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Co-construction, entre enseignants de 2e secondaire et chercheure, de la complexité des problèmes écrits proposés en algèbre au premier cycle du secondaire

Mémoire présentée

dans le cadre du programme de maîtrise en éducation de maître ès arts PAR

© Lysandre Berger

[Novembre 2017]

Composition du jury :

Michel Bélanger, président du jury, Université du Québec à Rimouski Mélanie Tremblay, directrice de recherche, Université du Québec à Rimouski Mireille Saboya, codirectrice de recherche, Université du Québec à Montréal Patricia Marchand, professeure, Université de Sherbrooke Olivier Michaud, professeur, Université du Québec à Rimouski Dépôt initial le 30 juin 2017 Dépôt final le 20 novembre 2017

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À RIMOUSKI

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la liberté de diffuser et de commercialiser ou non ce travail dont il possède un exemplaire.

REMERCIEMENTS

pour leur soutien et leurs encouragements. Vous avez su me témoigner indulgence, patience et confiance. Vos commentaires ont su me faire progresser dans ce travail de longue haleine

malgré mes difficultés et mes contraintes personnelles. Je vous remercie infiniment de

r encouragé à persévérer et dsse et la délicatesse de me laisser une distance aux moments opportuns Vos apports dans ma vie professionnelle sont immenses. Je vous admire et vous respecte. Je remercie les membres du jury, Patricia Marchand, Olivier Michaud et Michel Aux deux enseignants qui ont volontairement pris de leur temps pour me permettre de faire ma recherche, je leur suis immensément reconnaissante. Nous avons discuté et ri pendant

Je tiens également à remercier soutenu

dans cette péripétie, malgré les embûches de ma vie personnelle. Je vous remercie de votre

compréhension et de votre soutien dans les moments de découragement. Merci à mes amis, FX, Louis-Julien, Jeanne, Anne-Marie, Pico, Marianne, mes collègues et les autres de . Merci Benoi de rire de mes difficultés, de dédramatiser mes angoisses et . Les longues heures à travailler seule dans mon bureau pendant que mes enfants, Ulrich, Uriel et Ulysse, jouaient et riaient étaient parfois pénibles à accepter. Merci à tous gracieusement gardé mes enfants afin que je relève le Mon devoir ues années prend maintenant fin mes chéris.

RÉSUMÉ

La résolution de problèmes est promue depuis plusieurs décennies dans différents

pays. Au fil du temps, différents critères ont été pris en considération pour juger de la

complexité le contexte, le type de les concepts présents dans les différents champs mathématiques, le nombre, la nature des tâches qui constituent le

problème. À notre connaissance, peu de recherches se sont intéressées à la voix des

explicitation de leurs critères de complexité. Nous

nous intéressons plus particulièrement aux critères de complexité qui teintent les problèmes

écrits en algèbre qui rejoignent les préoccupations des enseignants. Une recherche

collaborative a été menée avec deux enseignants intervenant à la deuxième année du

secondaire pour co-

problèmes écrits en algèbre à la jonction entre la réalité des enseignants et la recherche.

Après une entrevue individuelle et deux rencontres de groupe, les enseignants ont évoqué

critères se sont raffinés et bonifiés par des discussions et des négociations entre les

participants. Cette grille comporte quatre catégories nommées par les participants comme suit, , Mathématisation, et Type de problème. L-construite est présentée en faisant le parallèle avec ce qui existe dans les recherches et dans (MELS, 2006) problèmes écrits en algèbre. Mots clés : critères de complexité, problème, algèbre, recherche collaborative

TABLE DES MATIÈRES

REMERCIEMENTS ............................................................................................................. iv

RÉSUMÉ ................................................................................................................................ v

TABLE DES MATIÈRES .................................................................................................... vi

LISTE DES TABLEAUX ..................................................................................................... xi

LISTE DES FIGURES ........................................................................................................ xiii

LISTE DES ABRÉVIATIONS, DES SIGLESET DES ACRONYMES ............................ xv

INTRODUCTION .................................................................................................................. 1

