[PDF] Matrices et déterminants 1 Matrices

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Matrices et d´eterminants

1 Matrices

D´efinition 1.1.Une matrice r´eelle (ou complexe)M= (mi,j) (m,n)`amlignes etn colonnes est un tableau `amlignes etncolonnes de r´eels (ou de complexes). Le coefficient situ´e sur la colonneiet la lignejest not´emi,j. La somme de deux matricesP= (pi,j)etQ= (qi,j)mlignes etncolonnes est la matrice (pi,j+qi,j). Siλest un scalaire la matriceλPest la matrice(λpi,j) L"ensemble des matricesmlignes etncolonnes `a coefficients r´eels (resp. complexes) est not´eMatm,n(R)(resp.Matm,n(C)). Sim=n(on parle de matrices carr´ees) on note simplementMatm(R)(resp.Matm(C)) Proposition 1.2.L"ensembleMatm,n(R)(resp.Matm,n(C)) est un espace vectoriel r´eel s. Les matrices suivantes (n,n), dites matrices ´el´ementaires seront importantes dans la suite. •(matrice unit´e)Indont tous les coefficients sur la diagonale valent 1, tous les autres •(matrices de transposition)Sr,s=In-Er,r-Es,s+Er,s+Es,r, avecr?=s, •(matrices de transvection)Tr,s(λ) =In+λEr,s, avecr?=s, •(matrices de dIlatation)Dr(μ) =In+ (μ-1)Er,r. Soit I n=( (((((1 1 1 1)

tous les les ´el´ements diagonaux sont ´egaux `a 1, tous les autres termes sont nuls celui sauf

celui sur la ligneret la colonnesqui est ´egal `aλ. S r,s(λ) =( ((((((((((1 0 1 1 0 1) 1 tous les les ´el´ements diagonaux sont ´egaux `a 1, sauf ceux sur la lineret la colonneret sur la lineset la colonnes´egaux `a 0. Tous les autres sont ´egaux `a 0 sauf ceux sur la line ret la colonneset sur la lineret la colonnes´egaux `a 1. T r,s(λ) =( ((((((1 1)

tous les les ´el´ements diagonaux sont ´egaux `a 1, tous les autres termes sont nuls celui sauf

celui sur la ligneret la colonnesqui est ´egal `aλ. D r(μ) =( (((((((((1 1 1 1) tous les les ´el´ements diagonaux sont ´egaux `a 1 sauf ceux sur la ligneret la lignerqui est ´egal `aμ.

2 Produit de matrices

D´efinition 2.1.SoientA= (ai,j)une matrice(m,n)etB= (bi,j)une matrice(n,p). Le produitABest une matrice(m,p)donn´ee par p i,j=k=n? k=1a i,kbk,j Pour toute matriceA, on noteLisa i-`eme ligne, etCjsa j-`eme colonne.

SoitAune matrice (n,n), on aAIn=InA=A.

D´efinition 2.2.Une matrice est inversible si Il existeB((n,n)telle queAB=BA=In.

Soit la matrice

?a b c d? siad-bc?= 0 son inverse est

1ad-bc?

d-b -c a? L"inverse n"existe que si l"hypoth`esead-bc?= 0 est satisfaite. •La matriceSr,sAest la matrice obtenue `a partir deAen ´echangeant les lignesret s. La matriceASr,sest la matrice obtenue `a partir deAen ´echangeant les colonnes rets. 2 •La matriceTr,s(λ)Aest la matrice obtenue `a partir deAen rempla¸cant la lignerpar L r+λLs. La matriceATr,s(λ) est la matrice obtenue `a partir deAen rempla¸cant la colonneCrparCr+λCs. •La matriceDr(μ)Aest la matrice obtenue `a partir deAen multipliant la ligner parμ. La matriceADr(μ) est la matrice obtenue `a partir deAen multipliant la colonnerparμ.

Les op´erations d´ecrites ci-dessus sont appel´ees op´erations ´el´ementaires sur la

matriceA.

On notera les formule suivantes :

•S2r,s=Sr,s, •E2r,s= 0 sir?=s, •E2r,r=Er,r, •Tr,s(λ)T2r,s(μ) =Tr,s(λ+μ). A titre d"exercice on calculera les puissances de la matrice (k,k) N=( ((((((0 1 0 0

0 0 1 0 0

0 0 1 0 0) `a ((((((0...0 1 0... ...0 1 0... ...0 1

0...0 0)

Le terme 1 sur la premi`ere ligne est sur la colonnei+ 1.

