Limites asymptotes EXOS CORRIGES
Cours et exercices de mathématiques Déterminer à l'aide des théorèmes de comparaison
I Exercices
de la 1`ere S `a la TS. Chapitre 2 : Limites et asymptotes. II Aide. 2 Limite en l'infini d'un polynôme ou d'une fraction rationnelle. Premi`ere méthode :.
Limites et asymptotes
Limites et asymptotes. I. Limites en l'infini. 1) Limite infinie à l'infini. Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type
5. Études de fonctions
Vous trouverez au § 5.3 un exemple complet qui vous servira d'aide-mémoire. 1. Ensemble de définition. 2. Parité. 3. Signe de la fonction. 4. Asymptotes
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DÉRIVATION
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr 5) Tracer les asymptotes à C puis la courbe C. 6) Vérifier à l'aide de la calculatrice ...
Cours de mathématiques - Exo7
Ainsi dans ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. Écrire à l'aide des quantificateurs la phrase suivante : « Pour tout nombre réel ...
FONCTION INVERSE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr On dit que l'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe de la.
Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés
1) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition En déduire les asymptotes éventuelles 2) Montrer que la courbe représentative de admet la droite d’équation comme asymptote oblique 3) Tracer et ses asymptotes afin de contrôler les résultats obtenus aux questions précédentes
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Chap V :Limites et asymptotes
I. Limites en l"infini
1) Limite infinie à l"infini
Définition 1 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: On dit quefa pour limite+∞en+∞et on notelimx→+∞f(x) = +∞sif(x)est aussi grand que l"on veut dès quexest assez grand ( Lorsqu"on dit grand, on sous-entend positif ). faire le lien avec tableau de variationsExemple :limx→+∞x= +∞;limx→+∞x2= +∞;limx→+∞x3= +∞;limx→+∞⎷x= +∞
On définit de mêmelimx→+∞f(x) =-∞parf(x)est aussi grand dans les négatifs que l"on veut dès
quexest assez grand.On définit encore de manière analoguelimx→-∞f(x) = +∞,limx→-∞f(x) =-∞
(attention toutefois à l"ensemble de définition). Exemple :limx→-∞x=-∞;limx→-∞x2= +∞;limx→-∞x3=-∞2) Limite finie à l"infini
Définition 2 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: On dit quefa pour limite0en+∞et on notelimx→+∞f(x) = 0sif(x)est aussi petit que l"on veut dès quexest assez grand ( Lorsqu"on dit petit, on sous-entend proche de zéro ). On définira de même :limx→-∞f(x) = 0.Exemple :limx→+∞1
x= 0;limx→+∞1x2= 0;limx→+∞1x3= 0;limx→+∞1⎷x= 0Exemple :limx→-∞1
x= 0;limx→-∞1x2= 0;limx→-∞1x3= 0Page 1/5
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On peut à présent définir une limite quelconque en l"infini : Définition 3 :Soitfune fonction définieau moinssur un intervalle du type[a;+∞[: Avoirlimx→+∞f(x) =lest équivalent à avoirlimx→+∞[f(x)-l] = 0 Remarque :limx→+∞f(x) =l?f(x) =l+ε(x)aveclimx→+∞ε(x) = 0. -→démonstration Remarque :Une fonction n"a pas nécessairement de limite (finie ou infinie) lorsquextend vers fdéfinie surRparf(x) = cos(x)n"a de limite ni en-∞ni en+∞.II. Limite en un pointa
1) Limite en0
Définition 4 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: Sif(x)est aussi grand (positif) que l"on veut dès quexest assez proche de0, on dit quefa pour limite+∞en0et on notelimx→0f(x) = +∞. (On définit de mêmelimx→0f(x) =-∞.)Exemple :limx→01
x2= +∞limx→01⎷x= +∞. Remarque :Une fonction peut avoir une limite différente à gauche et à droite de0, on notera alors : lim x→0 x >01 x= +∞etlim x→0 x <01x=-∞ou encorelim x→0 x >01x3= +∞etlim x→0 x <01x3=-∞On note également parfois :lim
x→0+1 x3= +∞. Définition 5 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: Sif(x)est aussi petit que l"on veut (proche de0) dès quexest assez proche de0, on dit quefa pour limite0en0et on notelimx→0f(x) = 0. Exemple :limx→0x= 0;limx→0x2= 0;limx→0x3= 0;limx→0⎷ x= 0 Définition 6 :Soitfune fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en0: On dit quefa pour limitelen0lorsque la fonctionx?→f(x)-la pour limite0 en0. Remarque :On peut traduire mathématiquement cette définition par lim x→0f(x) =l?limx→0?f(x)-l?= 0Page 2/5
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2) Limites ena?R
Définition 7 :Soitfune fonction définie sur un intervalle ouvert ena, on dit quefa une limite enasi la fonctionh?→f(a+h)a une limite en0et alors : lim x→af(x) = limh→0f(a+h)Exemple :On alimx→1?