CHAPITRE 1 PROBLÉMATIQUE ....................................................................................... 4

1.1 ORIGINE DU QUESTIONNEMENT DE RECHERCHE ........................................................... 4

1.2 IMPORTANCE DE LA RÉSOLUTION DE PROBLÈMES ........................................................ 7

1.2.1 Importance de la résolution de problèmes au Québec ......................................... 8

1.3 ANALYSE DUN ÉNONCÉ DE PROBLÈME VISANT LINTRODUCTION DE LALGÈBRE ..... 10

1.3.1 ....................... 12

1.3.2 Analyse des énoncés à partir du concept de tâche ............................................. 12

1.3.3 .......... 15

1.3.4 ................................................ 17

1.4 OBJECTIFS ET QUESTIONS DE RECHERCHE .................................................................. 19

CHAPITRE 2 CADRE CONCEPTUEL .............................................................................. 21

2.1 DÉFINITIONS RETENUES POUR CE PROJET ................................................................... 21

2.1.1 Définition de problème ...................................................................................... 21

2.1.2 .......................... 22

2.1.3 Définition de complexité ................................................................................... 24

2.2 CRITÈRES POUVANT INFLUENCER LA COMPLEXITÉ DUN PROBLÈME .......................... 25

vii

2.2.1 Structure relationnelle ........................................................................................ 26

2.2.1.1 Problèmes connectés ................................................................................. 27

2.2.1.2 Problèmes déconnectés ............................................................................. 29

2.2.1.2.1 Problèmes impliquant des relations de comparaison .......................... 30

2.2.1.2.2 Problèmes impliquant une ou des transformation(s) ........................... 31

2.2.1.2.3 Problèmes impliquant des taux ........................................................... 32

2.2.1.2.4 Problèmes de mise en égalité .............................................................. 33

2.2.2 Contexte ............................................................................................................. 35

2.2.3 Type de ........................................................... 39

2.2.4 Registres de représentation ................................................................................ 40

2.2.5 Type de réponse ................................................................................................. 42

2.2.6 Activité cognitive ............................................................................................... 44

2.2.7 Concepts présents dans différents champs mathématiques ............................... 46

2.2.8 Nombre, nature et enchaînement des tâches ...................................................... 47

2.3 LIEN ENTRE LES CRITÈRES DE LA RECHERCHE ET LE PROGRAMME .............................. 49

2.4 SYNTHÈSE DES CRITÈRES ........................................................................................... 51

CHAPITRE 3 MÉTHODOLOGIE ....................................................................................... 53

3.1 RECHERCHE COLLABORATIVE .................................................................................... 53

3.1.1 Description et fondements ................................................................................. 53

3.1.2 Étapes de la recherche collaborative .................................................................. 55

3.1.2.1 Étape de co-situation ................................................................................. 55

3.1.2.2 Étape de co-opération ............................................................................... 58

3.1.2.3 Étape de co-production ............................................................................. 59

3.2 OUTILS DE COLLECTE ET TRAITEMENT DES DONNÉES ................................................. 60

3.2.1 Entrevue individuelle ......................................................................................... 61

3.2.2 Test écrit auprès des élèves ................................................................................ 62

3.2.3 Rencontres de groupe ......................................................................................... 64

3.2.3.1 Première rencontre de groupe ................................................................... 65

3.2.3.2 Deuxième rencontre de groupe ................................................................. 69

viii

3.3 PRÉSENTATION DES PARTICIPANTS ............................................................................ 71

3.3.1 ............................................................................................ 72

