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XIII. LES MIROIRS SPHERIQUES

Exercices de niveau A

Dans ces exercices, les écueils sont les mêmes que pour les lentilles ǣ †ǯ—‡ "ƒ"-ǡ Žǯ—-‹Ž‹•ƒ-‹‘

les lentilles.

La nouvelle difficulté réside dans le discernement des rayons incident et réfléchi car tous

deux se situent avant le miroir. (Dans le cas des lentilles, le rayon émergent faisait suite au rayon incident.)

Exercice XIII-A1

a) On utilise un miroir sphérique convexe de rayon R = 1,2 m. Quelle est la valeur algébrique de

b) On considère un miroir sphérique concave de rayon R = 1,2 m. Quelle est la valeur algébrique

a) Par définition :

1,2R SC m

' 0,62 Rfm

Le miroir convexe est divergent.

1 2 i) D'aprğs le grandissement de Newton : 2 1,2

0,6 1,2 0,6

0,6

FSFA FS mFA

SA SF FA m

SA m L'objet est rĠel car situĠ aǀant le miroir. ii) D'aprğs les relations au sommet : '1'2

1 1 2 2 1 2

0,6 ' 0,32

SASA SASA

SA SA SC SA SA SC

SCSA m SA m

iii) D'aprğs les relations au centre : '1'2

1 1 2 2 1 2

CACA CACA

CA CA CS CA CA CS

3 1,82

1,2 1,8 0,6

CSCA m

SA SC CA m

AA'FC b) Par définition :

1,2R SC m

' 0,62 Rfm

Le miroir concave est convergent.

1 2 i) D'aprğs le grandissement de Newton : 2 1,2

0,6 1,2 0,6

0,6

FSFA FS mFA

SA SF FA m

SA m L'objet est ǀirtuel car situĠ aprğs le miroir. ii) D'aprğs les relations au sommet : '1'2

1 1 2 2 1 2

SASA SASA

SA SA SC SA SA SC

0,6 ' 0,32

SCSA m SA m

iii) D'aprğs les relations au centre : '1'2

1 1 2 2 1 2

CACA CACA

CA CA CS CA CA CS

3 1,82

1,2 1,8 0,6

CSCA m

SA SC CA m

AA'FC

Exercice XIII-A2 : miroir de dentiste

est son rayon ? D'aprğs les conditions d'obserǀation, l'objet est rĠel conclusions ͗ le miroir est concaǀe, l'objet est entre Les relations avec origine au sommet s'imposent ici miroir. ''5

1 1 2 1 1 2

'5

52,5 ' 52

SASA SASA

SA SA SC SA SA SC

SAR SC cm SA cm

Exercice XIII-A3 : image du Soleil

sphérique convergent de focale 900 mm. Où se trouve cette image ? Quelle est sa taille ? L'objet est ă l'infini donc l'image est dans le plan focal image. A'F' CB'

D'aprğs la construction :

' ' ' ' 'tan

32' ' 900 tan60

' ' 8,4

A B F B f

A B mm

A B mm

L'image est renǀersĠe.

Exercices de niveau C

plusieurs réflexions ont lieu et la difficulté consiste à bien les appréhender puis à les

traduire correctement. Les deux exercices C4 et C5 traitent de modélisations des télescopes de Newton et de meilleur stigmatisme.)

Exercice XIII-C1 : deux réflexions successives

Un miroir sphérique concave et un miroir sphérique convexe de même rayon R = 30 cm ont leurs

faces réfléchissantes en regard, leurs sommets étant distants de 60 cm. Un objet de 6 cm de une réflexion sur le miroir concave puis une réflexion sur le miroir convexe. (Bien entendu la

lumière continue à se réfléchir mais on ne considère que ces deux premières réflexions. Voir

Les réflexions successives produisent les images suivantes :

1211''MMAB AB A B

Pour le premier miroir, d'aprğs les relations au sommet :

1 1 1 1 1

1

1 1 1 1 1

1 11 11 11 1 1 1 1 2

1 2 1 2 1

30 24

1 2 4 5 3 1

30 4 24 5 120 40

40

40 51,724 3

S A S A S C

cmS A S C S A cmSA

S A cm

SA SA B L'image intermĠdiaire est renǀersĠe et agrandie. Pour le second miroir, d'aprğs les relations au sommet :

2 2 1 2 2

2 1 2 1 1 1

1

2 2 2 2 1

1 1 2

60 40 20

1 2 1 2 1

30 20'

S A S A S C

S A S S S A cm

cmS A S C S A 1 2 2 2 2 21

1 2 2 3 7

30 2 20 3 60'

60' 8,67

'60 1 30,437 20 7 cmSA

S A cm cm

SA SA B L'image est droite et rĠduite par rapport ă l'image intermédiaire.

Le grandissement total s'Ġcrit :

125 3 50,713 7 7

B L'image est renǀersĠe et rĠduite par rapport ă A' B' C1 C2S1 S2 A B A1 B1 Un rayon issu de B se réfléchit sur M1 en passant par B1 puis sur M2 en semblant provenir de B'. Le rayon tracé est trğs inclinĠ sur l'adže et l'objet n'est pas à la même échelle que le rayon des miroirs. En réalité le rayon peut ensuite se réfléchir sur M1 et encore sur M2 et ainsi de suite.

