[PDF] Cours dAnalyse Semestre 1 Il existe une caractérisation

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Cours d'Analyse

Semestre 1

Stephane Attal

2

Contents

1 Les nombres reels 5

1.1 Les ensembles usuels de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Ensembles ordonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Le corps des nombres reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Densite deQ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Racinesn-iemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.6 Valeurs absolues, parties entieres . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Les suites 15

2.1 Le raisonnement par recurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Les suites, suites particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Resolution des suitesun+2=aun+1+bun. . . . . . . . . . . . 18

2.4 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Proprietes des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Sous-suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.7 liminf et limsup (hors programme) . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 Le critere de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.9 Les suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.10 Approximation des reels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.11 Questions de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Fonctions d'une variable reelle 37

3.1 Denitions de base, terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.1 Fonctions anes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2.2 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.3 Valeur absolue et partie entiere . . . . . . . . . . . . . 45

3.2.4 Autres fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4 Proprietes des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3

4CONTENTS

3.5 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6 Theoremes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.7 Monotonie et continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.8 Retour sur exp, ln et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.9 Comparaison de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.10 Equivalence de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.11 Derivabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.12 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.13 Theoremes fondamentaux de la derivation . . . . . . . . . . . 68

4 Equations dierentielles 73

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Equations lineaires d'ordre 1, sans second membre . . . . . . . 74

4.3 Equations lineaires d'ordre 1, avec second membre . . . . . . . 75

4.4 Trouver des solutions particulieres . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5 Fonctions circulaires et hyperboliques 79

5.1 Fonctions circulaires reciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.1 Arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.2 Arcsin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.1.3 Arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.1.4 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.2 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3 Fonctions hyperboliques reciproques . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.1 Argch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.2 Argsh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3.3 Argth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.3.4 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

Chapter 1

Les nombres reels

1.1 Les ensembles usuels de nombres

On rappelle les notations usuelles pour les ensembles de nombres : Nest l'ensemble des entiers naturels positifsf0;1;2;:::g, Zest l'ensemble des entiers relatifsf:::;2;1;0;1;2;:::g, Qest l'ensemble des rationnels, i.e. l'ensembles des fractions ab aveca2Zetb2Nn f0g. Pour chacun de ces ensembles, l'ajout designie que l'on exclut 0 de l'ensemble :N,Z,Q. Q +est l'ensemble des rationnels positifs. L'ensembleQest un ensemble deja bien fourni de nombres. Par exemple, entre deux rationnelsq < pquelconques il y a une innite de rationnels. En eetp0= (p+q)=2 est rationnel encore et verieq < p0< p. Ainsi de suite on peut en construire une innite entreqetp. Avec cette remarque, on voit qu'aucun rationnelq2Qn'admet de \suiv- ant" dansQ. En eet, si on regarde l'ensemble

A=fp2Q;p > qg

alorsAn'a pas de plus petit element. En eet, sinon cet elementpverie q < pet on peut construireq < p0< pet contredire le fait quepest le plus petit. Une autre facon de dire la m^eme chose : dans n'importe quel intervalle (rationnel) autour d'un rationnelqil y a une innite de rationnels. 5

6CHAPTER 1. LES NOMBRES REELS

Et pourtant les rationnels sont loins d'^etre susants, la diagonale d'un carre de c^ote 1 mesurep2 qui n'est pas un rationnel. C'est un resultat qui avait deja ete remarque en Grece antique. Demontrons-le. Sip2 est un rationnela=b, que l'on peut toujours supposer ^etre sous forme reduite, i.e. sans diviseur commun. On aa2b 2= 2 donca2= 2b2. Ainsia2est pair, ce qui implique queaest pair (le carre d'un impair est impair). Donca= 2k, ce qui donneb2= 2k2etbest pair aussi. Ce qui contredit l'hypothese initiale de primalite entreaetb. Doncp2 n'est pas rationnel. C'est d'ailleurs le cas de toutes les racines carrees qui ne sont pas des entiers (non demontre ici, exercice pour les plus motives). Une autre facon de dire la m^eme chose est de considerer l'ensemble

B=fq2Q;q2<2g:

C'est un sous-ensemble deQ, il est borne a droite (par exemple par 3/2), mais pourtant il n'a pas de plus grand element. Montrons le. En eet, si q2 B, alors de deux choses l'une, soitqest plus petit que 1 auquel cas il est facile de trouver un element dansBqui soit plus grand (par exemple 5=4), soitqest plus grand que 1. Dans ce cas, posons "=2q23q: Alors"est rationnel, positif et plus petit queq. Calculons (q+")2, on trouve q

2+ 2"q+"2

qui est strictement plus petit que q

2+ 3q";

c'est a dire que 2. Donc a tout element deBon sait associer un element plus grand, toujours dansB. Il n'y a pas de plus grand element dansB. C'est ce genre de \trous" dans l'ensembleQque l'on cherche a combler avec l'ensemble des reelsR.

1.2 Ensembles ordonnes

On dit qu'un ensembleXestordonnes'il est muni d'une relation, entre elements deXqui satisfait

1.2. ENSEMBLES ORDONN

ES7 i)xx, pour toutx2X, ii) sixyetyxalorsx=y, iii) sixyetyz, alorsxz.

Ensuite on utilise des notations evidentes comme

xypouryx x < ypourxyetx6=y etc. Par exempleQavec la relation usuelleest un ensemble ordonne. Mais aussi l'ensembleP(E) de toutes les parties deE, muni de l'inclusion d'ensemble est un ensemble ordonne aussi. On dit qu'un ensemble ordonneXest muni d'unordre totalsi tous les elements deXsont comparables : \pour toutx;y2Xon axyou bienyx." C'est le cas pour (Q;), mais ce n'est pas le cas pour (P(E);). SoitXun ensemble ordonne etAXune partie deX. UnmajorantdeA est un elementm2Xtel queampour touta2A. Si le sous-ensemble Aadmet un majorant, ce qui n'est pas toujours le cas, on dit queAest borne superieurement, ou queAestmajore. De m^eme unminorantdeAest un elementn2Xtel queanpour touta2A. Si le sous-ensembleA admet un minorant, ce qui n'est pas toujours le cas, on dit queAestborne inferieurement, ou queAestminore. On dit queAadmet un elementmaximals'il admet un majorant qui appartient aA. Autrement dit s'il existea02Atel queaa0pour tout a2A. Un tela0est forcement unique (exercice), on le note maxA. De m^eme on dit queAadmet un elementminimals'il admet un minorant qui appartient aA. Autrement dit s'il existea12Atel queaa1pour tout a2A. Un tela1est forcement unique (exercice), on le note minA. Enn, on note supA, le plus petit des majorants deA, s'il existe. De m^eme, on note infAle plus grand des minorants deA, s'il existe. Notez que supAest encore un majorant deAet que infAest encore un minorant de A. Notez que supAn'a aucune raison d'^etre un element deA, si c'est le cas on a forcement supA= maxA(exercice).

Voyons quelques exemples, dans le casX=Q.

Dans le casA=]1;1]. Cet ensemble est majore et minore. On a maxA= 1, pas de min, on a supA= 1 et infA=1. Dans le casA= [2;+1[. Cet ensemble est minore, mais pas majore. On a pas de max, mais minA= 2, on a pas de sup et infA= 2.

8CHAPTER 1. LES NOMBRES REELS

Pour le casA=fq2Q;q2<2g, cet ensemble est majore mais pas minore. Il n'a pas de max, pas de min, pas de sup, pas de inf.

1.3 Le corps des nombres reels

Theoreme 1.3.1 (Fondamental)Il existe un corpsRtotalement ordonne, qui contientQet qui a la propriete que toute partie non vide majoree admet une borne superieure. Rappelons que parcorpson entend queRest muni d'une addition + et d'une multiplication:internes telles que : l'addition est commutative, associative, d'element neutre 0 et inversible : a+b=b+a a+ (b+c) = (a+b) +c a+ 0 =a

8a2R;9 a2R;a+ (a) = 0;

la multiplication est commutative, associative, d'element neutre 1, in- versible (sauf pour 0) : ab=ba a(bc) = (ab)c 1:a=a

8a2R;9a12R;a:(a1) = 1;

la multiplication est distributive sur l'addition : a(b+c) =ab+ac: La construction deRet la preuve du theoreme est extremement longue, nous ne la ferons pas. L'essentiel est de retenir que dansR, toute partie non vide majoree admet un sup. On en deduit facilement que toute partie non vide minoree admet un inf (exercice). Ce n'etait pas le cas deQ, comme on l'a vu dans l'exemple 3. DansRon a par exemple, si