3 D´efinition et calcul du rang d"une matrice

Les matricesSr,s,Tr,s(λ) avecr?=s, etDr(μ) avecμ?= 0 sont inversibles, d"inverses respectifsSrs,Trs(-λ) avecr?=s, etDr(μ-1). On peut en multipliant `a gauche par des matrices ´el´ementaires transformer une matrice

Aquelconque en une matrice en ´echelons :

D´efinition 3.1.Une matrice en ´echelon est une matrice telle que : •Si une ligne est nulle les lignes suivantes le sont, •le premier terme non nul d"une ligne est ´egal `a1, 3 •si le premier terme non-nul sur de la ligneiest sur la colonnejle premier terme non-nul (si Il existe) de la lignei+1est sur sur la colonnej+1ou sur une colonne suivante. On proc`ede comme suit pour transformer une matriceAquelconque en une matrice en

´echelons.

•Si la colonne 1 de la matriceAest nulle on passe `a la colonne 2. •Si la colonne 1 n"est pas nulle quitte `a multiplier par une matriceS1,son peut remplacerApar une matriceA?dont le terme sur la premi`ere ligne et la premi`ere colonne est non-nul. Quitte `a multiplier par une matriceD1(a) on peut supposer que ce terme est ´egal `a 1. •Multipliant par des matricesT1,j(λ) on peut se ramener `a une matriceA" dont tous les coefficients sur la premi`ere colonne, sauf celui sur la premi`ere ligne et la premi`ere colonne qui est ´egal `a 1, sont nuls. •On it`ere alors le processus en le r´eappliquant, dans le premier cas `a la matrice obtenue `a partir deAen enlevant la premi`ere colonne, dans le second `a celle obtenue `a partir deA" en enlevant la premi`ere colonne et la premi`ere ligne. •Les multiplications envisag´ees ci dessus sont toutes `a gauche, onh peut utIliser des multiplications `a droite si elles apparaissent plus commode (voir exemple ci-dessous). D´efinition 3.2.Au bout de ce processus on obtient une matrice en ´echelon. Le rang de la matrice initialeAest le nombre de lignes non nulles de cette matrice Il convient de noter qu"Il n"y a pas une seule fa¸con de ramener une matrice donn´ee `a une matrice en ´echelon. Mais : Th´eor`eme 3.3.Quelle que soit la mani`ere choisie on obtiendra `a la fin un nombre de lignes non nulles ind´ependant du processus sp´ecifique et ne d´ependant donc que deA. De plus quand on multiplie une matriceApar une matrice ´el´ementaireEle rang de la matrice initiale est ´egal au rang de la matrice produitEA(ouAEsi le produit est `a droite). Ceci justifie de d´efinir le rang comme Il a ´et´e fait. A titre d"exemple calculons le rang de la matrice suivante qui d´epend d"un param`etrea. ((3 1 1 1 1a -4 4-4

6 4 0)

d"abord on ´echangeC1etC2:C1↔C2ce qui `a l"avantage de faire apparaˆitre 1 en haut `a gauche. ((1 3 1 1 1a 4-4-4

4 6 0)

((1 3 1

0-2a-1

0-16-8

0-6-4)

o`u la seconde op´eration consiste `a soustraire 4 •la premi`ere ligne `a la seconde :L2-L1, •4 fois la premi`ere ligne `a la troisi`eme :L3-4L1, •4 fois la premi`ere ligne `a la quatri`eme :L4-4L1,. Puis •C2↔C4 •C2↔C3 • -L4,-L3,-18L2 ((1 3 1 0 2 1 0 6 4

0 2 1-a)

((1 3 1 0 2 1 0 0 1

0 2 1-a)

•C2↔C4 •C2↔C3 • -L4,-L3,-18L2

La derni`ere op´eration ´etantL3-2L2.

Enfin on faitC3↔C4et le rang est 3 et ne d´epend pas dea. Ce qui a ´et´e dit sur les lignes est vrai pour les colonnes. On peut calculer le rang en effectuant des manipulations sur les colonnes: dans la d´efinition d"une matrice en ´echelon on remplace ligne par colonne ainsi que dans le processus d´ecrit c-dessus. Le nombre de colonnes non nulles obtenues est alors ´egal au nombre de lignes non nulles obtenues dans le premier processus. Un dernier exemple : soitA= (cos(i-j)), de taIllen >2. On a cos(i-j) = cosicosj+ sinisinj. SoitCle vecteur de coordonn´ees (cosi) etSle vecteur de coordonn´ees (sini). Ces deux vecteurs sont ind´ependants car non colin´eaires (cos2/sin2?= cos1/sin1). La colonnejest cosj C+ sinj S. Ainsi, la matriceAest de rang 2.

