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Optique J.J. Herstain

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Par Jean-Jacques Herstain 20/01/2011

Les formules encadrées avec

** sont à parfaitement connaître

Les formules encadrées avec

* sont à savoir retrouver très rapidement (moins de 30 secondes)

Les formules encadrées sans

* sont à savoir retrouver BBBB Optique OndulaOptique OndulaOptique OndulaOptique Ondulattttoireoireoireoire

11 NNoottiioonnss ddee pphhoottoommééttrriiee

1.1 Amplitude complexe d"une vibration lumineuse

La source S émet une onde électromagnétique sinusoïdale de pulsation w, polarisée rectilignement.

Le champ électrique au point M :

()cosoe e tw j= -? ?

Ou en notation complexe :

()()exp expoe e j t jw j= -? ? ()expoe e j tw=? ??? avec ()expo oe e jj= -??? ??? ou encore ()expe A j t zw=? ? avec ()expoA e jj= - A est appelé amplitude complexe de la vibration.

1.2 Flux lumineux

La puissance transportée par l"onde à travers une surface S est égale au flux du vecteur de

Poynting

o E B

μpÙ=

Pour une onde plane la puissance moyenne transportée est donc proportionnelle au carré du module du champ électrique.

Par définition le flux lumineux à travers une surface est proportionnel à cette puissance

moyenne. Il est donc proportionnel au carré du module de l"amplitude complexe.

On pourra écrire

*k A Af= × *A étant le complexe conjugué de l"amplitude complexe.

L"unité de flux lumineux est le lumen : lm

1.3 Éclairement

Si une surface

dS reçoit un flux lumineux df on définit l"éclairement de cette surface : dEdS f= L"éclairement étant proportionnel au flux, on a

1E k A A= ×

L"unité d"éclairement lumineux est le lux ( lx homogène à une puissance sur une surface) Sol éclairé par le soleil à midi : 100 000 lx. Éclairage intérieur : 1000 lx Éclairage du sol par la pleine lune à minuit : 20 lx

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1.4 Intensité lumineuse

Si une source émet un flux lumineux

df à travers un angle solide dW on définit l"intensité lumineuse : Id d f=W

Un angle solide dW est défini par

2u dSdr

×W =

L"intensité étant proportionnelle au flux, on a *

2Ik A A= ×

L"unité d"intensité lumineuse est la

candela ( cd homogène à une puissance sur un angle solide)

C"est l"unité de base de la photométrie. C"était jadis l"intensité émise par une surface de un

soixantième de cm² de platine en fusion (1769°C) ; historiquement c"était l"intensité

lumineuse produite par une bougie.

Aujourd"hui, la candela correspond à une puissance de 1/683 W/sr à la radiation de sensibilité

maximale de l"oeil (standard), à 540 THz, soit 555 nm dans le vert. Remarque : L"éclairement et l"intensité sont proportionnels.

22 IInntteerrfféérreenncceess ddééllooccaalliissééeess

Hypothèse : Deux ondes produites par deux sources ponctuelles monochromatiques, de même fréquence, de même polarisation sont détectées en provenance de deux directions voisines.

2.1 Surfaces d"interférence

2.1.1 Formule fondamentale des interférences

Deux sources S

1 et S2 émettent des ondes monochromatiques de pulsation w polarisées

rectilignement. Si les deux directions S1M et S2M sont voisines, les champs électriques des deux ondes sont quasiment colinéaires et leurs valeurs algébriques peuvent s"ajouter.

()( )1 2 1 2expe e e A A j t zw= + = +? ? ? ? (exact si la polarisation est orthogonale au plan de

figure, approché si la polarisation est dans le plan de figure) comme par ailleurs ()expe A j t zw=? ?

il en résulte que l"amplitude complexe du champ résultant est égale à la somme des

amplitudes complexes de chaque vibration :

1 2A A A= +**

ou encore ()()1 1 2 2exp expA a j a jj j= - + - a1 et a2 étant les amplitudes des ondes parvenant au point M et j1 et j2 leurs phases respectives. On obtient alors l"éclairement d"une surface au voisinage de M : ()()()()1 1 2 2 1 1 2 2exp exp exp expE K a j a j a j a jj j j j= - + - × +? ? ? ?? ? ? ? 2 2

1 2 1 2 2 1 1 2exp expE K a a a a j jj j j j? ?= + + - + -? ?

soit encore ()2 2

1 2 1 2 2 12 cosE Ka Ka Ka aj j= + + -

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3 avec 2

1 1E Ka= et 2

2 2E Ka= E1 étant l"éclairement que l"on obtiendrait en M avec

la seule source S

1 et E2 avec la seule source S2.

Finalement :

()1 2 1 2 2 12 cosE E E E Ej j= + + -** Puisque éclairement et intensité sont proportionnels on obtient de même : ()1 2 1 2 2 1I I I 2 I I cosj j= + + -* I

1 étant l"intensité que l"on obtiendrait en M avec la seule source S1 et I2 avec la source S2.

