

Rang et d

´eterminant des matrices

Herv

´e Hocquard

Universit

´e de Bordeaux, France

4 septembre 2019

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Introduction

SoitA=aij2Mn;p(K), avecK=RouC:On peut

d

´ecomposerAen lignes :A=0

B @a 1... a n1 C A ou en colonnes :A=a1ap.On associe `aAdeux sev deKp:

L(A) =Vectfa1;:::;angle sev engendr´e par les lignes deA.C(A) =Vecta1;:::;aple sev engendr´e par les colonnes de

A.

Espace des lignes-Espace des colonnes

Th ´eor`emePour toute matrice A deMn;p(K);dimL(A) = dimC(A).D ´efinitionSoit A une matrice deMn;p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement : rangAmin(n;p)etrangA=rangtA

Espace des lignes-Espace des colonnes

Th ´eor`emePour toute matrice A deMn;p(K);dimL(A) = dimC(A).D ´efinitionSoit A une matrice deMn;p(K). On appelle rang deAla dimension deC(A)(ou deL(A)). On a clairement : rangAmin(n;p)etrangA=rangtA

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice...pour faire simple

D ´efinitionSoitA2Mn;p(R)une matrice, on appelle rang de la matriceA, le rang dansRndu syst`eme constitu´e par sespvecteurs colonnes, notation :rg(A) =rg(c1(A);:::;cp(A)).Remarque

ImA=Vectfc1(A);:::;cp(A)gTh

´eor`emeSoituune application lin´eaire deEdansF, soitBune base de

E, soitB0une base deF, et soitA=matB;B0(u), alors

rg(u) =rg(A)

Rang d"une matrice

Th ´eor`eme (Cons´equence)SoitEun espace vectoriel de dimensionn, soitS= (x1;:::;xp) une famille depvecteurs deEet soitBune base deE, alors le rang de la familleSest´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.Th ´eor`eme : Invariance du rangSoitA2Mn;p(R),P2Mp(R)inversible et soitQ2Mn(R) inversible. Alors :1rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).2Deux matrices semblables ont le m

ˆeme rang.3rg(A) =rg(tA).

Rang d"une matrice

Th ´eor`eme (Cons´equence)SoitEun espace vectoriel de dimensionn, soitS= (x1;:::;xp) une famille depvecteurs deEet soitBune base deE, alors le rang de la familleSest´egal au rang de la matrice de ce syst `eme dans la baseB.Th ´eor`eme : Invariance du rangSoitA2Mn;p(R),P2Mp(R)inversible et soitQ2Mn(R) inversible. Alors :1rg(AP) =rg(A)etrg(QA) =rg(A).2Deux matrices semblables ont le m

ˆeme rang.3rg(A) =rg(tA).

Op ´erations´el´ementaires sur les matricesD ´efinitionSoitA2Mn;p(R), on appelle op´erations´el´ementaires surAles op ´erations suivantes :1Permuter deux lignes deA(ou deux colonnes), notation : L i$Lj(resp.Ci$Cj).2Multiplier une ligne (ou une colonne) par un scalaire non nul, notation :Li aLi(resp.Ci aCi).3Ajouter `a une ligne (ou une colonne) un multiple d"une autre ligne (resp. une autre colonne), notation : L i Li+aLj, aveci6=j(resp.Ci Ci+aCj). Op ´erations´el´ementaires sur les matricesTh

´eor`emeEffectuer une op

´eration´el´ementaire sur une matrice

A2Mn;p(R)revient`a multiplierA`a gauche par une matrice inversible pour les op

´erations sur les lignes (`a droite pour une

op

´eration sur les colonnes).

Op

´erations´el´ementaires surA2Mn;p(R):K=R

Calcul pratique du rang d"une matrice

Remarque

Il est

`a peu pr`es´evident que les op´erations´el´ementaires ne modifient pas le rang d"une matrice. Pour calculer le rang d"une matrice, il suffit donc de l"

´echelonner par rapport`a ses lignes

(resp.ses colonnes) et le rang est alors

´egal au nombre de

lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice

´echelonn´ee.

C"est donc aussi le nombre de pivots non nuls d"une r

´eduite de

Gauss-Jordan de la matrice.Th

´eor`eme : propri´et´es d"invarianceLes op ´erations´el´ementaires conservent le rang de la matrice.La suppression d"une colonne nulle ou d"une ligne nulle pr

´eserve le rang.

Calcul pratique du rang d"une matrice

Remarque

Il est

`a peu pr`es´evident que les op´erations´el´ementaires ne modifient pas le rang d"une matrice. Pour calculer le rang d"une matrice, il suffit donc de l"

´echelonner par rapport`a ses lignes

(resp.ses colonnes) et le rang est alors

´egal au nombre de

lignes (resp. de colonnes) non nulles de la matrice

´echelonn´ee.

C"est donc aussi le nombre de pivots non nuls d"une r

´eduite de

Gauss-Jordan de la matrice.Th

´eor`eme : propri´et´es d"invarianceLes op ´erations´el´ementaires conservent le rang de la matrice.La suppression d"une colonne nulle ou d"une ligne nulle pr

´eserve le rang.

Calcul pratique du rang d"une matrice : pivot de Gauss

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

Exercice

D

´eterminer le rang de la matriceAci-dessous :

A=0 B

BBB@0 0 1 3

1 01 2

0 0 1 2

2 44 1

1 0 3 01

C CCCA

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Calcul pratique du rang d"une matrice : exercice

rg(A) =4

Rang et inversibilit

´eProposition

SoitA2Mn;p(K). A est inversible`a gauche (resp.`a droite) ssi rangA=p(resp.rangA=n).Corollaire

Toute matrice inversible est carr

´ee, et pour une matrice carr´ee

AdeMn(K), on a :

Ainversible()rangA=n

On dit aussi r

´eguli`ere pour inversible.Corollaire

Le rang d"une matriceA2Mn;p(K)est´egal`a l"ordre de la plus grande sous matrice carr

´ee r´eguli`ere que l"on peut extraire de

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