[PDF] CALCUL INTÉGRAL 1. Notion dintégrale

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C. Lainé

CALCUL INTÉGRAL

Cours Terminale S

1. Notion d"intégrale

Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle ; ? ?? ?a b.

Soit c

f sa courbe représentative dans le plan muni d"un repère orthogonal () ; , O? ?i j.

Définition 1 : On appelle :

• Unité d"aire (u.a.) : l"aire du rectangle bâti à partir des vecteurs et ? ?i j. • Domaine sous la courbe : domaine délimité par la courbe cf, l"axe des abscisses, et les droites d"équation =x a et =x b ()≠a b .

• Intégrale de f sur ? ?? ?;a b : la mesure de l"aire en u.a. du domaine situé sous la courbe

cf. On la note : ( )d∫ b ax xf, qui se lit " intégrale de a à b de f ». a et b sont appelés les bornes de l"intégrale. Cette notation est due au mathématicien allemand

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 ; 1716

Le symbole ∫

est un S stylisé (initiale de somme) afin de rappeler que l"intégrale peut être obtenue comme limite d"une somme d"aires de rectangles. Ce symbole a été introduit par

Leibniz au XVIIe siècle, mais la notation

b aa été introduite par le français Joseph Fourier (1768 ; 1830). Plus tard, un second mathématicien allemand, Bernhard Riemann (1826 ; 1866) établit une théorie aboutie du calcul intégral. - 2 -

C. Lainé

Exemple : On donne la représentation ci-contre d"une fonction f sur [ ]2 ; 3-, ainsi que les mesures : OI = 2 cm et OJ = 3 cm.

Calculer

( )d 3

2-∫x xf, puis en déduire l"aire en cm2 de la

partie grisée.

Une unité d"aire correspond à un rectangle. Or il y en a 7 " entiers », une moitié de rectangle

et deux morceaux (à droite) qui forment un rectangle " entier ».

Par conséquent,

( )d 3

28,5-=∫x xf.

Or

21 u.a. 2 3 6 cm= × = et 8,5 6 51× =, donc l"aire de la surface grisée est égale à 51 cm2.

Remarques : •

( )dx xf est l"aire d"un rectangle de dimensions ( )xf et dx. • La variable x est dite muette et peut être remplacée par n"importe quelle lettre : ( ) ( ) ( )d d d= =∫ ∫ ∫ b b b a a ax x t t u uf f f.

2. Exemple de calcul d"intégrale

Calculer l"intégrale de la fonction carrée sur [ ]0 ; 1. a) Dans un repère orthonormé ( ) ; , O? ?i j, c est la courbe qui représente la fonction f définie sur [ ]0 ; 1 par ( )2=x xf. d est le domaine situé sous la courbe c. On choisit de prendre l"aire du carré OIKJ pour unité d"aire et on se propose de déterminer l"aire a de d. Pour cela : • on subdivise l"intervalle [ ]0 ; 1 en n intervalles de longueur 1 n avec n ? ?* ; • sur chaque intervalle hauteur

2( )( )( )k

n et le rectangle R"k de hauteur

21+( )( )( )k

n. a) On note un la somme des aires des rectangles Rk et vn la somme des aires des rectangles R" k.

Donc :

2 2 222 2

31 1 2 1 1... 1 2 ... 1? ?-( ) ( ) ( )= + + + = + + + -? ?( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )? ?? ?

nnunn n n nn. - 3 -

C. Lainé

On peut montrer par récurrence que 2 2 2( 1)(2 1)1 2 ...6+ ++ + + =n n nn. Donc 2 ( 1)(2 1) 6 - -=nn nun.

De même,

2 2 2 2 2 2 3

1 1 2 1... 1 2 ...? ?( ) ( ) ( )= + + + = + + +? ?( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )? ?? ?

nnvnn n n nn. Donc 2 ( 1)(2 1) 1 6 + += = +n nn nv unn.

