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MINISTERE DE L"ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Universit´e Hassiba BenBouali-Chlef

Facult´e des Sciences de la Nature et de la Vie

Cours de Physique

1 `ereAnn´ee Licence SNV

Dr : Slimani Mohammed Zakaria

e-amil : sanslimz@gmail.com

UE Physique: L1 SNV 2019-2020

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

Table des mati`eres

1 Rappels math´ematiques1

1.1 Analyse dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Les standards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Erreurs et incertitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Evaluation des incertitudes par des m´ethodes statistiques . . . . . . . . . 4

1.2.2 Propagation des erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.4 Vecteur unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Optique g´eom´etrique9

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Indice de r´efraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Loi de r´eflexion :premi`ere loi de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 10

2.4 Loi de r´efraction : deuxi`eme loi de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 10

2.4.1 Angle de r´eflexion totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2 Angle de r´efraction limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5 Notion d"objet et Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.6 Les dioptres sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6.2 Relation de conjugaison avec origine est au sommetO. . . . . . . . . . . 16

2.6.3 Relation de conjugaison avec origine au centreC. . . . . . . . . . . . . 18

2.6.4 Foyers d"un dioptre sph´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.6.5 Grandissement transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.6.6 Construction de l"image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

UE Physique: L1 SNV 2019-2020

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

2.7 Les miroirs sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7.1 Relation de conjugaison avec origine au sommetO. . . . . . . . . . . . . 21

2.7.2 Distance focale et vergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7.3 Grandissement transversal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.7.4 Relation de conjugaison avec origine au centreC. . . . . . . . . . . . . 23

2.7.5 Repr´esentation g´eom´etrique d"une image d"un objet `a travers d"un miroir

sph´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8 Les lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8.1 Les relations de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8.2 Foyer objet et foyer image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8.3 Origine au foyer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.8.4 Grandissement lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.8.5 Construction g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9 L"œil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9.1 Amplitude d"accomodation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.9.2 Les d´efauts de lœil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.10 Applications des syst`emes optiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.10.1 La Loupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.10.2 Le microscope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Introduction `a l"optique ondulatoire37

3.1 Principe de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 R´eflexion des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.3 R´efraction des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Notions d"analyse spectrale40

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Spectroscopie UV-visible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.2 Loi de Beer-Lambert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

4.2.3 Couleur des esp`eces chimiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 la spectroscopie IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.4 la spectroscopie RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Aper¸cu de la m´ecanique des fluides47

5.1 Les fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.2 Notion fondamentale de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2 Hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2.1 Le barom`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2.2 La pression dans le corps humain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.3 Pouss´ee d"Archim`ede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.4 La masse apparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.3 Hydrodynamique des fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.1 Notions sur l"´ecoulement des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.2 Equation de continuit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3.3 Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6 Notions de cristallographie58

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.2 La cristallographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6.3 Les structures cristallines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

7 Exercices d"application63

7.1 loi de Snell- Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.2 Les dioptres sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.3 Les Miroirs sph´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7.4 Les Lentilles minces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.5 L"œil et la vision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.6 Hydrostatique : Applications des lois de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

UE Physique: L1 SNV 2019-2020

TABLE DES MATI`ERESTABLE DES MATI`ERES

7.7 Hydrodynamique : Applications du th´eor`eme de Bernouli . . . . . . . . . . . . . 67

8 Solutions des probl`emes propos´es69

9 R´ef´erences82

UE Physique: L1 SNV 2019-2020

1 RAPPELS MATH´EMATIQUES

1 Rappels math´ematiques

1.1 Analyse dimensionnelle

Toutes les sciences sont concern´ees pour mesurer des quantit´es qui s"appellentdes grandeurs.

Exemple; nombre des ´etudiants, leurs ˆages ect. .. Ce fait exige qu"il y a des standards ou des

bases de mesures.

