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femto-physique.fr/optiqueCours d"optique ondulatoire -femto-physique.fr JIMMYROUSSEL, professeur agrégé à l"Ecole Nationale Supérieure de Chimie de
Rennes
Copyright© 2021 Jimmy Roussel
Ce document est sous licenceCreative Commons"Attribution - Pas d"Utilisation Commerciale 3.0 non transposé (CC BY-NC 3.0)».Pour plus d"informations :
cr eativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/ Ce document est réalisé avec l"aide deKOMA-ScriptetL ATEXen utilisant la classe kaobook 1 reédition -Février 2013Version en ligne -femto-physique.fr/optique
PréfaceCe cours d"optique se concentre sur les aspects ondulatoires de la lumière. Un exposé
de la théorie scalaire de la lumière associée au principe d"Huygens-Fresnel permet de décrire très correctement les phénomènes d"interférence et de diffraction. Ce cours est à destination d"étudiants en fin de Licence ou en École d"ingénieurs. Certaines parties peuvent néanmoins intéresser les élèves des CPGE scientifiques. J"ai essayé le plus possible d"illustrer les différentes notions par des exemples ou de simples exercices. Mais pour un entraînement plus poussé, j"invite le lecteur à se procurer l"eBook •Optique ondulatoire - 50 exercices et problèmes corrigés; disponibles à l"adresse payhip.com/femtoJimmy Roussel
Table des matières
Prefaceiii
Table des matières
v1 MODÈLE SCALAIRE DE LA LUMIÈRE
11.1 Nature de la lumière
11.2 Approximation scalaire
61.3 Représentations d"une onde
92 INTERFÉRENCE À DEUX ONDES
132.1 Interférence de deux ondes monochromatiques
132.2 Division du front d"onde
182.3 Division d"amplitude
213 INTERFÉRENCE À N ONDES
313.1 Généralités
313.2 Le réseau de diffraction
333.3 La cavité Fabry-Perot
404 THÉORIE DE LA DIFFRACTION
474.1 Principe d"Huygens-Fresnel
474.2 Diffraction de Fresnel
525 DIFFRACTION DE FRAUNHOFER
595.1 Diffraction en champ lointain
595.2 Formation des images
655.3 Retour sur les interférences
71COMPLÉMENT75
A NOTION DE COHÉRENCE
77A.1 Cohérence temporelle
77A.2 Cohérence spatiale
87Bibliographie
95L"alphabet grec
96Notations
97Grandeurs et constantes physiques
98Table des figures
1.1 Onde plane.
31.2 Structure d"une onde électromagnétique monochromatique plane.
31.3 Spectre électromagnétique.
41.4 approximation scalaire.
61.5 "Aplatissement» des ondes sphériques.
81.6 Vecteurs de Fresnel.
92.1 Influence du facteurWsur la visibilité des franges.. . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Expérience des trous d"Young.
