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:
Cours de mathématiquesECT 1ère annéeChapitre 7Limites et continuité

Adrien Fontaine

Année scolaire 2020-2021

Cours de mathématiquesECT1

1.NOTIONS DE LIMITE

1.1.Illustration

•Soitfla fonction définie par :

?x?R,f(x)=x2 Étudions les valeurs def(x) lorsquexse rapproche de 0 : x10,50,10,010-0,01-0,1-0,5-1 f(x)10,250,010,000100,00010,010,251 On constate que, plusxse rapproche de 0, plusx2se rapproche de 0. On dit quex2tend vers 0, lorsquextend vers0, et on note : lim x→0x2=0

•Soitfla fonction définie par :

?x?R?,f(x)=1 x2 Étudions les valeurs def(x) lorsquexse rapproche de 0 : x10,50,10,010-0,01-0,1-0,5-1 f(x)141001000001000010041 On constate que, plusxse rapproche de 0, plus1x2devient "grand".

On dit que

1 x2tend vers+∞, lorsquextend vers0, et on note : lim x→01 x2=+∞

•Soitfla fonction définie par :

?x?R?,f(x)=1 x2 Étudions les valeurs def(x) lorsquexdevient "grand" : x1510100 f(x)10,040,010,0001 On constate que plusxdevient "grand", plus1x2se rapproche de 0.

On dit que

1 x2tend vers0, lorsquextend vers+∞., et on note : lim x→+∞1 x2=0 2

Cours de mathématiquesECT1

1.2.Limite finie en un point

Soitfune fonction définie au "voisinage» d"un réela. On dit quef admet?pour limite en alorsquef(x) devient aussi proche que l"on veut de?pourvu que l"on choisissex suffisamment proche dea. On note alors : lim x→af(x)=? Oxy a? Exemple :Soitfla fonction définie sur ]-2;4[ parf(x)=x2+3x-5. On a : lim x→0f(x)= -5limx→-2f(x)=-7limx→4f(x)=23

1.3.Limite à gauche/à droite en un point

que l"on s"approche deaexclusivement par la gauche,i.epar valeurs inférieures,i.epour des abscissesxa.

Soitfune fonction définie sur un intervalle I.

•si lorsquexse rapproche deapar valeurs inférieures, f(x) se rapproche de?, on dit quefadmet?pourli- mite à gaucheenaet on note lim x→a-f(x)=?ou limx→axaf(x)=? a0 3

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1.4.Limite infinie en un point

Une fonctionfpeut également avoir une limite infinie en un point,i.eprendre des valeurs positivesou négativesaussi grande que l"on veut. Plus précisément, pour une fonctionf, on dit quef(x) tend vers+∞, lorsquextend vers a, sif(x) peut prendre des valeurspositivesaussi grandes que l"on veut, pourvu que l"on choisissexsuffisamment proche dea. On note alors : lim x→af(x)=+∞ De même, on dit quef(x) tend vers-∞, lorsquextend versa, sif(x) peut prendre des valeursnégativesaussi grandes que l"on veut, pourvu que l"on choisissexsuffisamment proche dea. lim x→af(x)=-∞ Si la fonction n"est définie qu"à gauche dea(resp. qu"à droite dea), on note de manière similaire: limx→a-f(x)=±∞(resp. limx→a+f(x)=±∞)

Limite "à droite dea»

Oxy f(x)+∞ ax limx→ax>af(x)=+∞Limite "à gauche dea» Oxy f(x)+∞ ax limx→axaf(x)=-∞ Oxy f(x) ax limx→axCours de mathématiquesECT1

1.5.Limite finie en l"infini

Lorsqu"une fonctionfest définie au voisinage de+∞ou de-∞, on peut s"intéresser au comportement def(x) lorsquexdevient très grand dans les positifs ou les négatifs. Soit f: [a;+∞[-→R. On dit quef admet?pour limite en+∞lorsquef(x) devient aussi proche que l"on veut de?pourvu que l"on choisissexsuffisamment grand. On note alors : lim x→+∞f(x)=?