3.3.1.1 Motif de son engagement dans la recherche ............................................ 72

3.3.1.2 ....................................... 73

3.3.2 Présentation de Félix ......................................................................................... 78

3.3.2.1 Motif de son engagement dans la recherche ............................................ 78

3.3.2.2 ....................................... 79

CHAPITRE 4 ANALYSE ET RÉSULTATS ...................................................................... 83

4.1 CRITÈRES ÉNONCÉS PAR LES ENSEIGNANTS AVANT LACTIVITÉ RÉFLEXIVE ............... 84

4.1.1 Critères de complexité évoqués par Éric ........................................................... 84

4.1.2 Critères de complexité évoqués par Félix ......................................................... 87

4.1.3 Recoupements et différences entre les critères de complexité déclarés par

.................................................. 89

4.1.3.1 Critères de complexité qui rejoignent les deux enseignants .................... 90

4.1.3.2 Critères de complexité propres à chaque enseignant ............................... 90

4.2 CRITÈRES DE COMPLEXITÉ À LA SUITE DE LACTIVITÉ RÉFLEXIVE MISE EN PLACE

ENTRE LES PARTICIPANTS .......................................................................................... 91

4.2.1 ................................................................................... 93

4.2.2 Contraintes ......................................................................................................... 95

4.2.3 Étapes de résolution ........................................................................................... 96

4.2.4 Relation entre les données ................................................................................. 97

4.2.5 Structure du problème ....................................................................................... 99

4.2.5.1 Problème de comparaison ........................................................................ 99

4.2.5.2 Problème de transformation ................................................................... 102

4.2.5.3 Problème de taux .................................................................................... 103

4.2.5.4 Problème de mise en égalité ................................................................... 104

4.2.6 Informations fournies ...................................................................................... 106

4.2.7 Nature et place de la question .......................................................................... 106

4.2.8 Représentation des données ............................................................................. 107

ix

4.2.9 Contexte ........................................................................................................... 109

4.2.10 Concepts en jeu ................................................................................................ 110

4.2.11 ......................................................................................... 112

4.2.12 Type de question .............................................................................................. 114

4.2.13 Type de réponse ............................................................................................... 115

4.3 GRILLE DANALYSE DES CRITÈRES DE COMPLEXITÉ DE PROBLÈMES ÉCRITS EN

ALGÈBRE CO-CONSTRUITE ENTRE CHERCHEURE ET ENSEIGNANTS ............................ 116

4.3.1 Catégorisation des critères selon les participants ............................................. 117

4.3.1.1 Catégorisation des critères selon Éric ..................................................... 117

4.3.1.2 Catégorisation des critères selon Félix ................................................... 118

4.3.1.3 Catégorisation des critères selon la chercheure ...................................... 119

4.3.2 Catégorisation co-construite ............................................................................ 119

4.3.2.1 Organisation physique du texte ............................................................... 121

4.3.2.2 .............................................................................. 122

4.3.2.3 Mathématisation ...................................................................................... 122

4.3.3.4 Type de problème ................................................................................... 123

4.4 OPÉRATIONNALISATION DE LA GRILLE .................................................................... 125

4.5 PROCESSUS DE CO-CONSTRUCTION ENTRE ENSEIGNANTS ET CHERCHEURE : UN

EXEMPLE .................................................................................................................. 132

4.5.1

lecture du problème .......................................................................................... 133

4.5.2 Les arguments reposant sur des critères mathématiques ................................. 135

4.5.3 Les arguments reposant sur le travail mené par les enseignants avec les

élèves ................................................................................................................ 136

CHAPITRE 5 DISCUSSION ............................................................................................. 138

5.1 RETOUR SUR LA GRILLE DANALYSE CO-CONSTRUITE .............................................. 139

5.2 RETOUR SUR LA MÉTHODOLOGIE : RÔLE DE LA CHERCHEURE DANS LA

RECHERCHE COLLABORATIVE .................................................................................. 142

5.3 DÉVELOPPEMENT PROFESSIONNEL DES ENSEIGNANTS .............................................. 146

x

CONCLUSION .................................................................................................................. 153

BREF APERÇU DES RÉSULTATS À TRAVERS LES QUESTIONS DE RECHERCHE....................... 155

LIMITES DE LA RECHERCHE ............................................................................................... 159

RETOMBÉES ET PROLONGEMENTS DE LA RECHERCHE ....................................................... 160

ANNEXES ......................................................................................................................... 162