On en déduit que :

b) Calculer à l"aide d"un algorithme les valeurs de un et vn lorsque n prend les valeurs : 5 ;

10 ; 20 ; 100

Entrée

Saisir les réels a et b

Saisir l"entier

n

Initialisation

Affecter à

k la valeur ()/-b a n

Affecter à

x la valeur a

Affecter à

u la valeur 0

Affecter à

v la valeur 0

Traitement des données

Pour i allant de 0 à n-1 Faire

Affecter à

u la valeur ()+ ×u k xf

Affecter à

x la valeur +x k

Affecter à

v la valeur ()+ ×v k xf

Fin pour

Sortie

Afficher

u et v ou

Entrée

Lire l"entier n

Initialisation

Affecter à

u la valeur 0

Traitement des données

Pour i allant de 1 à n-1 Faire

Affecter à

u la valeur 2 3+kun

Fin pour

Affecter à

v la valeur 1+un

Sortie

Afficher

u et v

On obtient les résultats suivants :

n u v

Il semble que les suites ()nu et ()nv

convergent vers 0,333. 5 0,240 0,440

10 0,285 0,385

20 0,308 0,359

100 0,328 0,339

c) Montrer que ces suites convergent. 2 2 ( 1)(2 1) 1 1 1

3 26 6

- -= = - +nn nunn n et 2

1 1 1 1

36= + = - +n nv un nn.

Or

1lim 0→+∞=nn et 21lim 0→+∞=nn, alors 1lim3→+∞=nnu et 1lim3→+∞=nnv (par produit et somme de

limites). - 4 -

C. Lainé

3=a, et par

suite, d 12 01

3=∫x x.

e) Utilisation de la calculatrice TI 83

Graph 85

TI nspire

ou - 5 -

C. Lainé

3. Fonction définie par une intégrale

Théorème 1 : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle ; ? ?? ?a b. La fonction F définie sur ; ? ?? ?a b par ( ) ( )d=∫ x ax t tF f est dérivable sur ; ? ?? ?a b et sa dérivée est la fonction f. Démonstration dans le cas où f est positive et croissante : Soit

0 ; ?? ?? ?x a b et h un réel non

nul tel que ( )0 ; + ?? ?? ?x h a b. Si

0h> : Par définition, ( )( ) ( ) ( )d d

0 0 0 0 x h x a ax h x t t t tF F f f.

Par suite,

()()0 0+ -x h xF F est l"aire de la partie grisée ci-contre. Comme f est croissante, cette aire est comprise entre les aires des rectangles

ABFE et ABCD.

Or l"aire du rectangle ABCD est égale à

()0×h xf, et celle du rectangle ABCD est

égale à

( )0× +h x hf.

On en déduit alors que :

Comme 0>h, on obtient : ( )( )( )( )0 0

Or f est continue sur

; ? ?? ?a b, donc en 0x, alors ( )( )0 00lim →+ =hx h xf f. Donc, d"après le théorème des gendarmes, on en déduit que 0 0

00lim →

h x h xxhF Ff Si

0h< : par un raisonnement analogue, on obtient :

Comme

0- >h, alors ( )( )( )( )0 0

( )( )( )( )0 0 0 0

00lim →

h x h xxhF Ff. Finalement, f est dérivable pour tout

0 de ; ? ?? ?x a b, et ( ) ( )0 0′=x xF f.

4. Primitives d"une fonction continue

1) Définition et propriétés

Soit les fonctions f et g définies respectivement par ( )2 1= +fx x et ( )25= + +gx x x. - 6 -

C. Lainé

On remarque que, pour tout réel x, ()()′=g fx x.

On dit que g est une primitive de f sur

R.

Définition 2 : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I,

toute fonction F dérivable sur I dont la dérivée F" est égale à f. Remarque : Dans l"exemple précédent, la fonction h définie sur R par ()2= +hx x x

est également une primitive de f sur R. Plus généralement, si C est une constante réelle, la

fonction h définie sur R par ()2= + +hCx x x est une primitive de f sur R. Une fonction n"a pas une seule primitive.

Propriété 1 : Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors toute primitive de f sur I

est de la forme +FC où C est une fonction constante sur I.

Démonstration :

• Si F est une primitive de f sur I, alors la fonction G définie par ()()= +G FCx x où C est

une fonction constante sur I, vérifie : ()()()0′ ′= + =G F fx x x.