182.3 état ondulatoire et interférogramme dans l"expérience d"Young
192.4 Interférogramme.
202.5 Biprisme de Fresnel.
202.6 Bilentilles de Billet.
212.7 Miroirs de Fresnel.
212.8 Chemin des différents rayons et répartition de l"énergie lumineuse
222.9 Calcul de la différence de marche introduite par une lame à faces parallèles.
222.10 dispositif interférentiel et anneaux d"interférence
232.11 Interférence par une lame d"épaisseur variable.
242.12 Localisation des interférences.
252.13 Micro-goutte de PDMS observé par microscopie interférentielle
252.14 Exemples d"interférence d"égale épaisseur
252.15 Principe de l"interféromètre de Michelson.
262.16 Interféromètre réglé en lame d"air
262.17 Interféromètre réglé en coin d"air
272.18 Calcul de la différence de chemin optique.
282.19 Franges irisées en lumière blanche
282.20 Interféromètre de Twyman-Green.
292.21 Interféromètre de Sagnac
292.22 Interféromètre de Mach-Zehnder.
292.23 Interféromètre LIGO.
303.1 Construction de Fresnel associée la superposition de N ondes en phase
313.2 Construction de Fresnel
323.3 Réseau de fentes.
333.5 Incidence normale.
343.4 Montage sur un goniomètre - vue de dessus.
343.6 Incidence oblique.
353.7 Influence de#sur le terme d"interférence.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.8 Construction de Fresnel correspondant à une interférence destructive
373.9 Principe du monochromateur.
393.10 Réseau blazé.
393.11 Monochromateur à réseau concave (montage de Paschen-Runge).
403.12 Cavité Fabry-Pérot
403.13 Transmission de la cavité Fabry-Pérot en fonction du déphasage.
423.14 Interféromètre de Fabry-Pérot.
434.1 Diffraction par une bille
484.2 Construction d"Huygens relative à la réfraction
484.3 Paramétrisation du problème de diffraction
514.4 Position du problème.
524.5 Intensité lumineuse le long de l"axe d"une pupille circulaire. . . . . . . . . 54
4.6 Paramétrisation du problème.
544.7 Diffractogramme d"une pupille circulaire pour différents rayons
555.1 Paramétrisation du problème de diffraction en champ lointain.
595.2 Conditions d"observation de la diffraction de Fraunhofer
615.3 Dispositif d"observation de la diffraction de Fraunhofer.
625.4 Pupille rectangulaire.
635.5 Graphes de la fonction sinus cardinal et de son carré.
635.6 Pupille diffractante et tache de diffraction
645.7 Diffraction par une fente
655.8 Indicatrice de diffraction
655.9 Équivalence des deux montages.
665.10 Pupille circulaire.
675.11 Profil d"intensité de la tache de diffraction par une pupille circulaire.
685.12 Deux étoiles résolues par l"objectif d"une lunette.
695.13 Critère de séparation de Rayleigh
695.14 Images données par un objectif de microscope.
705.15 Pupille diffractante et distribution de l"intensité lumineuse
735.16 Distribution angulaire de l"intensité diffractée par un réseau de fentes
74A.1 Principe de l"interféromètre de Michelson. 77
A.2 Interférogramme.
78A.3 Interférogramme caractéristique d"un doublet spectral. 80
A.4 Diminution du contraste due au caractère polychromatique de la source. 81
A.5 Profil spectral gaussien.
82A.6 Train d"ondes quasi-harmoniques
83A.7 Interférogramme produit par un train d"ondes aléatoires 85
A.8 Expérience des trous d"Young.
87A.9 Influence du déplacement de la source sur l"interférogramme 88
A.10Dispositif d"Young éclairée par une source étendue. 89
A.11Dispositif de Michelson et Pease
90A.12Source étendue éclairant un interféromètre. 91
A.13Calcul de la variation de chemin optique.
91A.14Surface de localisation pour quelques dispositifs classiques 93
Liste des tableaux
1.1 Quelques indices de réfraction.
53.1 Résolution typique de quelques systèmes dispersifs.
383.2 Amplitude d"une onde après avoir subi quelques rélfexions.
403.3 Résolution d"un Fabry-Pérot avec=4=1cm et_=0-5`m (?=40000).. . . 44
5.1 Les différents niveaux d"approximation.
61A.1 Cohérence de différentes sources.
86MODÈLE SCALAIRE DE LA
LUMIÈRE1
1.1Nature de la lumière
1Propagation dans le vide
2Transport de l"énergie
4Propagation dans un milieu
5 1.2Approximation scalaire
6Théorie scalaire de la lumière
6Chemin optique
8 1.3Représentations d"une onde
9Vecteurs de Fresnel
9Notation complexe
10 Dans une première partie, nous avons vu comment une théorie géo-