2.1.2 Ordre d"interférence

A partir de la formule fondamentale des interférences ()1 2 1 2 2 1I I I 2 I I cosj j= + + - On peut chercher l"ensemble des points M d"une région de l"espace qui reçoivent la même intensité lumineuse.

Si on considère que dans cette région I

1 et I2 restent constants, la condition pour que I soit

constant est

2 1constantej j- =.

La phase au point M de l"onde provenant de S

1 est ( )1 1 12

SS Mpj jl= +

1Sj étant la phase de l"onde émise par la source S1 et ()1S M le chemin optique entre S1 et M.

l étant la longueur d"onde dans le vide des ondes émises par les deux sources. De même, la phase au point M de l"onde provenant de S2 est ( )2 2 22

SS Mpj jl= +.

Si on suppose les deux sources en phase :

2 1S Sj j=

Il s"ensuit :

( ) ( )2 1 2 12S M S Mpj jl- = -? ?? ?** qui devient, si le milieu est le vide : [ ]2 1 2 12S M S Mpj jl- = - Les points qui reçoivent la même intensité lumineuse satisfont à la condition

2 1constanteS M S M- =.

Ce sont donc des hyperboloïdes de révolution de foyers S

1 et S2 .

Ces surfaces d"égale intensité sont appelées surfaces d"interférence.

Ce phénomène est observable en tout point éclairé par les deux sources, on dit que

les interférences sont délocalisées

Pour préciser l"intensité lumineuse en tout point d"une surface d"interférence, on définit

l"ordre d"interférence : 2 1 2pj j p ()()2 1S M S Mp l l -D= =** DDDD est appelé différence de marche

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· si 2 12k k p kj j p- = Î?=Z ()

2

1 2MaxI I I= +

Si p est entier , l"intensité est maximum.

· si ( )2 112 12k k p kj j p- = + Î?= +Z () 2 min 1 2I I I= - Si p est entier plus un demi, l"intensité est minimum Quand p varie d"une unité, on passe sur une surface d"interférence de même intensité.

Le contraste du phénomène est défini par

Max min

Max min

I I

I IC-=+**

C varie entre 0 (si I

1=0 ou I2=0) et 1 (si I1= I2)

2.1.3 Observation dans un plan parallèle à l"axe des sources

Les traces des hyperboloïdes dans le plan d"observation sont des hyperboles assimilables à des segments de droites au voisinage de l"axe médiateur des sources. d est la distance entre les deux sources. D est la distance entre l"axe des sources et le plan d"observation. l est la longueur d"onde.

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5 En raisonnant dans le plan formé par l"axe médiateur des sources et l"axe des sources : 2 2 1 2 dS M D x( )= + -( )( ) en développant au second ordre : 2

11212d

x

S M DD

de même : 2 2 2 2 dS M D x( )= + +( )( ) 2

21212d

x

S M DD

2 2

2 11 12 21 12 2d d

x x

S M S M DD D

? 2 12xd xdS M S M DD D d"où xdpDl=* Une autre méthode permet d"atteindre ce résultat : W étant le milieu des sources, H est le symétrique de S1 par rapport WM (médiane quasiment confondue avec la bissectrice). S

1M=HM, donc 2 1 2S M S M S H- =

q étant l"angle (suppose petit) entre WO et WM

2 1xdS M S M dDq-? ?

La distance entre deux franges brillantes est appelée interfrange. On l"obtient en écrivant qu"on passe d"une frange à la suivante en faisant varier l"ordre d"interférence de 1. 1pD = xdpDl

DD = Di xd

l= D =* Si les deux sources ont la même luminosité I o , la formule fondamentale des interférences donne : o2I 2I 1 cosxd D p l( )= +( )( ) ou encore 2 oI 4I cosxd D p l( )=( )( ) ou 2 oI 4I cosx i p( )=( )( )

Le contraste est alors égal à 1 car I

min=0

Remarque : Il y a toujours un maximum sur l"axe

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Exemple : D=1m l=0,5μm i=1mm 0,5Dd mmi

l?= = Les deux sources doivent donc être très proches. Avec d=5cm on obtiendrait i =10μm : les franges seraient trop serrées pour être visibles.

2.1.4 Observation dans un plan perpendiculaire à l"axe des sources

Les traces des hyperboloïdes sur un plan perpendiculaire à l"axe des sources sont des cercles. Les franges d"interférence seront donc des anneaux.

Quel est le rayon du q

ème anneau brillant ?

Il faut calculer l"ordre d"interférence en un point M du plan situé à une distance r de l"axe. Au voisinage de l"axe, r reste petit devant D, distance entre S 1 et le plan d"observation.

En projetant S

2 sur S1M on obtient le point H et on peut considérer

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