Donc G est une primitive de f sur I.

• Réciproquement, si F et G sont deux primitives de f sur I, considérons la fonction -G F dérivable sur I.

Elle vérifie, pour tout élément

x de I :

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )0′′ ′ ′ ′- = - = - = - =G F G F G F f fx x x x x x.

Donc - =G FC sur I, où C est une fonction constante, c"est-à-dire pour tout élément x de I, ()()= +G FCx x. Exemple : La fonction sinus est une primitive sur R de la fonction cosinus, alors toute primitive G de la fonction cosinus sur R vérifie : ()sin= +GCx x, où C est un nombre réel. Remarque : L"hypothèse I est un intervalle est fondamentale. En effet, soit les fonctions F et G définies sur R * par : ( )1=Fxx et ( )

11 si 0

11 si 0

?G G x xx x x x

Sur chacun des intervalles

][ ; 0-∞ et ][0 ;+ ∞ , F et G ont même fonction dérivée f : 2

1-?xx , mais il n"existe pas de fonction constante C telle que, pour tout x de R *,

()()= +G FCx x.

Propriété 2 : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, x0 un nombre réel de I et y0 un

nombre réel. Il existe une et une seule primitive de F de f vérifiant ()0 0=Fx y. Démonstration : • Unicité : soit G une primitive de f sur I. Les primitives de f sont de la forme ()()= +F GCx x, C étant un nombre réel. ()0 0=Fx y, donc ()0 0= -GCy xet F est déterminée de manière unique par : ()()()0 0= + -F G Gx x y x. • Existence : soit G une primitive de f sur I. - 7 -

C. Lainé

La fonction F définie par ()()()0 0= + -F G Gx x y x convient car ()()()′ ′= =F G fx x x et

()()()0 0 0 0 0= + - =F G Gx x y x y.

Exemple : Déterminons la primitive de f :

cos?x x prenant la valeur 2 en 2 Nous savons que les primitives sur R de f sont de la forme F : sin+?Cx x. Comme

22π

( )- =( )( )F, sin 22π ( )- + =( )( )C. D"où, C = 3 et ()sin 3= +Fx x. Théorème 2 : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Démonstration dans le cas où f est définie sur [a ; b] et f admet un minimum m sur [a ; b]. :

La fonction g : ()-?fx x m est continue et positive sur I. D"après le théorème 1, elle admet une primitive G sur ; ? ?? ?a b, telle que ()()()′= = -G g fx x x m. Posons

()()= +F Gx x mx ; et F est dérivable sur ; ? ?? ?a b, de plus ()()()′ ′= + =F G fx x m x. C"est

donc une primitive de f sur [a; b]. Remarque : La forme explicite d"une primitive n"est pas toujours connue malgré le fait que son existence soit assurée par le théorème précédent.. Par exemple, la fonction

2-?xx ene

possède pas de primitive sous une forme explicite.

2) Tableaux des primitives

Les résultats du tableau suivant sont obtenus à partir des dérivées connues. C désigne une

constante quelconque.

Fonction Primitives Intervalle I

()=fx k (k constante réelle) ()= +FCx kx R ()=fnx x n ? Z* - {-1} ( )11

1+= ++FnCx xn R *

( )1=fxx ()2= +FCxx ][0 ;+ ∞ ( )1=fxx ()ln= +FCx x ][0 ;+ ∞ ()=fxx e ()= +FxCx e R ()sin=fx x ()cos= - +FCx x R ()()sin= +fx ax b ()0≠a ( )( )1cos= - + +FCx ax ba R ()cos=fx x ()sin= +FCx x R ()()cos= +fx ax b ()0≠a ( )( )1sin= + +FCx ax ba R ( )2

211 tancos= + =fx xx ()tan= +FCx x R - ; 2π? ?? ?? ??Zk k

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C. Lainé

Application : f est une fonction définie sur R. Trouver dans chacun des cas suivants les primitives de f : f(x) = 2 ; f(x) = x ; f(x) = cos(2x-πquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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