Il en va de même pour définir lim

x→-∞f(x)=?. Oxy f(x)+∞ limx→+∞f(x)=?:f(x) est aussi proche que l"on veut de?à conditionde choisirx suffisamment grand.

1.6.Limite infinie en l"infini

Soitfune fonction définie sur un intervalle de la forme [A;+∞[, où A est un réel.

1.Dire que la fonctionfa pour limite+∞en+∞signifie quef(x)

prend des valeurs positives aussi grandes que l"on veut pourvu que l"on choisissexsuffisamment grand.

On note : lim

x→+∞f(x)=+∞ Oxy

2.Dire que la fonctionfa pour limite-∞en+∞signifie quef(x)

prend des valeurs négatives aussi grandes que l"on veut pourvu que l"on choisissexsuffisamment grand.

On note : lim

x→+∞f(x)=-∞ Oxy Soitfune fonction définie sur un intervalle de la forme ]-∞;A], où A est un réel.

1.Dire que la fonctionfa pour limite+∞en-∞signifie quef(x)

prend des valeurs positives aussi grandes que l"on veut pourvu que l"on choisissexnégatif suffisamment grand.

On note : lim

x→-∞f(x)=+∞ Oxy

2.Dire que la fonctionfa pour limite-∞en-∞signifie quef(x)

prend des valeurs négatives aussi grandes que l"on veut pourvu que l"on choisissexnégatif suffisamment grand.

On note : lim

x→-∞f(x)=-∞ Oxy 5

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2.CALCULS DE LIMITES

2.1.Limites des fonctions usuelles

FonctionDéfinie surCourbeLimite en-∞Limite en 0Limite en+∞ x?→c c?RR Oxy ccc x?→xn n?N?pairR Oxy +∞0+∞ x?→xn n?NimpairROxy-∞0+∞ x?→?xR+ Oxy NON

DÉFINI0+∞

x?→1xn n?N?pairR? Oxy 0+ limx→0-=+∞ lim x→0+=+∞ 0+ x?→1xn n?NimpairR?Oxy0- limx→0-=-∞ lim x→0+=+∞ 0+

Exemple :On a :

•limx→-∞x3=

•limx→0-1x2=+∞

•limx→+∞x2=+∞

•limx→-∞1x3=0-

6

Cours de mathématiquesECT1

2.2.Opérations sur les limites

2.2.1 Limite d"une somme de deux fonctions

Si limx→αu(x)=???+∞-∞+∞

et limx→αv(x)=??+∞-∞+∞-∞-∞ alors par somme limx→α(u+v)(x)=?+??+∞-∞+∞-∞À ÉTUDIER Exemple :Soitfla fonction définie sur ]0;+∞[ parf(x)=x2-1+1x. Étudions les limites de la fonctionfaux bornes de son intervalle de définition. limx→0x>0x

2-1= -1

lim x→0x>01 x= +∞??????? donc, par somme, limx→0x>0f(x)=+∞. limx→+∞x2-1= +∞ lim x→+∞1 x=0??? donc, par somme, limx→+∞f(x)=+∞

2.2.2 Limite d"un produit de deuxfonctions

Si limx→αu(x)=???=0+∞ou-∞0

et limx→αv(x)=??+∞ou-∞+∞ou-∞+∞ou-∞ alors par produit limx→α(u×v)(x)=?×??±∞*±∞*À ÉTUDIER

(*) Lorsque la limite du produit est infinie, c"est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le

résultat+∞ou-∞. Exemple :Soitfla fonction définie sur ]0;+∞[ parf(x)=x2×?1 x-1? . Étudions les limites de la fonctionfaux bornes de son intervalle de définition. limx→0x>0x 2=0 lim x→0x>01

Or pour tout réelxnon nul,x2×?1

x-1? =x-x2et limx→0x>0x-x2=0. Donc, limx→0x>0f(x)=0 limx→+∞x2= +∞ lim x→+∞1 x-1= -1??? donc, par produit, limx→0x>0f(x)=-∞ 7