1.1.1 Les standards

Pour faire une mesure significative d"une telle grandeur, on a besoin de certaines unit´es standards dans le syst`eme international (SI). Le SI a ´et´e cr´e´e en 1960 par la 11 emeConf´erence

g´en´erale des poids et mesures (CGPM, Conf´erence G´en´erale des Poids et Mesures). La CGPM

est l"autorit´e internationale qui assure les ´etalons et modifier le SI n´ecessairepour refl´eter les

derniers progr`es de la science et de la technologie. Dans ce syst`eme on d´efinie : Le kilogramme: est la masse d"un cylindre en alliage platine-iridium conserv´e au Bureau international des poids et mesures `a Paris. En 2018, cependant, cette normesera d´efinie en termes de constantes fondamentales (constant de Planck ou bien nombre d"Avogadro). La seconde: est la dur´ee de 9192631770 p´eriodes de la radiation correspondant `a la tran- sition entre les deux hyperfines niveaux de l"´etat de l"atome de c´esium 133 (

133Ce).

Le M`etre: est d´efinie comme ´etant la longueur du chemin parcouru par la lumi`ere dans un vide pendant un intervalle de temps de 1/299792458 de seconde. (Notez que l"effet de cette d´efinition est de fixer la vitesse de la lumi`ere dans le vide `a exactement 299 792 458ms -1). Amp`ere: un amp`ere est l"intensit´e d"un courant constant qui, s"il est maintenu dans deux

conducteurs lin´eaires et parall`eles, de longueurs infinies, de sections n´egligeables,et distants

d"unm`etre dans le vide, produit entre ces deux conducteurs, une force lin´eaire ´egale `a 2×10

-7 newton par m`etre. Kelvin: Le kelvin est la fraction 1/273.16 de la temp´erature thermodynamique du point triple de l"eauH

2O(point de coexistence des trois phases : liquide-vapeur-solide ), et une

variation de temp´erature d"1Kest ´equivalente `a une variation d"une degr´ee celsus ( ◦C).

1UE Physique: L1 SNV 2019-2020

1.1 Analyse dimensionnelle 1 RAPPELS MATH´EMATIQUES

MoleLa mole est la quantit´e de mati`ere d"un syst`eme contenant autant d"entit´es´el´ementaires

qu"il y a d"atomes dans 0.012 kilogramme de carbone

12C; son symbole est mol . Lorsqu"on

emploie la mole, les entit´es ´el´ementaires doivent ˆetre sp´ecifi´ees et peuvent ˆetre des atomes, des

mol´ecules, des ions, des ´electrons, d"autres particules ou des groupements sp´ecifi´es de telles

particules. Candela:La candela est l"intensit´e lumineuse, dans une direction donn´ee, d"une source qui ´emet un rayonnement monochromatique de fr´equence 540·10

12Hzet dont l"intensit´e ´energ´etique

dans cette direction est 1/683 watt par st´eradian

1.1.2 Dimensions

L"expression d"une grandeur d´eriv´ee en termes de quantit´es fondamentales estappel´ee la

dimension de la grandeur d´eriv´ee. Le symboleMest utilis´e pour d´esigner la dimension de

la masse,Lpour la longueur ,Tle temps,Ile courant ´electrique ,Nnombre de moles ,J

l"intensit´e de la lumi`ere etθla temp´erature, ainsi, on peut ´ecrire l"´equation au dimension d"une

telle grandeurGparle produit dimensionnel des grandeurs standard : [G] =M

αLβTγIδNλJμθν(1)

o´uα,β,γ,δ,λ,μetνsont Les exposants dimensionnels. Si une telle grandeur ne d´epend

pas d"une grandeur fondamentale, son exposant est nul. Exemple. La vitessev=l/talors [v] =LT -1alorsβ= 1,γ=-1 etα=δ=λ=μ=ν= 0. SoientA,BetCdes grandeurs physique : SiA=B·Calors [A] = [B]·[C] et siA=B+C

alors [A] = [B] = [C] et En outre, l"´equation aux dimensions permet de v´erifier la correction

d"une ´equation et son homog´en´eisation exemple : ´equation de Van Der-Waals (P+an 2