A=fx2R;x2<2g

alors supA=p2. C'est une propriete assez forte en fait, elle dit en gros que pour tout sous- ensembleAdeR, si on a une \accumulation" des points deAalors la \limite"

1.4. DENSIT

E DEQ9

de ces points est encore dansR. On pourra dire les choses plus precisement quand on parlera de suites de Cauchy, mais pour le moment on reste vague comme ca. Revenons a notre ensemblerA=fq2Q+;q2<2g. C'est facile de voir que les points deAs'accumulent a droite : on peut fabriquer facilement une suite d'elements (un) deAtels queunumtend vers 0, quandnetm tendent vers +1, pourtant il n'y a pas d'element limite dansQau bout. En fait la construction deRconsiste en gros a rajouter tous ces elements limites qui manquent aQ.

1.4 Densite deQ

Cette propriete d'existence du sup dansRa beaucoup de consequences tres importantes. Theoreme 1.4.1 (Rest archimedien)Soientx;y2R, avecx >0. Alors il existen2Ntel quenx > y. DemonstrationSoitA=fnx;n2Ng. Si la propriete ci-dessus n'etait pas vraie alorsyserait un majorant deA. DoncAadmettrait un sup dans

R, note.

On ax < , doncxn'est pas un majorant deA. Donc il existe m2Ntel quemx > x. D'ou (m+ 1)x > :

Ce qui contredit que= supA.

Theoreme 1.4.2 (Densite deQ)Pour tousx < y2Ril existeq2Qtel quex < q < y. DemonstrationOn ayx >0, donc par le Theoreme 1.4.1 il existen2N tel que n(yx)>1: De m^eme, par le m^eme theoreme, il existem1;m22Ntels que m2< nx < m1 (nest xe, on cherchem1tel quem11> nx, on fait de m^eme avecnx).

On en deduit qu'il existem2Ntel que

m1nx < m;

10CHAPTER 1. LES NOMBRES REELS

en eet, on regardem=m11, sinx < mon recommence, par contre si mxalors on a gagne.

Ainsi, on a

nx < mnx+ 1< ny d'ou x 0il existe una2Atel que " < a:(1.1) DemonstrationSoit= supA. On a doncapour touta2A. Soit " >0, si on a"apour touta2Aon aurait que"est un majorant deA, ce qui contredirait queest le sup deA. Donc il existe una2Atel que" < a. Inversement si (1.1) est verie, alorsest un majorant deA. Si0< est un majorant deA, alors en prenant"= (0)=2, on sait qu'il existe a2Atel quea > " > 0. Ce qui contredit que0est un majorant. Ainsi est le plus petit des majorants. Une facon simple de comprendre ce resultat est que : { soit supAest un element deA(c'est donc maxA), { soit il est \au bord deA" et les points deAs'accumulent pres de supA.

1.5 Racinesn-iemes

Theoreme 1.5.1 (Racinen-iemes)Pour toutx2R,x >0, pour tout n2N, il existe un uniquey2R,y >0, tel que y n=x:(1.2) DemonstrationTout d'abord l'unicite. Siy16=y2(par exempley1< y2), on ayn16=yn2, (i.e.yn1< yn2). Donc on ne peut pas avoiryn1=yn2=x.

Maintenant l'existence. Soit

B=fr2R;r >0;rn< xg:

1.5. RACINESN-IEMES11

Six <1 alors comme 1n= 1, on a que 1 est un majorant deB. Six1 alorsxnxet doncxest un majorant deB. Dans tous les cas on a montre queBest majore.

Il est aussi vrai queBest non vide, carxx+ 1

n xx+ 1< x:

DoncBadmet un sup, notons ley.

Si on ayn< x, on choisith2]0;1[ tel que

h < xyn(1 +y)nyn:

On a alors

(y+h)n=nX k=0 n k y nkhk =yn+hnX k=1 n k y nkhk1 yn+hnX k=1 n k y nk =yn+h((1 +y)nyn) < x: Ainsiy+hest aussi un element deBetyn'est pas un majorant deB.

Siyn> x, soitk2]0;1[,k < yet

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