Exercice XIII-C2 : suite de XIII-C1

ensuite une réflexion sur le miroir concave. Les réflexions successives produisent les images suivantes :

2122'' ''MMAB A B A B

D'abord pour le miroir M2, d'aprğs les relations au sommet :

2 2 2 2 2

2 2 1 1

1

2 2 2 2 2

1 22
1 1 2

60 24 36

1 2 1 2 1

30 36

1 2 6 5 17

30 6 36 5 180

S A S A S C

S A S S S A cm

cmS A S C S A cmSA 22
22
2

18010,617

180 1 50,7117 36 17a

S A cm cm

SA SA B L'image intermĠdiaire est droite et rĠduite. Puis pour le miroir M1, d'aprğs les relations au sommet :

1 1 2 1 1

1 2 1 2 2 2

1 1 2

180 12006017 17

S A S A S C

S A S S S A cm

1

1 1 1 1 2

1 1 1 1 12

1 2 1 2 17

30 1200''

1 2 40 17 63 21

30 40 1200 1200 400''

400'' 19,021

''400 17 170,2721 1200 63b cmS A S C S A cmSA

S A cm cm

SA SA B L'image est renǀersĠe et rĠduite par rapport ă

Le grandissement total s'Ġcrit :

5 17 5' 0,0817 63 63ab

B L'image est renǀersĠe et rĠduite par rapport ă A'' B'' C1

C2S1S2A

B A2 B2 Un rayon issu de B se réfléchit sur M2 en semblant provenir de B2 puis sur M1 en passant par B''. Le rayon tracĠ est trğs inclinĠ sur l'adže et l'objet n'est pas à la même échelle que le rayon des miroirs. En réalité le rayon peut ensuite se réfléchir sur M2 et encore sur M1 et ainsi de suite.

Certaines armoires de toilette ou des penderies

permettent de voir ces successions d'image mais leurs miroirs étant plans les images sont toutes de la même taille. Exercice XIII-C3 : équivalence dun système de deux miroirs

Un miroir sphérique concave de rayon R1 reçoit la lumière émise par un objet ponctuel A situé

sur son axe optique. La lumière réfléchie frappe un deuxième petit miroir sphérique convexe de

rayon R2. Les deux miroirs sont concentriques (leurs centres sont confondus en un point O). La

lumière émergente sort du système par une petite ouverture réalisée autour du sommet du

grandissement. Commenter le résultat. Les réflexions successives produisent les images suivantes :

1211''MMAB AB A B

Les relations de conjugaison avec origine au centre donnent : 111
212

1 1 2 2(1)

1 1 2 2(2)'

ROA OA OS

ROA OA OS

On obtient en soustrayant (1) de (2) :

12

2 1 1 2

1 1 2 22'

RR

R R R ROA OA

Les relations de grandissement avec origine au

centre donnent : 1 12 1 ''OAOA OA

OA OA OA

Ce sont les relations de Descartes (conjugaison et grandissement) pour une lentille sphérique mince

de distance focale image : 12 12 '2 RRfRR

Cette distance est positive. Le système est équivalent à une lentille sphérique mince convergente, placée en O.

OS1S2AA'A1

Exercice XIII-C4 : télescope de Newton

lentille sphérique mince convergente de distance focale image f ǯ2 = 9 mm. Le télescope est pointé vers Mars dont le diamètre angulaire est alors F '1

F ''1F2

optique du miroir concave montre le fonctionnement du télescope. Il émerge parallèlement à

i) Image intermédiaire ͗ L'objet (Mars) est ă l'infini donc son image intermédiaire se forme dans le plan focal image de l'objectif. A'F' CB' 1 Dans le triangle A'B'C rectangle en C, par définition de la tangente, il vient : 11 1 ''tan ' ' ' ' tan ''

ABd où A B CF CFCF

B avec

20 2020'' .60.60 60.60 180rad

et

1' 9002

RCF mm

20' ' 900.60.60180A B mm

B soit

2' ' 8,7.10A B mm

B D'aprğs le schĠma, l[]uPintermédiaire est renversée. ii) Image finale ͗ L'image intermĠdiaire est situĠe

L'image finale est donc rejetĠe ă l'infini.

O 'FA' B' 2

Dans le triangle A'B'O rectangle en O, par

définition de la tangente, il vient : 1 2 2 2 '' ' ' 'tan ' 'CFA B A BsoitOF OF OF BB

ɲ[ у 9,7.10-3 rad у 33[

D'aprğs le schĠma, l[oculaire ne redresse pas l'image. L'image finale reste renǀersĠe. iii) Par définition du grossissement du télescope : 'G avec : 1 2 f f B 1 2 '900100'9 fGGf

Exercice XIII-C5 : télescope de Cassegrain

Il s'agit d'un tĠlescope donc l'objet observé se trouǀe ă l'infini ! L'image intermĠdiaire se forme donc dans le plan focal image du premier miroir. Ce qui se résume par le diagramme :

111'MA A F

L'image intermĠdiaire sert d'objet pour le second miroir qui doit en donner une image située en S1.

Ce qui se résume par le diagramme :

21 1 1'MA F S

La relation de conjugaison avec origine au sommet donne alors :

2 1 2 1 2 2

1 1 1 'S S S F S F

2 1 2 1 1 1 2 2

1 1 1quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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