ANNEXE I : PROBLÈMES DU TEST ÉCRIT AUX ÉLÈVES ........................................................ 163

ANNEXE II : ANALYSE DES PRODUCTIONS DU TEST ÉCRIT ................................................. 164

ANNEXE III : CANEVAS DE LENTREVUE INDIVIDUELLE .................................................... 180

ANNEXE IV : CANEVAS DE LA RENCONTRE DE GROUPE 1 ................................................. 182

ANNEXE V : PROBLÈMES APPORTÉS PAR LES ENSEIGNANTS .............................................. 185

ANNEXE VI : PROBLÈMES TIRÉS DE LARTICLE DE SABOYA ET AL. (2013) ........................ 187

ANNEXE VII : LISTE DES 30 CRITÈRES ÉVOQUÉS PAR LES ENSEIGNANTS ........................... 188

ANNEXE VIII : CANEVAS DE LA RENCONTRE DE GROUPE 2 ............................................... 190

ANNEXE IX : CATÉGORISATION DES CRITÈRES SELON ÉRIC .............................................. 193

ANNEXE X : CATÉGORISATION DES CRITÈRES SELON FÉLIX ............................................. 195

ANNEXE XI : CATÉGORISATION DES CRITÈRES SELON LA CHERCHEURE ........................... 197

ANNEXE XII : NOUVEAUX PROBLÈMES ............................................................................. 200

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES ........................................................................... 202

LISTE DES TABLEAUX

Tableau 1 : Deux problèmes ayant une structure relationnelle différente .............................. 6

Tableau 2 : Évolution de 1900 à nos jours des rôles associés aux problèmes ........................ 9

Tableau 3 : Structure du problème Les bancs ....................................................................... 14

Tableau 4 : Composantes et critères de la compétence en algèbre ....................................... 16

Tableau 5 : Analyse du problème Prestidigitateur selon les variables en jeu ...................... 17

Tableau 6 : ................................................. 19

Tableau 7 : Distinction entre un problème connecté et un problème déconnecté ................ 27

Tableau 8 : Exemples de problèmes connectés .................................................................... 28

Tableau 9 : Structures de problèmes impliquant des relations de comparaison ................... 30

Tableau 10 : Exemples de différents problèmes de taux et analyse ..................................... 33

Tableau 11 : Problèmes isomorphes ayant des contextes différents ..................................... 35

Tableau 12 : Différentes catégories de contexte selon MEQ (1988) .................................... 36

Tableau 13 : Variation des jeux de cadres pour une même expression algébrique .............. 37

Tableau 14 : Différentes catégories de contexte selon Caldwell et Godin (1979, 1987) ..... 38

Tableau 15 : Types de données selon MEQ (1988) .............................................................. 39

Tableau 16 : Registres de représentation en algèbre ............................................................. 41

Tableau 17 : Exemples de problèmes selon le nombre de solutions (MEQ, 1988) .............. 43

Tableau 18 : Problèmes ayant une réponse de nature numérique ou algébrique .................. 43

....................................................................... 45 xii

Tableau 20 : Lien entre les paramètres et les critères issus de la recherche ........................ 50

Tableau 21 : Synthèse des critères de complexité issus de la recherche .............................. 52

Tableau 22 : Activités prévues de la présente recherche collaborative ................................ 59

Tableau 23 : C ............................................ 61

Tableau 24 : Synthèse des critères de complexité des problèmes du test écrit .................... 64

Tableau 25 : Structure relationnelle des problèmes apportés par les enseignants ............... 65

Tableau 26 : Structure relationnelle des nouveaux problèmes ............................................. 70

Tableau 27 : Critères de complexité évoqués par Éric ......................................................... 84

Tableau 28 : Critères de complexité évoqués par Félix ....................................................... 87

Tableau 29 : Critères énoncés par les enseignants ............................................................... 89

.......................................................... 114

Tableau 31 : Classement selon le Type de question ........................................................... 115

-construit .... 120

Tableau 33 : Analyse de la complexité du problème Enfants malades .............................. 128

Tableau 34 : Analyse de la complexité du problème Enclos ............................................. 130

