[PDF] Mesures et Intégration 30 avr. 2008 Definition 4.

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Mesures et Intégration

Marc Troyanov - EPFL - Octobre 2005

30 avril 2008

Ce document contient les notes du cours de Mesure et Intégration enseigné à l"EPFL par Marc

Troyanov, version 2005-2006.

Table des matières

1 Le problème de Borel-Lebesgue 3

2 Présentation rapide de la mesure de Lebesgue surR5

3 Familles d"ensembles 6

4 Anneaux et algèbres d"ensembles 9

5 Autres types de familles d"ensembles 11

6 Tribu engendrée par une famille d"ensembles 13

7 Espaces Mesurés 14

8 Applications mesurables et mesures images 18

9 Mesure extérieure et théorème de Carathéodory 19

10 Constructions de mesures extérieures 24

11 La mesure de Lebesgue 26

11.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

11.2 Un ensemble non-mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

12 Unicité selon Dynkin 29

13 Unicité de la mesure de Lebesgue 31

14 Régularité des mesures 33

15 La mesure de Hausdorff 34

16 Fonctions et applications mesurables 37

17 Le théorème d"Egorov * 411

18 Sommation des fonctions simples non négatives 43

19 Intégration des fonctions mesurables positives 45

20 Intégration des fonctions à valeurs réelles (et complexes) 50

21 Le théorème de convergence dominée de Lebesgue 53

22 L"intégrale de Riemann 56

23 Les intégrales impropres 59

24 Intégrales dépendant d"un paramètre 60

25 Quelques inégalités importantes 63

25.1 L"inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

25.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

25.3 L"inégalité de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

25.5 L"inégalité de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

26 L"espaceLp(X,A,μ)67

26.1 L"espaceL∞(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

26.2 Une application aux séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

27 Mesure produit et théorème de Fubini 71

28 Changement de variables dans les intégrales 74

29 Intégration sur la sphère et intégration polaire surRn77

c?marc.troyanov epfl)2

Première partie : Théorie de la mesure

1 Le problème de Borel-Lebesgue

Dans l"introduction de sa thèse intituléeIntégrale, Longueur, Aireet soutenue à Paris en

1902, Henri Lebesgue écrit :Dans l"étude des questions relatives à la théorie des fonctions de

variables réelles on reconnaît souvent qu"il serait commode de pouvoir attacher aux ensembles de points des nombres jouissants de certaines des propriétés des longueurs des segments ou

des aires des polygones. On a proposé différentes définitions de ces nombres que l"on appelle

les mesures des ensembles; celle qui a été le plus souvent adoptée se trouve exposées dans le

livre de Mr Jordan 1. Dans le premier chapitre je définis, avec Mr Borel

2, la mesure d"un ensemble par ses propriétés

essentielles. Après avoir complété les indications un peu rapides que donne Mr Borel, j"indique

quelles relations il y a, entre la mesure ainsi définie et la mesure de Mr Jordan. La définition

que j"adopte s"applique aux espaces à plusieurs dimensions. Puis, au début du premier chapitre, il formule le problème de la façon suivante :Nous nous proposons d"attacher à chaque ensemble borné un nombre positif ou nul que nous appellerons

sa mesure et satisfaisant aux conditions suivantes :1.Il existe des ensembles dont la mesure n"est pas nulle.

2.Deux ensembles égaux ont même mesure.

3.La mesure d"une somme d"un nombre fini ou d"une infinité dénombrable d"ensembles, sans

points communs, deux à deux, est la somme des mesures de ces ensembles. Faisons quelques commentaires. Lebesgue ne le dit pas explicitement, mais les ensembles considérés sont des parties deRn. Dans la condition (2.) le mot "égal" signifiecongru(ou isométrique), Lebesgue demande que la mesure soit invariante par translations et rotations. Dans la condition (3), le mot "somme" signifieunion, il est demandé que la mesure d"une réunion disjointe dénombrable de partiesRnde est la somme des mesures de ces parties. On

appelle cette condition laσ-additivité de la mesure; c"est l"une des nouveauté introduite par

Borel (Jordan ne ne demandait l"additivité que pour des réunions finies d"ensembles disjoints).

En termes modernes, nous énonçons le problème de Borel-Lebesgue de la façon suivante :

Problème de Borel-Lebesgue.