4 Calcul de l"inverse d"une matrice carr´ee inversible

On obtient l"inverse d"une matriceAen la ramenant `aInen effectuant des op´erations ´el´ementaires sur les lignes ou sur les colonnes,mais sans m´elanger, et en effectuant les mˆemes op´erations ´el´ementaires sur la matriceIn. A=( (2 4 3 0 1 1

2 2-1)

(2 4 3 0 1 1

2 2 1)

(1 0 0 0 1 0

0 0 1)

5 (2 4 3 0 1 1

0-2-4)

(1 0 0 0 1 0 -1 0 1) (2 4 3 0 1 1

0 1 2)

(1 0 0 0 1 0

1/2 0-1/2)

(2 4 3 0 1 1

0 0 1)

(1 0 0 0 1 0

1/2-1-1/2)

(2 0-1 0 1 1

0 0 1)

(1-4 0 0 1 0

1/2-1-1/2)

(2 0 0 0 1 1

0 0 1)

(3/2-5-1/2 0 1 0

1/2-1-1/2)

(2 0 0 0 1 0

0 0 1)

(3/2-5-1/2 -1/2 2 1/2

1/2-1-1/2)

(1 0 0 0 1 0

0 0 1)

(3/4-5/2-1/4 -1/2 2 1/2

1/2-1-1/2)

la derni`ere matrice de droite est =A-1. ExplicationEffectuer les op´erations pr´ec´edentes revient `a multiplier la matriceA`a gauche par un certain nombre de matrices´el´ementairesQ1,...,Qk. On a alorsQ1...QkA= I n. L"inverse deAest doncQ1...Qk=Q1...QnIk, qui est exactement la matrice qu"on obtient en effectuant les mˆemes op´erations surIn.

Si on m´elange les op´erations sur les lignes et les colonnes, on aboutit `a une ´egalit´e du type

Q

1...QkAP1...Pm=In, ce qui ne nous donne pas directement l"inverse de la matriceA.

Voici un exemple de nature diff´erente, laiss´e en exercice.

SoitA=(

(-1 1 1 1-1 1

1 1-1)

CalculerA2et montrer queA2= 2I-A, en d´eduire queAest inversible et calculerA-1.

Voici un autre exemple :

L"inverse de la matrice triangulaire sup´erieure 6 ((((1 1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1 1

0 0 1 1 1

0 0 0 0 1)

est ((((1-1 0 0 0

0 1-1 0 0

0 0 1-1 0

0 0 0 1-1

0 0 0 0 1)

Calcul par blocsQuand la matriceAest donn´ee par blocs, on peut parfois calculer son inverse en fonction des blocs deA.

L"inverse de la matrice :

?A C 0B? sous la forme ?X Y 0Z?

Un calcul direct donneX=A-1,Y=-A-1CB-1etZ=B-1.

Attention dans ce type de calcul `a ne pas oublier que les blocs sont des matrices et non pas des nombres. En effet, l"alg`ebre des matrices est non commutative. On ne peut donc pas calculer les produits dans n"importe quel sens.

On notera

Proposition 4.1.SiAest inversible, alors son rang co¨incide avec sa taille.

5 D´eterminants

On parle de d´eterminant pour une matrice carr´ee (n,n). Le d´eterminant d"une matrice (1,1)A= (a) est ´egal `aa. Le d´eterminant d"une matrice (2,2) ?a b c d? est ´egal `aad-bc. Le d´eterminant d"une matriceAsera not´ee det(A), ou avecA=ai,j|A|=|ai,j|. On suppose que l"on a d´efini le d´eterminant pour les matrices (n-1,n-1). SoitA= (ai,j obtenue en enlevant `aAlai-i`eme ligne et laj-i`eme colonne. Alors

D´efinition 5.1.

det(A) =? i=1,...,na i,1(-1)1+idet(Ai,1)

On d´emontre par r´ecurence que :

7 •Si une colonne quelconque deAest nulle le d´eterminant est est nul. •SiA= (ai,jest une matrice dont tous les coefficients en dehors de la diagonale sont nuls alors et(A) =a1,1a2,2...an,n •SiA= (ai,jest une matrice dont tous les coefficients sous la diagonale sont nuls (ai,j= 0 sii > jalors et(A) =a1,1a2,2...an,n

•On appliquera les r´esultats pr´ec´edents aux matrices ´el´ementaires (sauf pour le cas

des matricesSi,jpour les quelles on montrera directement que le d´eterminant vaut -1). •NotantCiles colonnes d"une matriceAon a (avec des notations ´evidentes) det(A) =|C1,...,Ci,...,Cn|=|C1,...,Ci+λCj,...,Cn| aveci?=j. C"est-`a-dire qu"on ne change pas la avleur du d´eterminant en ajoutant `a une colonne un multiple d"une autre colonne. •En particulier si deux colonnes sont ´egales le d´eterminant est nul. Calcul par blocsQuand la matriceAest donn´ee par blocs, on peut parfois calculer son inverse en fonction des blocs deA.