Tableau 35 : Opérationnalisation de la grille avec deux problèmes .................................. 131

Tableau 36 : Liens entre les critères des enseignants, des recherches et du PFEQ ............ 157

LISTE DES FIGURES

Figure 1 : Problème de colis dans le manuel Carrousel ....................................................... 18

............................. 23 Figure 3 : Exemple d'un raisonnement arithmétique de type jeu entre les nombres ............ 24

Figure 4 : Représentation d'un problème de comparaison .................................................... 29

Figure 5 : Exemple et schématisation d'un problème de transformation .............................. 31

Figure 6 : Exemple et schématisation d'un problème de taux .............................................. 32

Figure 7 : Exemple et schématisation d'un problème de mise en égalité ............................. 34

Figure 8 ........................................ 44 ................................. 46 Figure 10 : Représentation d ........................ 48

Figure 11 : Processus de la présente recherche collaborative ............................................... 71

....................................... 75 ...................................... 80 ....... 101

Figure 15 : Catégorisation des critères selon Éric .............................................................. 117

Figure 16 : Catégorisation des critères selon Félix ............................................................. 118

Figure 17 : Schématisation du problème Enfants malades ................................................. 127

Figure 18 : Production d'un élève dans le problème Souvenirs .......................................... 149

Argent de poche .................................. 150 xiv

Figure 20 : Raisonnement de ........ 151

LISTE DES ABRÉVIATIONS, DES SIGLESET DES ACRONYMES C1 Compétence 1 : Résoudre une situation-problème C2 Compétence 2 : Déployer un raisonnement mathématique MEESR

MELS Mini

MEQ Minisbec

NAEP National Assessment of Education Progress

PEI PFEQ

RG1 Première rencontre de groupe

RG2 Deuxième rencontre de groupe

RIE

RIF Rencontre individuelle de Félix

UQAM Université du Québec à Montréal

UQAR Université du Québec à Rimouski

INTRODUCTION

Au Québec et ailleurs dans le monde, les programmes de formation en mathématique mde la résolution de problèmes. Plus précisément, en 2e

année du secondaire, la résolution de problèmes prend une place importante en algèbre dans

(PFEQ) (MELS, 2006), programme qui est teinté par le concept de complexité (Lajoie et Bednarz, 2014, 2016). Plusieurs chercheurs se sont penchés sur la résolution de problèmes

intéressés à analyser les raisonnements mobilisés par les élèves lors de la résolution de

problèmes jugés plus ou moins complexes (Marchand et Bednarz, 2000; Oliveira et Camara, 2011; Oliveira et Rhéaume, 2014; Saboya et al., 2013; Adihou et al., 2015). ont distribué à des élèves pour confirmer une

èmes (Grugeon, 1995; Marchand et

Bednarz, 1999; Saboya et al., 2013) et quelques chercheurs ont développé des outils pour analyser la complexité des problèmes en algèbre dans les manuels scolaires (Bednarz et

Janvier, 1994; Cotnoir, 2010; Antoun, 2012).

à la complexité des problèmes écrits en algèbre, mais sous un angle nouveau, celui des

enseignants. de complexité que les enseignants

écrit en algèbre. Cette étude cherche à donner une voix aux enseignants à travers une

recherche collaborative qui vise la co-construction entre enseignants et chercheure enseignants. Deux enseignants volontaires ont participé à cette recherche à travers la mise en place chercheure est également conseillère pédagogique, des enseignants de mathématique au 2 secondaire. Ainsi, la recherche collaborative est un prolongement conséquent dans le cadre

de ses activités professionnelles. De cette façon, la recherche collaborative permet de

jumeler complexité des problèmes et la formation continue des participants. La présente recherche est divisée en cinq chapitres. Le premier chapitre expose la

problématique dans laquelle est explicité le questionnement de départ de cette recherche qui

chercheure intervenant au premier cycle revue des recherches menées en algèbre permet de situer cette étude parmi celles qui se sont penchées sur la complexité des énoncés de problèmes écrits en algèbre. Dans le deuxième chapitre de ce travail, les critères rapportés par les recherches pour

caractériser la complexité des énoncés de problèmes ainsi que ceux du PFEQ (MELS,

2006) sont décrits, soient la structure relationnelle, le contexte, le type de données fournies

concepts présents dans différents champs mathématiques, le nombre, la nature et . Cet apport permet de situer et de faire un lien entre les critères énoncés par les enseignants et ceux présentés par les recherches.

