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CPGE / Sciences Industrielles pour l'Ingénieur CI4-Inertie équivalente : CI4_C6-inertie equivalente.doc- Page 1 sur 2

Créé le 28/11/2015 - maj 12/2018

M Salette

- Lycée Brizeux - Quimper

INERTIE EQUIVALENTE

1- POSITION DU PROBLEME

Un système matériel (S) est constitué de solides (Si) en mouvement par rapport à un repère supposé

galiléen que l"on notera R 0. L"énergie cinétique d"un tel système (S) par rapport au repère R

0 est la somme des énergies

cinétiques de chaque solide S i.: n in i RSRS iTT

11)/()/(2100)/R(S)/R(S0i0iVC

Lorsqu"il existe des relations cinématiques entre les solides S i, il peut être intéressant d"exprimer

l"énergie cinétique du système matériel S en fonction d"une seule variable cinématique.

EXEMPLE : CAS D"UN REDUCTEUR

On considère le réducteur à engrenages suivant : 0y 0z S1 S0 S2 S3

Entrée

Sortie

On note :

le repère galiléen lié à S

0),,,(0000zyxOR

.O

i: un point appartenant à l"axe de la liaison pivot existant entre le solide Si-1 et le solide Si.

I i : le moment d"inertie du solide Si par rapport à l"axe ),(0zOi =W=

000)/(

0 0ziRS Oi RS i i Vw: les éléments de réduction du torseur cinématique de Si en mouvement par rapport au repère R

0, repère lié au solide S0

Z

1 : le nombre de dents du pignon du solide S1,

Z

2a : le nombre de dents de la roue du solide S2,

Z

2b : le nombre de dents du pignon du solide S2,

Z

3 : le nombre de dents de la roue du solide S3.

CPGE / Sciences Industrielles pour l'Ingénieur Inertie équivalente : CI4_C6-inertie equivalente.doc- Page 2 sur 2 Créé le 28/11/2015 - maj 12/2018 L"énergie cinétique du système (S = S

1 +S2 +S3 ) par rapport au repère R0 est définie par l"expression

suivante : 3 13 1 2 1

00iiRSRE

iTT VC(Si/R0)(Si/R0)

Chacun des solides S

i étant en liaison pivot d"axe (Oi,z0) avec le solide S0, l"expression de l"énergie cinétique prend la forme : 2 0)/( 2 1

0iiRSIT

iw =.

D"où l"expression :

()2 3032
2022

101)/(

2 1

0www IIITRS++=

Les relations cinématiques suivantes permettent de simplifier l"expression :

Engrenage S

1-S2 : 10

21
20ww aZZ-=

Engrenage S

2-S3 : 10

32
21
20 32

30wwwZZ

ZZ ZZ b Ab=-=

Par substitution, on aboutit à une expression de l"énergie cinétique de l"ensemble E par rapport à R

0 : 2 102
3 2 21
32
2 1

21)/(.210w

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