1 +1 (x-1)2? = lim h→0?1 +1h2?
Remarque :limx→af(x) =l?f(x) =l+ε(x)aveclimx→aε(x) = 0. Remarque :Sia?Dfet silimx→af(x)existe, alorslimx→af(x) =f(a).Exemple :Sia >0,limx→a⎷
x=⎷a.SiPest un polynôme,limx→aP(x) =P(a).
SiRest une fraction rationnelledéfinie ena,limx→aR(x) =R(a).III. Opérations sur les limites
Dans toute cettte partie les limites des fonctionsfetgsont??aux mêmes points??à savoir+∞, -∞oua?R.1) Somme
On a le tableau récapitulatif suivant :
limf(x) =lll+∞-∞+∞ limg(x) =l?+∞-∞+∞-∞-∞ lim?f(x) +g(x)?=l+l?+∞-∞+∞-∞F.I2) Produit
On a le tableau récapitulatif suivant :
limf(x) =ll >0l <0l >0l <0+∞-∞+∞0 limg(x) =l?+∞-∞+∞-∞-∞+∞ou-∞Page 3/5
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3) Quotient
On a le tableau récapitulatif suivant :
limf(x) =+∞-∞±∞l <0ou-∞l >0ou+∞0 limg(x) =l?>0l?<0l?>0l?<0±∞0+0-0+0-0 lim?f(x)g(x)? Remarque :0+(resp.0+) indique que la limite est nulle et que la fonction reste positive (resp. négative). Il y a quatre formes indéterminées :+∞ - ∞;0× ∞;∞ ∞;00 Remarque :Avec ces régles de calcul et quelques transformations on peut trouver n"importe quelle limite. Exemple :On cherchelimx→+∞?x3-3x2+ 4x+ 1?. Si on voit ce polynôme comme une somme de monômes on obtient une F.I. du type +∞ - ∞mais on peut toujours écrirex3-3x2+ 4x+ 1 =x3? 1-3 x+4x2+1x3? aveclimx→+∞x3= +∞etlimx→+∞? 1-3 x+4x2+1x3? = 1-0 + 0 + 0 = 1par somme des limites. On a donc, par produit des limites,limx→+∞?x3-3x2+ 4x+ 1?= +∞vu comme??1×+∞??. -→A faire en TD : cas des polynômes et des fractions rationnelles.IV. Interprétation graphique et asymptotes
1) Asymptote horizontale
Silimx→+∞f(x) =l,
pourMetPles points d"abscissesx, lorsquexprend des valeurs de plus en plus grandes, la distancePMtend vers0:
On dit alors que la droiteDd"équationy=lest
asymptote horizontaleà la courbeCfau voisinage de+∞. Interprétation graphique pourlimx→-∞f(x) =l 01230 1 2 3 4 5 6 7 8
xyx lD Cf PMRemarque :On peut définir de même l"asymptote d"équationy=len-∞silimx→-∞f(x) =l
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2) Asymptote verticale
Silimx→af(x) =±∞,
on dit que la droiteDd"équationx=aest asymptote verticaleà la courbeCf. PetMsont ici les deux points de même ordonnée et la distancePMtend vers zéro lorsque cette ordonnée dePetMtend vers+∞. Interprétation graphique pourlimx→af(x) =-∞ 012340 1 2 3
xyaD CfP M
3) Asymptote oblique
Définition 8 :Soitfune fonction définie sur un intervalle du type[α;+∞[, s"il existe deux réelsa
etbtels quelimx→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0on dira que la droiteDd"équationy=ax+b est asymptote obliqueàCfau voisinage de+∞. Remarque :La méthode de détermination est H.P. On a nécessairementlimx→+∞f(x) = +∞Interprétation graphique, avecPet
Mles deux points d"abscissesx, pour
limx→+∞[f(x)-(ax+b)] = 0 012340 1 2 3 4 5 6 7 8
xyxDCf
PMOn peut de même définir une asymptote oblique au voisinage de-∞silimx→-∞[f(x)-(ax+b)] = 0.
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