V2)(V-nb) =nRT(2)

Pest la pression etVle volume. l"homog´en´eisation nous permet d"´ecrire :[P] =[a][n] 2 [V]2et [V] = [n][b]

2UE Physique: L1 SNV 2019-2020

1.2 Erreurs et incertitudes 1 RAPPELS MATH´EMATIQUES

1.2 Erreurs et incertitudes

Les mesures d"une grandeur physique s"accompagnent des incertitudes dans son estimation et son ´evaluation. On peut estimer une grandeur classique soit : i) d"une fa¸con exacte : par exemple, combien y-a-t-il de jours dans une semaine? La r´eponse est sans ambigu¨ıt´e. ii)Avec incertitudes pour une grandeur statistique. Imaginons des ´etudiants qui font mesures

la temp´erature d"´ebullition de l"eau au niveau de la mer `a pression atmosph´erique. Les diff´erents

groupes mesurent les valeurs suivantes : 99.5 ◦C, 100.5◦C, 101◦C, 99.1◦C

On sait queTe= 100

◦C, dans ces conditions alors pourquoi une d´eviation par rapport `a la vraie valeur et que vaut alors la cette temp´erature d"´ebullitionTe? Nous donnerons dans cette partie du cours des r´eponses `a ces questions. Elle sera de nature statistique. Le terme

"erreur" lorsqu"un processus de mesure est mal maˆıtris´e et "incertitude" lorsquel"´evaluation

de la fiabilit´e est imm´ediate et intuitive. Ainsi, une erreur de mesure produit une d´eviation par

rapport `a la vraie valeur. On peut distinguer : i) Les erreurs syst´ematiques : se produisent par exemple lorsqu"on emploie des instruments

mal ´etalonn´ees (´echelle fausse, chronom`etre mal ajust´e) ou lorsqu"onn´eglige certains facteurs

qui ont une influence sur la marche de l"exp´erience (par ex. l"altitude par rapport au niveau de la mer pour estimerTe). Cela produit un d´ecalage du r´esultat si lerreur commise est toujours la mˆeme. Les erreurs syst´ematiques influencent l"exactitude voir figure(1.a).

ii) Les erreurs accidentelles par contre ne peuvent en principe pas ˆetre ´evit´ees. Leur cause

se trouve dans l"exp´erimentateur luimˆeme. Par exemple; male lecture. Les erreurs accidentelles

affectent la pr´ecision (ou fid`elit´e) de la mesure figure(1.b).

iii) La dispersion statistique apparaˆıt lorsqu"on fait des mesures r´ep´et´eesde la mˆeme gran-

deur. Si l"on mesure plusieurs fois le mˆeme ph´enom`ene avec un appareil de mesure suffisamment

pr´ecis, on obtiendra `a chaque fois un r´esultat diff´erent. est dˆue `a des ph´enom`enes perturbateurs

(sensibilit´e d"un instrument aux variations de temp´erature).

3UE Physique: L1 SNV 2019-2020

1.2 Erreurs et incertitudes 1 RAPPELS MATH´EMATIQUES

Fig.1 - L"exactitude et la pr´ecision (a) exact et pr´ecis, (b) exact mais pas pr´ecis, (c) pr´ecis

mais pas exact

1.2.1 Evaluation des incertitudes par des m´ethodes statistiques

On suppose que la vraie valeur d"une telle grandeur mesur´ee soitG

0. En pratique, on

r´ealiseNmesures pour avoirg

1,g2....gNvaleurs ind´ependantes dont la moyenne arithm´etique

est exprim´ee par : g= N? i=1 gi N(3) De mˆeme,la varianceσde la distribution degest donn´ee par : 1 N-1 N? i=1 (gi-g)2(4)