Comme précisée précédemment, cette étude se situe dans la méthodologie de la

recherche collaborative. Ce type de méthodologie est décrit dans le troisième chapitre ainsi

entrevues individuelles avec chacun des enseignants et deux rencontres de groupe. rencontres de groupe. Les critères de complexité qui ont émergé lors alyse co-construite entre chercheure et enseignants.

Des liens avec les critères énoncés par les recherches et le PFEQ (MELS, 2006) sont tissés.

De plus, cette grille est

3 Finalement, la négociation et la co-construction de certains critères de complexité sont analysées à travers un épisode important. Cette analyse permet dans le cinquième chapitre de discuter de quatre aspects. Le

premier aspect porte sur les critères de complexité dégagés dans le quatrième chapitre. Le

second concerne les différents rôles adoptés par la chercheure et aussi conseillère

pédagogique lors des rencontres de groupe. Troisièmement, une discussion est également menée autour du développement professionnel des trois participants comme une des retombées de cette recherche collaborative. Finalement, des pistes sont proposées sur la

démarche de résolution de problèmes, thème qui se dégage des discussions entre les trois

participants.

CHAPITRE 1

PROBLÉMATIQUE

Dans ce premier chapitre est circonscrite la problématique de cette recherche qui aux critères permettant de se prononcer sur la complexité des énoncés de

problèmes écrits en algèbre, critères qui émergent à la croisée de la pratique enseignante et

de la recherche. Dans une première section est exposée de cette recherche qui repose sur expérience professionnelle de la chercheure. Par la suite, est décrit l de la résolution de problèmes dans dans les programmes scolaires, notamment au Québec, ainsi que la résolution de problèmes en algèbre au premier cycle du secondaire, contenu ciblé dans ce travail. Finalement, la dernière section tion vise

à la

formulation des objectifs et des questions de recherche qui guident cette étude.

1.1 ORIGINE DU QUESTIONNEMENT DE RECHERCHE

Le questionnement de cette recherche expérience de la chercheure en

tant que conseillère pédagogique en mathématique au secondaire depuis six années. Dans le

cadre de ses fonctions professionnelles, elle a collaboré avec plusieurs enseignants sur différents projets, notamment da en algèbre. De plus, elle participe au projet de formation continue subventionné par le Chantier 7 (2014-2018), au premier cycle du secondaire, grande région de Québec. Ce projet est dirigé par Mélanie Tremblay (UQAR) et Mireille 5 Saboya (UQAM). Certains de ces objectifs font particulièrement écho aux intentions de la présente recherche, soient développer, chez les enseignants, leurs compétences dans leur ressources didactiques mises à leur disposition, orchestrer davantage la transition entre algèbre. Parmi les constats exprimés par les enseignants y participant, on retient PFEQ (MELS, 2006), les élèves semblent éprouver plus de difficultés en résolution de problèmes. Ils expliquent cela

complexité et de la variété des problèmes proposés, diversité et complexité que prône le

PFEQ (MELS, 2006). Les participants du projet soulignent spécifiquement les difficultés des élèves dans la résolution de problèmes en algèbre. Ils

écrits concernant la complexité.

Ainsi, lors de discussions entre conseillère pédagogique et enseignants sur les en algèbre, les enseignants

évoquent déjà, par leur expérience, différents critères comme la longueur du texte, la

présence de certains mots " difficiles » pour les élèves et les concepts mathématiques en

jeu. Par exemple, la présence des mots comme " trois de plus »

dans un problème sont des éléments difficiles pour les élèves. Un autre critère qui guide les

le nombre détapes, souventquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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