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CALCUL

Formation CP REP

20-03-19

Quels sont les différents calculs ?

Calcul mental → pas de traitement écrit du calcul lui- même, même si le résultat peut être

écrit (l'énoncé parfois aussi).

Calcul posé → usage d'une technique

opératoire Calcul en ligne → écrits (partiels) des calculs intermédiaires. Étape vers le calcul mental.

Repose sur la compréhension du nombre, du

principe de numération décimale et des propriétés des opérations Calcul réfléchi → élaborer une procédure adaptée en fonction des opérations et des nombres. Fait appel au raisonnement, à des procédures automatisées ou non. Calcul automatisé → réponse à "a x b» ou "a + b (les tables) restitution la plus directe possible. Pour les tables on parle de faits mémorisés. Calcul rapide → critère de performance pour la restitution des tables, pas une forme de calcul

A l'école élémentaire... toutes les formes de calcul (mental, en ligne, posé...) mobilisent à la fois

La connaissances de résultats mémorisés (compléments à 10, résultat des tables)

Le sens des opéraitions

La mémorisaition de faits numériques

Une programmaition structurée, alliant rythme assez soutenu et réacitivaitions très fréquentes est nécessaire. Il doit faire l'objet d'un apprenitissage en classe.

Le calcul mental

Le calcul mental doit faire l'objet d'une praitique quoitidienne moyenne d'au moins 15 minutes. On privilégiera l'alternance de séries de séances d'entraînement courtes (10 à 15 minutes) avec des séances longues (30 à 45 minutes) visant des apprenitissages procéduraux spéciifiques.

La praitique du calcul mental s'appuie aussi sur une bonne compréhension et une bonne connaissance de propriétés des nombres et des opéraitions qui doivent être enseignées et formalisées. BO 3 du 26 avril 2018

Le calcul en ligne

Le calcul repose sur les mêmes principes que le calcul mental. Le support de l'écrit permet d'alléger la mémoire de travail en notant des résultats intermédiaires.

Le calcul posé

Le calcul posé repose sur la connaissance de faits numériques (tables) et sur celle d'algorithmes opératoires. Les 4 algorithmes opératoires ( addiitions, soustracitions...) doivent faire l'objet d'un enseignement précis. Le rythme doit être soutenue au début de l'apprenitissage pour que l'automaitisme s'installe (et donc sûreté pour l'élève)

Chacun des calculs doit faire l'objet d'un entraînement spéciifique . L'élève doit pouvoir choisir le mode de calcul qui lui paraît le plus facile lors de résoluition de problème.

→ nécessité d'acquérir des automaitismesBO 3 du 26 avril 2018 Attention : Le calcul en ligne n'est pas une autre manière d'écrire un calcul posé ! En calcul en ligne, les étapes écrites utiles pour l'élève peuvent, dans un premier temps, se présenter sous différentes formes : - calculs séparés, - arbres de calcul, - écritures utilisant des mots ou des flèches, - ou tout autre écrit qui accompagne la démarche de l'élève ;

Progressivement, en fin de cycle 3, ces étapes

s'organisent pour devenir un calcul écrit en ligne conforme du point de vue des écritures mathématiques.

Exemples de calcul en ligne

A vous de jouer...

Trouvez différentes façons de calculer :

26 x 12

Permet de manipuler quelques

propriétés :

26 × 12 = 12 × 26 = 10 × 26 + 2 × 26 = 260 + 52 = 312

26 × 12 = 26 × 4 × 3 = 104 × 3 = 312

26 × 12 = 20 × 12 + 6 × 12 = 240 + 72 = 312

26 × 12 = 25 × 12 + 12 = 25 × 4 × 3 + 12 = 312

26 × 12 = 26 × 2 × 6 = 52 × 2 × 3 = 104 × 3 = 312

26 × 12 = 2 × 13 × 2 × 2 × 3 = 2 × 2 × 2 × 39

= 2 × 2 × 78 = 2 × 156 = 312commutativité associativité distributivitéPropriété d'une opération qui permet de changer l'ordre des termes sans en changer le résultat.

Propriété d'une opération dans

laquelle les termes peuvent

être groupés de différentes

façons, sans que le résultat de l'opération ne soit modifié. une opération qui permet de passer d'un produit de sommes à une somme de produits

Les écrits transitoires

Les étapes de calcul écrites par les élèves doivent être conçues comme un support à la pensée. Elles peuvent ne pas respecter tous les codes de la rédaction mathématiques Cet écrit est toléré, mais doit être fait dans un support dédié (cahier de recherche, de brouillon ...) pour le différencier de l'écrit institutionnel. Cependant, lorsqu'il est réalisé par l'enseignant (lors d'une mise en commun ou une synthèse) , il doit être mathématiquement correct et compréhensible de tous.

Statut du signe " = »

le signe " = » signifie l'équivalence entre les deux membres (alors qu'il est vécu comme le résultat -renforcé par l'usage des calculatrices).

Le calcul en ligne et les décompositions

permettent de faire un lien entre 2 écritures distinctes d'un même nombre, à lire dans les 2 sens.