L"incertitue Δgavec laquelle on estimeG

0est donn´ee par la variance de la moyenne :

Δg=σ

⎷N-1(5) Cette valeur est inversement proportionnelle avec le nombre de mesuresN. i.e si on veut

4UE Physique: L1 SNV 2019-2020

1.2 Erreurs et incertitudes 1 RAPPELS MATH´EMATIQUES

avoir une bonne pr´ecision, il faut faire le maximum des mesures. Le r´esultat de la mesureest finalement donn´e sous la forme : G

0=g±Δg(6)

A cˆot´e de l"erreur absolue Δgd"un r´esultat de mesure, il est souvent commode d"indiquer

l"erreur relative Δg |G0|. L"erreur absolue a toujours la mˆeme dimension (mˆeme unit´e) que le r´esultat de la mesure lui-mˆeme. L"erreur relative n"a pas de dimension et s"exprime en %. Chiffres significatifs: lorsqu"on exprime une mesure directe ou le r´esultat d"un calcul,

l"incertitude absolue associ´ee au nombre est exprim´ee avec certaine nombre de chiffre significatif

quiindique la pr´ecision d"une mesure physique. La mesure ou le r´esultat du calcul sera alors arrondi afin de ne comporter qu"un seul chiffre incertain. Ainsi une masseMpes´ee `a±2mget trouv´ee ´egale par exemple `a 25.3873gsera donn´ee par :M= (25.387±0.002)g

1.2.2 Propagation des erreurs

a) M´ethode diff´erentielle On suppose que la d´eviation (erreur) d"une grandeurGest tr`es petite par rapport `a la vraie valeurG

0. On ecrit la differentielle deG(x1,x2,...,xN) en fonction des d´eriv´ees partielles par

rapport `a chacune des variablesx

1,x2,...,xN

On approxime alorsdG?ΔG, et on majore la valeur absolue de ΔGpar la somme des valeurs absolues :

ΔG=|∂G

ce qui permet d"estimer l"incertitude ΔGen fonction des incertitudes Δx exemple : soitvla vitesse rectiligne et uniforme d"un mobile;v=L/to´u L le d´eplacement durant une unit´e de tempst.

5UE Physique: L1 SNV 2019-2020

1.3 Les vecteurs1 RAPPELS MATH´EMATIQUES

pour mesurerv, on a besoin des informations surLettalors;v=f(L,t) la differentielle totale eq( 7) devs"experime :dv=∂v ∂LdL+∂v∂tdt. o´u ∂v ∂L=1tet∂v∂t=-Lt2. finalement l"eq( 8) s"ecrit :Δv=1 tΔL+Lt2Δt. b) M´ethode logarithemique En outre, cette m´ethode n"a pas `a prioiri une formule directe pour l"appliquer, mais l"id´ee

principale vient du fait que la derriv´ee du logarithme d"une foctionfqui doit ˆetre une fonctions

positive; SoitGune grandeur physique telle que :G=log(f) alorsdG=df/fce qui permet aussi de sur- estimer l"erreur surGen fonction celle surf, ΔG=Δf f Exemple : Soitv=L/t, donc la fonction logaarithmique est une application bijective ce qui permet d"ecrire : logv= logL-logt, on diff´erencier cot´e `a cot´e :dv v=dLL-dttet finalement on majore l"erreur survtel que :Δv v=ΔLL+Δtt

1.3 Les vecteurs

Comme on a d´ej`a vu la session pr´ec´edente, tout ce qu"on peut mesurer s"appelle grandeur.

Ainsi il est commode de pr´esenter math´ematiquement une telle grandeur soit en : i)Nombre r´eel (scalaire) comme la temp´erature, gravitation, masse. ii)Vecteur : comme les forces, champs magn´etique, les vitesses.

Dans la deuxi`eme cat´egorie, les grandeurs n´ecessitent plusieurs nombres qui d´ependent de la

direction d"espace pour qu"elles soient d´efinies. La construction de ce cours seralimit´ee dans les

notions et les applications fondamentales des op´erations vectorielles mais non plus dans leurs alg`ebres.