métrique de la lumière, essentiellement basée sur le concept de rayon lumineux, permet d"interpréter simplement la formation des images à l"aide de lentilles et/ou miroirs. Cette théorie approximative ne rend pas compte de l"aspect ondulatoire de la lumière. Or, on sait depuis la théorie électromagnétique de Maxwell et de sa confirmation par Hertz, que la lumière est une onde électromagnétique. Dès lors, certains phé- nomènes optiques ne peuvent pas s"interpréter sans tenir compte de ces aspects ondulatoires. Nous proposons dans ce chapitre une théorie ondulatoire de la lumière moins complète que la théorie de Maxwell mais suffisante dans de nombreux cas. Ceci étant dit, nous rappelons quelques résultats de la théorie électromagnétique afin que le lecteur garde à l"esprit la naturevectorielleettransversalede la lumière, la- quelle permet d"expliquer certains phénomènes qui échappent à la théorie scalaire.Version en ligne
https :femtophysique.froptiquemodelescalaire.php1.1 Nature électromagnétique de la lumière
En 1865, le physicien écossais James Clerk Maxwell publie son troi- sième et dernier article autour des phénomènes électriques et magné- tiques et perce le secret de la lumière. D"une part, il réussit le tour de force d"unifier les phénomènes électriques et magnétiques en in- ventant le concept de champ électromagnétique pour lequel il donne les lois11. 20 équations qu"Oliver Heaviside ré- duira à 4 et qui forment ce que l"on ap- pelle de nos jours, leséquations de Max- well . D"autre part, sur la base de ces équations, Maxwell prédit l"existence d"ondes électromagnétiques et calcule leur vitesse dans le vide. La valeur qu"il trouve est si proche de celle de la lumière22. Mesurée par Fizeau et Foucault avec
une assez bonne précision que la coïncidence lui semble peu probable. Il écrira : "The agreement of the results seems to show that light and magnetism are affections of the same substance, and that light is an electromagnetic disturbance propagated through the field according to electromagnetic laws» - J.C Maxwell Neuf ans après la mort de Maxwell, en 1888, Heindrich Hertz confirme l"existence de telles ondes en découvrant les ondes radio. Il devient alors très clair que la lumière visible en est un cas particulier, avec des fréquences trop grandes pour être directement accessible. Dans la suite, nous rappelons quelques résultats concernant les ondes électromagnétiques. Pour plus de précision, on renvoie le lecteur à un cours d"électromagnétisme [ 121 MODÈLE SCALAIRE DE LA LUMIÈRE
Propagation dans le videDans le vide, d"après les équations de Maxwell, le champ électroma- gnétique (!,!) obéit à l"équation d"onde 4 !12 2m 2!mC2=!0 et4!12
2m 2!mC2=!0 avec2=1p`
0n0 où4désigne l"opérateur laplacien vectoriel. La constante2, homo- gène à une vitesse, représente la vitesse de propagation des ondes électromagnétiques. Numériquement, on trouve 2=1p`0n0'3108m.s1
C"est Kohlrausch et Weber qui déterminèrent les premiers cette vitesse à partir des constantes électrique et magnétique. Le bon accord avec la vitesse de la lumière permit à Maxwell de conjecturer la natureélectromagnétique de la lumière.
Intéressons-nous à une solution particulière qui joue un rôle important en optique :l"onde plane progressive harmonique. Il est facile de vérifier qu"un champ électrique de la forme!¹!A,Cº=0cos
lC!:!A!D~(1.1) est solution de l"équation d"onde. Cette solution est caractérisée par les paramètres suivants. 1. Sonamplitude0. On verra que l"énergie transportée par l"onde en dépend. 2. Sapulsationl(rad.s1) qui est liée au nombreade cycles d"os- cillations par seconde, qu"on appelle lafréquence(Hz). On a la relationa=l2c~(1.2) 3. Sonvecteur d"onde!:qui indique sa direction de propagation. Sa norme:est liée à la pulsation. En effet, l"onde plane harmo- nique vérifie 4 !=:2!etm2!mC 2=l2! de sorte qu"il s"agit bien d"une solution de l"équation d"onde à condition de poser:=l2~(1.3) Par ailleurs, l"ensemble des points qui sont dans le même état vibratoire à l"instantCvérifie :!A=Cte¸2?cavec?2Z1.1 Nature de la lumière3Il s"agit d"un ensemble de plans perpendiculaires à!:et pério-
diquement espacés. Ces plans sont les surfaces d"onde (d"où le terme d"onde plane). Ces surfaces d"onde se déplacent au!A•direction de propagation
:!A=CteC te¸2cC te¸4cC te¸6c_surface d"ondeFIGURE1.1- Onde plane.
cours du temps à la vitesse2. Par définition, la distance qui sé- pare deux plans d"onde consécutifs est lalongueur d"onde. On a donc:_=2c, d"où_=2c: =2a =2)~(1.4) Comme on le voit, la longueur d"onde est aussi la distance que parcourt l"onde durant une période)=1a. 4. Sonétat de polarisationdécrit par le vecteur unitaire!Dqui se trouve dans le plan d"onde33. L"état de polarisation peut également tourner à la vitesse angulairelen dé- crivant une ellipse. Dans ce cas, l"ex- pression(1.1)est à modifier. Pour une telle onde se propageant suivant l"axeOI, on écrira!=G0cos¹lC:Iº!DG¸
H0cos¹lC:I¸iº!DH.