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2.2.3 Limite d"un quotientde deuxfonctions

Si limx→αu(x)=???=0?+∞ou

-∞0+∞ou et limx→αv(x)=???=00+∞ou -∞??0+∞ou alors par quo- tient lim x→α? u v? (x)= ??±∞*0±∞*À ÉTUDIERÀ ÉTUDIER

(*) Lorsque la limite du quotient est infinie, c"est la règle des signes du produit qui permet de déterminer le

résultat+∞ou-∞. Exemple :Soitfla fonction définie sur ]1;+∞[ parf(x)=1 x2-1. Étudions les limites de la fonctionfaux bornes de son intervalle de définition. limx→1+1=0 lim x→1+x2-1=0+??? donc par quotient, limx→1+f(x)=+∞

•limx→+∞x3-1= +∞

lim x→+∞x2-1= +∞??? donc par quotient limx→+∞f(x)=+∞.

2.2.4 Compositionde limites

Théorème 1 : Composition de limites

Soientfetgdeux fonctions eta,betcdes réels ou±∞.

Si lim

x→af(x)=bet limx→bg(x)=c, alors limx→ag◦f(x)=c

Exemple :Calculons la limite limx→+∞?

1 x+2. limx→+∞1x=0+ lim

X→0+?

X=0?????

donc par quotient limx→+∞? 1 x=0.

Dès lors, par somme, on a lim

x→+∞? 1 x+2=2. 8

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2.3.Limites defonctions polynômes ou rationnelles en±∞

Théorème 2 :

La limite d"une fonction polynôme en±∞est égale à la limite de son monôme de plus haut degré.

Exemple :limx→+∞-3x3-2x2+x-5=

limx→+∞-3x3=-∞

Théorème 3 :

La limite d"une fonction rationnelle en±∞est égale à la limite du quotient du monôme de plus

haut degré du numérateur par le monôme de plus haut degré du dénominateur.

Exemple :limx→+∞5x2-2x3

3.ASYMPTOTES ET BRANCHES INFINIES

3.1.Asymptotes

Définition 1 : Asymptote verticale

Soitaun réel. Si limx→a-f(x)= ±∞et/ou limx→a+f(x)=±∞alors la droite d"équationx=aestasymp-

toteverticaleàCfena.

OxyaOxya

Oxy a Oxy a

Définition 2 : Asymptote horizontale

Soit?un réel. Si limx→+∞f(x)=?(resp. si limx→-∞f(x)=?), alors la droite d"équationy=?estasymp-

totehorizontaleen+∞(resp.-∞). Oxy 9

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Définition 3 : Asymptote oblique

Soitfune fonction définie sur un intervalle de borne+∞ou-∞, etDune droite d"équation y=ax+b.

Si limx→+∞?f(x)-(ax+b)?=0 (ou limx→-∞?f(x)-(ax+b)?=0), on dit alors que la droite d"équation

y=ax+best uneasymptote obliqueà la courbe représentative de la fonctionfen+∞(ou en lim x→+∞f(x)=+∞ Oxy y=ax+b limx→+∞f(x)=-∞ Oxy y=ax+b limx→-∞f(x)=+∞ Oxy y=ax+b limx→-∞f(x)=-∞ Oxy y=ax+b Exemple :Soitfla fonction définie sur ]-∞;-32[?]-32;+∞[ parf(x)=5x-12x+3. Étudier les limites defaux bornes de son ensemble de définition et en déduire les équations de ses

éventuellesasymptotes.

Commençons par étudier les limites en+∞et en-∞. D"après le théorème3, on a :

lim x→-∞5x-1

2x+3=limx→-∞5x2x=limx→-∞52=52et de même limx→-∞5x-12x+3=52

Ainsi, la droite d"équationy=5

2est asymptote verticale à la courbeCfen+∞et en-∞.

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