Exemple : 26 x 5 = 13 x 2 x 5

Exemple

" À la boulangerie j'achète trois croissants à 1 €, deux pains à 2 € et une brioche à 5 €.

Quel est le montant de mes achats ? »

Production 1 :

3 × 1 = 3 + 2 × 2 = 7 + 5 = 12

Production 2 :

3 × 1 + 2 × 2 + 5 = 3 + 4 + 5 = 12

Le signe " = » ne lie pas des nombres égaux. Cette écriture du calcul est à considérer comme un écrit transitoire. ne pas sanctionner l'écrit de l'élève si la démarche sous-jacente est bonne (comme dans notre exemple) mais lui expliquer qu'il serait préférable de décomposer en plusieurs lignes de calcul ; •le professeur, lui, ne doit jamais proposer au tableau d'écrits incorrects sur le plan mathématique.Dans la production 1,

3 × 1 = 3 + 2 × 2 = 7 + 5 = 12

respecte les codes des écritures mathématiques, mais sa production exige de surmonter une difficulté importante au cycle 3. Il vaut mieux donc inviter l'élève à écrire des calculs séparés.

3 × 1 = 3

2 × 2 = 4

3 + 4 = 7

7 + 5 = 12.Dans la production 2,

3 × 1 + 2 × 2 + 5 = 3 + 4 + 5 = 12

Utilisation des parenthèses

L'apprentissage ne débute qu'en cycle 3.

Au cycle 2, la maîtrise du code des priorités opératoires n'est absolument pas un objectif. Il faut tout d'abord que les élèves s'approprient le sens de chacune des opérations. Lorsqu'ils doivent organiser des calculs mobilisant successivement deux opérations éventuellement identiques, l'utilisation de plusieurs lignes est à privilégier.

Textes de savoir

Différents types d'écrits doivent permettre à l'élève de garder trace de ce qu'il a appris en calcul en ligne : •ses productions, et en regard une correction assortie de quelques mots d'explication de l'erreur dans le cas où elles sont erronées ; ces traces sont accessibles dans un cahier ; •un écrit produit par l'élève ou par un groupe d'élèves explicitant une stratégie de calcul à retenir ; la formulation de ce type de texte peut-être provisoire et évolutive ; •un texte construit dans la classe de façon collaborative, ou éventuellement un écrit proposé par le professeur, en synthèse d'un temps de travail.

Mémorisation de faits numériques

Pour calculer, il faut au moins disposer d'un répertoire de résultats connus ou rapidement reconstructibles et de quelques procédures " routinisées ». Il est nécessaire de d'établir des " ponts » entre les résultats. → 8+5=13 13-5=8 → l'écart entre 15 et 3 est égal à 8 ➔Les relations entre ces résultats se mettent en place progressivement (et davantage au cycle 3)

2 types d'élèves sur la

mémorisation des faits : Les " mémorisants » qui ont stocké en mémoire tout le répertoire additif et qui répondent de manière réflexe

Les " reconstructeurs » qui n'ont stocké en

mémoire qu'une partie du répertoire et qui reconstruisent plus ou moins rapidement le résultat en s'appuyant sur des résultats connus ex : pour 7+8, passent par 7+7=14 et 14+1=15

NB : Il est vain de vouloir obtenir de tous une

mémorisation complète

Qu'est-ce que connaître ses tables ?

Par exemple pour " 7 + 6 » :

• donner rapidement " 7 + 6 = 13 » • savoir ce qui manque à 6 pour faire 13 :

6 + ... = 13 ou 13 - 6 = ...

• savoir comment aller de 7 à 13 :

7 + ... = 13 ou 13 - 7 = ...

• connaître une décomposition de 13

Les conditions de mémorisation des tables

• Compréhension de l'opération en jeu : L'élève est d'abord capable de calculer " quatre plus trois » parce qu'il est capable d'évoquer " quatre objets réunis avec trois objets » ou parce qu'il sait que le résultat est le nombre qui est situé " trois après quatre » sur la bande numérique, donc parce que l'addition a du sens pour lui. Il n'y a pas encore mémorisation et, pourtant, c'est la première

étape de la mémorisation.

• Prise de conscience de la nécessité d'un répertoire : Dans un premier temps, l'enseignant peut recenser des résultats au fur et à mesure qu'ils sont élaborés par les élèves (sans ordre déterminé), les noter sur une affiche et permettre aux élèves d'y avoir recours pour répondre à des questions, sans qu'il soit nécessaire de les reconstruire : il s'agit d'une première étape vers la mémorisation. Progressivement, ce répertoire est ensuite organisé, complété et structuré en tables.

Les conditions de mémorisation des tables

• Capacité à élaborer les résultats connus pour en construire d'autres : " Quatre plus trois, c'est un de plus que trois plus trois ». La mise en place de points d'appui est une étape décisive de la mémorisation. • Entraînement des résultats mémorisés : La mémorisation est favorisée par l'entraînement et, probablement, par la diversité des représentations mises en jeu. Document issu de la circonscription de Royan - Charente Maritime

Comment réaliser cet apprentissage ?