Le d´eterminant de la matrice :

?A C 0B? est ´egal `a det(A)det(B)

Le corollaire suivant est fondamental :

Corollaire 5.2.SoitAune matrice

autrement dit en ´echangeant deux colonnes on change le signe du d´eterminant. On peut d´evelopper par rapport `a n"importe quelle colonne

Corollaire 5.3.SoitAune matrice etjfix´e

det(A) =? i=1,...,na i,j(-1)i+jdet(Ai,j)

Le th´eor`eme suivant se d´emontre de mani`ere diff´erente. La transpo´ee d"une matriceAest

maamtrice obtenue en ´echangeant lignes et colonnes, soit en faisant une sym´etrie autour de la diagonale. SiA= (ai,j) la transpos´eeB= (bi,j) est donn´ee par la formulebi,j=aj,i Th´eor`eme 5.4.SoitAune matrice etBsa transpos´ee, alors det(A) = det(B)

Il en r´esulte que tous l´enonc´es formul´es ci-dessus avec les colonnes d"une matrice de-

meurent vrais si on remplace colonne par ligne.

Enfin on a

Proposition 5.5.SoientAetBdeux matrices carr´ees(n,n). On a det(AB) = det(A)det(B) 8

6 D´eterminants et matrices inversibles, rang

Th´eor`eme 6.1.Une matrice carr´eeAest inversible si et seulement si son d´eterminant est non nul. L"ensemble des matrices carr´ees (n,n) `a coefficients dansR(resp.C) est not´e GLn(R) (resp. GL n(C)). En fait Il y a une formule pour la matrice inverse, en utIlisant les notations untIlis´ees plus haut on a : A -1=1det(A)((-1)i+jdet(Aj,i))

On a aussi

Th´eor`eme 6.2.Une matriceA(non n´ecessairement carr´ee). Son rang est ´egal `a la dimension du plus grand mineur non nul. SiAest une matrice (m,n) un mineur de dinensiondest un d´eterminant (d,d) obtenu `a partir deAen ´eliminantm-dlignes etn-dcolonnes.

7 Matrices de changement de bases

Etant donn´es un espace vectoriel et deux basesB0= (v1,...,vn) etB1= (w1,...,wn). On ´ecrit la d´ecomposition des vecteurs deB1sur la baseB0: w j=i=n? i=1p i,jvi D´efinition 7.1.La matrice de passagePdeB0`aB1est la matrice carr´ee(n,n)dont le coefficient sur la la ligneiet la colonnejestpi,j:P= (pi,j). Autrement dit le coefficient sur la la ligneiet la colonnejdePest le coefficient dewj associ´e `avi. Proposition 7.2.Si on a trois basesB0,B1,B2et siPest la matrice de passage deB0 `aB1, etQcelleB1`aB2,Rcelle deB0`aB2, on a R=PQ En particulier Il en r´esulte qu"une matrice de changement de base est inversible. Proposition 7.3.(Calcul des coefficients d"un vecteur dans une nouvelle base) Etant donn´es un espace vectorielEet deux basesB0etB1. Soitx?Eet soit(α1,...,αn)les coefficients (coordonn´ees) dexdans la premi`ere base, c"est `a dire quex=α1v1+...+αnvn. On noteXle vecteur colonne (matricenlignes1colonne) X=( 1 2 n) Et soitX?le vecteur colonne correspondant pour la seconde base. On a X=PX? 9

8 Matrice d"une application lin´eaire

Soient deux espaces vectorielsEetFde bases respectivesB0= (v1,...,vm) etB1=

(w1,...,wn). Soit de plus une application lin´eaireφ:E-→F. On ´ecrit la d´ecomposition

des vecteurs deφ(vj) sur la baseB1:

φ(vj) =i=n?

i=1a i,jwi D´efinition 8.1.La matrice deφdans les basesB0etB1est la matrice(m,n)dont le coefficient sur la la ligneiet la colonnejestai,j:A= (ai,j). Autrement dit le coefficient sur la la ligneiet la colonnejdePest le coefficient deφ(vj) associ´e `awi.

On rappelle le changement de base maintenant :

Proposition 8.2.Soient un espaces= vectorielEdeux basesB0etB1. Soit de plus une application lin´eaireφ:E-→E. SoitPla matrice de changement de base (voir section pr´ec´edente) etAla matrice deφdansB0. La matriceA?deφdansB1est donn´ee par A ?=P-1AP On remarque que (Proposition 5.5) que det(A?) = det(A). On en d´eduit que Proposition 8.3.Le d´eterminant de la matrice d"une application lin´eaire ne d´epend pas de la base choisie. On l"appelle le d´eterminant de l"application lin´eaire.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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