Si l"on pose

-→i(1,0,0),-→j(0,1,0),-→k(0,0,1) la base d"espaceE

3alors tout vecteur-→U(x,y,z)?

E

3, s"ecrit :-→U=x-→i+y-→j+z-→k. (x,y,z) s"appelle des composantes du vecteur-→U

`a tout couple (A,B)de points qu"on appelle bipoint deE

3, on associe un vecteur unique-→AB

deE

3repr´esent´e par une fl`eche d"origineAet d"extr´emit´eBtel que :-→AB= (xB-xA)-→i+(yB-

y A)-→j+ (zB-zA)-→ko`u (xA,yA,zA) et (xB,yB,zB) les coordonn´ees deAetBrespectivement.

6UE Physique: L1 SNV 2019-2020

1.3 Les vecteurs1 RAPPELS MATH´EMATIQUES

?-→OA?=?x2A+y2A+z2As"appelle le module du vecteur-→OAqui mesure la longueur du segment OA

Soient

-→U=-→OAet-→U=--→OBdeux vecteurs tels que :-→U(U x=xA,Uy=yA,Uz=zA) et -→V(V x=xB,Vy=yB,Vz=zB).

1.3.1 Produit scalaire

On appelle

-→U·-→V=??U? · ??U? ·cos(??U,?V) le produit scalaire qui mesure la projection du vecteur -→Usur-→Vet vis-versa (pr´esentation (a) dans la figure(2))

Propri´et´es:

-→U·-→V=-→V·-→U: le produit scalaire et commutatif λ(-→U+-→V) =λ-→U+λ-→V λ?R

1.3.2 Produit vectoriel

On apelle le produit vectoriel

W=-→U?-→V. Le vecteur r´esultant-→W=-→OC. On ´ecrit :

W=??????

i?j?k U xUyUz

VxVyVz

?= (U yVz-VyUz)?i-(UxVz-VxUz)?j+ (UxVy-VxUy)?k

Et du module :?-→W?=??U? · ??V? ·sin(??U,?V) et sa direction est celle de la normale au plan

d´etermin´e par

-→Uet-→Vet son sens est tel que le tri`edre directe (-→U ,-→V ,-→W) alors que :?-→W?=

aire du parall´elogramme (OACB) = 2.aire du triangle (O,A,B) (voir pr´esentation (b) dans la figure(2))

Propri´et´es du produit vectoriel :

U?-→V=--→V?-→U

-→U?-→V=-→0 i,e-→Uet-→Vsont parall`ele . Exemple :moment des forces : si la force est parall`ele au bras (distance pour appliquer la force par rapport `a un point ) alors on ne peut pas tourner le bras(vecteur est nul)

7UE Physique: L1 SNV 2019-2020

1.3 Les vecteurs1 RAPPELS MATH´EMATIQUES

Fig.2 - (a)produit scalaire, (b) produit vectoriel, (c) produit mixte

1.3.3 Produit mixte

le produit mixte (

-→U ,-→V ,-→W) des vecteurs-→U ,-→Vet-→West le produit scalaire de-→U?-→Vet de-→W

Soit

-→S=-→U?-→Vo`u?-→W?mesure l"aire du parall´elogramme construit sur (-→U ,-→V ,-→W) =-→S·-→Wqui

est la valeur absolue du produit mixte qui mesure donc le volume du parall´el´epip`ede construit

sur -→Uet-→W(voir pr´bsentation (c) dans la figure(2))

Propri´et´es du Produit mixte :

-→U?-→V)·-→W= (-→V?-→W)·-→U= (-→W?-→U)·-→V

1.3.4 Vecteur unitaire

Soit

-→Uun vecteur. On appelle-→μle vecteur unitaire dont les compos´ees tel que :-→μ=

quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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