Enfin, on peut montrer que le champ magnétique!forme avec!et!:une trièdre¹!,!,!:ºorthogonal direct et que son amplitude vaut
0=02, ce qui se résume par
=¹!:lº ^! Pour une illustration, voir la figure ci-dessous ou la simulation . LeFIGURE1.2-Structure d"une onde élec-
tromagnétique monochromatique plane. spectre électromagnétique est quasi-totalement invisible par un oeil humain, sauf une petite portion ditespectre visiblequi s"étend du rouge (longueur d"onde de 750 nm) au violet (longueur d"onde de 400 nm) en passant par toutes les couleurs de l"arc-en-ciel (communément divisé en rouge, orange, jaune, vert, bleu, indigo et violet). La lumière peut êtrepolychromatique, elle est alors constituée de plusieurs lon- gueurs d"onde, oumonochromatique, elle est alors constituée d"une seule longueur d"onde. Les sources monochromatiques au sens strict du terme n"existent pas, mais certains lasers produisent une lumière dont le spectre est très étroit. On les considère donc généralement comme des sources monochromatiques.41 MODÈLE SCALAIRE DE LA LUMIÈRE
WRayons XUltra VioletInfra RougeMicro ondes
Ondes Ra-
dio (UHF,VHF, HF)_(m)a(Hz)10
12101110
1010
910
810
710
610
510
410
310
210
110
2110
2010
1910
1810
1710
1610
1510
1410
1310
1210
1110
1010
910
8101
FIGURE1.3- Spectre électromagnétique.
Transport de l"énergie
Dans le vide, une onde électromagnétique transporte de l"énergie sous forme électrique et magnétique à la vitesse2. Ce mode de propagation de l"énergie est appelétransport radiatifet permet notamment au Soleil de chauffer notre belle planète. Le flux radiatif correspondant est décrit par levecteur de Poynting0»W.m2¼
Le flux d"énergie électromagnétiqueqem(en watt) rayonnée à travers une surface¹(ºs"écrit q em=º¹(º!d!(
Intéressons-nous au cas d"une onde plane harmonique se propageant dans le vide. Sachant que!=¹!:lº ^!, il vient 0=1l`0!^!:^!
=1l` 02!: On peut retenir que, dans le vide, le transport de l"énergie suit la direc- tion de propagation. Le flux d"énergie reçue sur un capteur d"aire( situé perpendiculairement à la direction de propagation s"écrit donc qem=º¹(º!d!(=(`
022¹!A,Cº
Or, pour de la lumière, le champ électrique varie au cours du temps à une fréquence supérieure à1014Hz. Ces variations sont inaccessibles, compte tenu du temps de réponse limité des capteurs photométriques. C"est pourquoi la réponse des détecteurs est fonction du flux moyen : hqemi=(`02h2¹!A,Cºi
où le symbolehidésigne la moyenne temporelle. Ainsi, un détecteur (capteur CCD, oeil,...) est sensible au carré moyen du champ électrique. Dans toute la suite, on appelleintensité du rayonnement, la quantité,h2¹!A,Cºi~(1.5) Cette grandeur mesure, en unité arbitraire, la répartition du rayonne- ment déposé en différents points de l"espace.La notion d"intensité ne doit pas être
confondue avec l"intensité lumineuse d"une source (flux lumineux émis par unité d"angle solide).1.1 Nature de la lumière5
Propagation dans un milieu transparentLa propagation des ondes électromagnétiques est plus complexe dans
les milieux matériels, car la matière interagit avec les champ électrique et magnétique transportés par l"onde. Pour décrire le comportement du rayonnement il faut compléter les équations de Maxwell par des équations qui décrivent la réponse du milieu au champ électroma- gnétique. Nous allons considérer exclusivement le cas des milieux diélectriques non magnétiques (comme le verre) qui jouent un rôle important en optique. Dans de tels milieux, la réponse de la matière à une onde électromagnétique se traduit essentiellement par l"apparitionquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] résumé cours optique ondulatoire
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