A)Démontrer l"existence d"une fonction

λ:P(Rn)→[0,∞]

ayant les propriétés suivantes :(i.)Invariance par translation : Pour tout vecteur

-→v?Rnon a :λ(A+-→v) =λ(A);(ii.)σ-additivité : Si{Aj}j?N? P(Rn)est une suite d"ensembles deux à deux disjoints, alors

j=1A j) j=1λ(Aj);(iii.)Normalisation :λ([0,1]n) = 1.

B)Prouver l"unicité d"une telle fonction.1

voir [7]; un exposé moderne de la notion de volume au sens de Jordan peut se lire au début du chapitre

6 de [14].

2voir [2]3

RemarqueLa condition deσ-additivité entraîne queλ(∅) = 0et

λ(A?B) =λ(A) +λ(B)-λ(A∩B).

Pour résoudre le problème de Borel-Lebesgue, il faut une description de l"ensembleP(Rn)des parties deRn. Le cadre pour une telle description est l"axiomatique de Zermelo-Fraenkel de la théorie des ensembles (1922). On a en particulier l"axiome du choix que nous énonçons sous la forme suivante : Axiome du choixSoit{Ai}i?I? P(X)une collection de sous-ensembles non vides deux à deux disjoints d"un ensemble X. Alors on peut former un nouveau sous-ensembleC?Xtel que pour touti?I,Ai∩Cest un singleton. Vitali a démontré en 1905 en se basant sur l"axiome du choix que le problème de Borel- Lebesgue n"a pas de solution. Il faut donc affaiblir le problème de Borel-Lebesgue. On propose ici trois variantes : Variante I : On laisse tomber laσ-additivité

Le problème devient alors : Construire une fonctionλ:P(Rn)→[0,∞]telle que(i.)λest invariante par translation;(ii.)λest additive, i.e.λ(A?B) =λ(A) +λ(B)-λ(A∩B);(iii.)λest normalisée, i.e.λ([0;1]n) = 1.

Hausdorff, Tarski et Banach ont démontré que ce problème admet une solution sin= 1ou n= 2et aucune sin≥3.4 Variante II : On remplace laσ-additivité par laσ-sous-additivité Le problème devient alors : Construireλ?:P(Rn)→[0,∞]telle que(i.)λ ?est invariante par translation;(ii.)λ ?estσ-sous-additive, i.e. pour toute suite{Ai}i?I? P(Rn), on a i=1A i=1λ ?(Ai);(iii.)λ ?est normalisée. On montrera que ce problème admet une solution uniqueλ?qui s"appelle lamesure extérieure de Lebesgue. Variante III : On définitλnon pas surP(Rn)mais sur une famille plus petite

A ? P(Rn).

Plus précisément, il s"agit de se donner une collection d"ensemblesA ? P(X)vérifiant les conditions suivantes

3:(a.)∅,X? A(b.)A? A ?Ac:=X\A? A(c.){Ai}i?N? A ?A=∞?

i=1A i? A(d.)Acontient tous lesn-rectangles compacts, i.e. tous les ensembles du type

R= [a1;b1]×...×[an;bn]?Rn.

Le problème est maintenant de construireλ:A →R

+telle que(i.)λest invariante par translation(ii.)λestσ-additive : si{Ai}i?N? Aet lesAisont deux à deux disjoints alors

i=1A i) =∞? i=1λ(Ai)(iii.)λest normalisée. On démontrera que ce problème admet une solution unique. La mesureλ:A →Rest appelée lamesure de Lebesgueou deBorel-Lebesgue.

2 Présentation rapide de la mesure de Lebesgue surR

par ?(A) := inf? i=1(bi-ai)??A?∞? i=1(ai,bi)?3

Une collection d"ensemblesA ? P(X)s"appelle unetribuouσ-algèbresi elle vérifie les conditions (a),(b)

et (c).5 Il est clair queλ?(∅) = 0, plus généralement,λ?(A) = 0pour tout ensembleAfini ou dénombrable. Une autre propriété importante est laσ-sous-additivité : i=1A i=1λ ?(Ai) On définit également lamesure intérieure de Lebesgueλ?(A)d"un ensembleA?R: siAest borné, on pose ?(A) := (b-a)-λ?((a,b)\A)

où(a,b)est un intervalle contenantA(cette définition est indépendante du choix de l"intervalle

(a,b)?A); dans le cas général, on poseλ?(A) := supk?Nλ?(A∩[-k,k]).Definition 2.1L"ensembleA?Restmesurable au sens de Lebesguesiλ?(A) =λ?(A).