La répétition (à condition qu'il ne soit pas le seul moyen utilisé) La façon dont a été réalisé la mémorisation (récitation de la comptine) Meilleure mémorisation quand on a compris, quand il y a du sens ou que cela a un intérêt pour soi. Meilleure mémorisation d'un ensemble d'éléments structurés, organisés entre eux (appui sur les doubles, passage à la dizaine, commutativité de l'addition ...)

Pourquoi faire du calcul en ligne ?

• construire puis travailler la compréhension de la notion de nombre et des propriétés de la numération décimale de position (ex : 26x12 en ligne pour éclairer le calcul posé de 26x12) • développer la connaissance des nombres (richesse des décompositions) • découvrir et utiliser les propriétés des opérations • développer des habiletés calculatoires • construire progressivement des faits numériques et des procédures élémentaires qui seront utiles pour mener des calculs posés et permettront de traiter des calculs (mentaux ou en ligne) plus complexes • développer des compétences dans le cadre de la résolution de problèmes, par exemple au niveau du choix des opérations • travailler le sens des opérations • participer au développement des six compétences opérationnelles Développement des 6 compétences opérationnelles

•Chercher : lorsque l'élève s'engage dans une démarche ; il teste plusieurs pistes, compare leur efficacité

et s'engage dans l'une d'elles.

•Représenter : lorsque l 'élève choisit une écriture d'un nombre entier ou décimal adaptée au traitement

d'un calcul (décompositions, unités de numération, écriture fractionnaire, etc, ...) ou lorsqu'il passe d'une

écriture à une autre. Utiliser une représentation pour traiter un calcul (dessin, schéma, arbre de calcul,

diagramme, graphique, écritures avec parenthèses, ...) relève aussi de cette même compétence.

•Raisonner : lorsque l 'élève choisit une démarche pour mettre en oeuvre un calcul, compare un ordre de

grandeur calculé et un résultat, vérifie ses résultats, organise des données numériques multiples ou

combine plusieurs étapes de calcul, ...il mobilise la compétence " raisonner ».

•Calculer : cette compétence est mobilisée dans le calcul mental, en ligne, et posé; elle peut aussi l'être

dans le calcul instrumenté lorsque une organisation réfléchie des calculs est nécessaire. Lorsqu'il fait des

choix pour organiser un calcul et anticipe sur l'effet de ces choix.

•Communiquer : lorsque l 'élève utilise à l'oral ou à l'écrit, le langage naturel ou des écritures symboliques

(utilisation des chiffres pour écrire des nombres, utilisation des symboles +, -, ×, ÷, =, etc, ..., utilisation de

l'écriture décimale ou fractionnaire, etc, ...) pour expliciter des démarches, argumenter des raisonnements

et présenter des calculs.

Comment enseigner le calcul en ligne ?

Une séquence en 4 étapes :

1) découverte de nouveaux savoirs, en particulier de

nouvelles procédures de calcul, explicitation de ces savoirs visant l'élaboration d'une trace écrite ;

2) appropriation et entraînement régulier en vue de

rendre les procédures disponibles pour l'élève ;

3) réinvestissement régulier ;

4) évaluation.

Etape 1 : explicitation

Ex: expliquer la construction des tables de + ou X, expliciter une stratégie : + 9, x 20, x 200... → Production d'un écrit pour expliciter les stratégies → Des séances sur un temps plus long (25 - 30 min)

Etape 2 : Entrainement

- utiliser une règle déjà construite - restituer des résultats mémorisés - accroître la vitesse de restitution (faits/ procédures) → Des séances courtes et fréquentes (15min)

Etape 3 : Réinvestissement

Mobiliser les connaissances dans d'autres

contextes: dans les problèmes, sur d'autres supports (jeux) → Des séances de durée moyenne (20- 30 min)

Etape 4 : Evaluation

En fonction des connaissances : varier les formes

d'évaluation (ceintures, ...) → Des séances de durées variables (5 - 15min) + Etape de révision

3 semaines après : faire le point et réinvestir ce

qui a été vu Utilisation de situations de façon massée pour l'appropriation d'une procédure Utilisation de situations de façon filée pour favoriser le réinvestissement de diverses procédures.

Mises en commun

Réaliser le plus souvent possible des mises en commun durant lesquelles les élèves peuvent donner à voir et expliciter oralement leurs démarches, qu'elles soient correctes ou erronées, abouties ou non. Le fait que les élèves écrivent ou présentent eux-mêmes la trace de leurs raisonnements (par exemple à l'aide d'un visualiseur) permet de faire émerger toutes les erreurs et les difficultés. Dans le cas où l'élève n'a pas écrit sa démarche, l'enseignant traduit par écrit ce que dit l'élève, en veillant à ne pas interpréter. → Le repérage des erreurs est essentiel et doit se poursuivre par la recherche de leurs causes

La différenciation

La différenciation peut concerner la difficulté des calculs ou bien le temps imparti pour les effectuer. Ce qui importe avant tout c'est que les élèves puissent s'évaluer et constater leurs progrès, car le sentiment de progresser est un facteur essentiel de la motivation.quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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