On noteL ? P(R)la famille de toutes les parties mesurables deR; siA? L, on note

λ(A) :=λ?(A) =λ?(A).

Les propriétés principales deLetλsont énoncées dans le théorème ci-dessous :Théorème 2.11.)Tout intervalle deRest mesurable, tout ensemble ouvert ou fermé deR

est mesurable.2.)SiA? L, alorsAc? L. Si{Ai}i?N? L, alors?∞ i=1Ai? Let?∞

i=1Ai? L.3.)SiI?Rest un intervalle, alorsλ(I)est la longueur deI.4.)λ(A) = 0pour tout ensembleAfini ou dénombrable.5.)λestσ-additif : si{Ai}i?N? Lest une suite dont les éléments sont deux à deux disjoints,

alorsλ(∞? i=1A i) =∞? i=1λ(Ai).6.)Si{Ai}i?N? LetA1?A2? ···, alorsλ(∞? i=1A

i) = limi→∞λ(Ai).7.)Si{Ai}i?N? LetA1?A2? ···, etλ(A1)<∞alorsλ(∞?

i=1A

i) = limi→∞λ?(Ai).8.)SiA? Let siλ(A)<∞, alors pour toutε >0, il existe un ouvertU?Ret un fermé

F?Rtels que

Les différentes assertions de ce théorème seront démontrées dans les prochains paragraphes.3 Familles d"ensembles

SiXest un ensemble on noteP(X)(ou quelquefois2X) l"ensemble de tous les sous-ensembles deX; unefamille(ou unecollection) de parties deXest simplement un sous-ensemble de P(X)(et donc un élément deP(P(X))). Une collectionC ? P(X)est souvent indicée (par un ensemble d"indicesIquelconque), on note alors

C={Ai}i?I6

chaqueAiétant une partie deX. L"ensembleP(X)est ordonné par l"inclusion, rappelons que

A?B?[x?A?x?B],

on a en particulier∅ ?A?Xpour toutA? P(X). L"ensembleP(X)est non seulement ordonné, mais il est aussi muni de plusieurs opérations appeléesopérations booléennes:

1) Lecomplémentaired"un élémentA? P(X)est l"ensembleAcdéfini par

x?Ac?x /?A. Observer queXc=∅,∅c=Xet queAcc=Apour toutA? P(X).

2) Laréuniond"une collectionC={Ai}i?I? P(X)est l"ensemble

?C=? i?IA i:=?x?X???i?I:x?Ai?. LorsqueCest une collection finie :C:={A1,A2,...,An}on note la réunion ?C=A1?A2?...?An.

3) L"intersectiond"une collectionC={Ai}i?I? P(X)est l"ensemble

?C=? i?IA i:=?x?X??x?Ai?i?I?. LorsqueCest une collection finie :C:={A1,A2,...,An}on note l"intersection ?C=A1∩A2∩...∩An.

4) Ladifférencede deux ensemblesA,B? P(X)est l"ensemble

A\B:=A∩Bc=?x?A??x /?B?.

5) Ladifférence symétriquedeAetB? P(X)est l"ensemble

A?B:= (A\B)?(B\A) = (A?B)\(B∩A).

Observer queA?A=∅,A?∅=AetA?X=Ac.Lemme 3.1(Lois de dualités de DeMorgan) La complémentation échange les opérations de

réunion et d"intersection : i?IA i? c i?IA ciet?? i?IA i? c i?IA ci7 Remarque :On admet par convention que siI=∅, alors on a : i?IA i=Xet? i?IA i=∅ Ainsi les lois de De Morgan sont encore vraies siI=∅. DéfinitionsUnesuite de parties deXest simplement une collection de sous-ensembles {Ai}i?N? P(X)indicée par les entiers naturels. La suite est ditemonotonesi pour tout entierion a ou bienAi?Ai+1(suite monotone croissante) ou bienAi?Ai+1(suite mono- tone décroissante). On dit que la suite estdisjointesi ses éléments sont deux à deux disjoints

Lalimited"une suite monotone est définie par

limAi:=? i?NAquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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