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M1 TTS - UFR STEP - Université Paris 7 Cours d"Optique et Physique des Ondes Partie 3 : Les ondes électromagnétiques dans le vide

1 Rappels d"électromagnétisme

1.1 Propriétés du champ électrique en électrostatique

L"interaction entre deux charges ponctuellesq1;2séparées d"une distancer12est décrite par la loi de

Coulomb, valable quel que soit le référentiel :

F1!2=14oq

1q2r 212~u
r1!2=~F2!1(1)

où le vecteur unitaire~ur1!2pointe de la chargeq1vers la chargeq2. Cette force est répulsive lorsque

les deux charges sont de même signe, et attractive lorsqu"elles sont de signes contraires. La constante

o8:85102est la permittivité du vide. Par définition,14o= 107c2(oùcest la vitesse de la lumière) caro= 4:107N:A2etc2oo= 1. Je

Les deux charges ci-dessus interagissent par l"intermédiaire duchamp électriqueque chacune d"elle

produit dans son voisinage. La force~F1!2exercée par la chargeq1sur la chargeq2est le produit de

la charge "réceptrice"q2et du champ produit par la charge "source"q1(enM1) au point occupé par la

chargeq2(enM2) : ~F1!2=q2:~E1!2(2)

De façon générale, une charge isoléeq2située au pointM2, en présence d"un champ électrique~E(M2),

subira donc une force ~F2de la forme :

F2=q2:~E(M2)ou bien~Fe=q~E(3)

où le champ ~Es"obtient parsuperpositiondes champs créés par l"ensembles des charges (à l"exclusion deq) occupant l"espace. En supposant une distribution de charges continue, on note(M)ladensité de

chargeau voisinage du pointM. Celle-ci est égale à la somme algébrique des chargesQcontenues dans

le volume élémentaired, divisée par ce volume : =Q=d(4)

Le champ électrique résultant

~Eau pointM2peut être exprimé sous la forme d"une intégrale volumique :

E(M2) =14o

espace(M1)r 2

1!2:~u

r1!2d(M1)ou~E=14o espace (~r0) ~r0~rjj ~r0~rjj3d3r0(5)

En reprenant l"expression du champ électrique (équation 5), en se rappelant que le champ électrique

~E dérive d"un potentiel électrostatiqueV(i.e. :~E=!rV), et en remarquant que!r1jrj =~ur1!2r 2 1!2, le potentielVs"écrit :

V(M2) =14o

espace(M1)jr1!2jd(M1)(6)

En pratique, ces intégrales volumiques sont souvent difficiles à calculer pour une distribution quelconque

de charges. Néanmoins, dans les cas où la distribution de charges présente certaines symétries, le champRaphaël Grandin - IPGP - grandin@ipgp.fr Version du21 août 2017

Partie 3: ONDES ELECTROMAGNETIQUES DANS LE VIDE

Ehéritera lui-aussi d"une structure symétrique qui rendra le calcul de l"intégrale plus aisé pour des vo-

lumes d"intégration bien choisis.

En revanche, une propriété fondamentale du champ électrique permet de transformer le calcul de l"in-

tégrale volumique en un calcul, plus simple, d"intégrale surfacique. Il s"agit duthéorème de Gauss, qui

indique que lefluxdu champ~Eà travers une surface ferméeest égal à la charge totaleQintcontenue

dans le volumeVdélimité par, le tout divisé paro: ~E:!dS=Qint oavecQint= V d(7)

Cette propriété découle de la naturenewtoniennede l"interaction coulombienne : la force d"interaction

électrique associée à~Eest (1) une force centrale (car le vecteur~Eest radial) et (2) elle décroît en1=r2. La

force d"attraction gravitationnelle partage ces caractéristiques et obéit elle aussi au théorème de Gauss

1.

Lethéorème d"Ostrogradskipermet de transformer cette relation intégrale en une relation locale. Ce

théorème donne la relation entre le flux d"un champ vectoriel~Cà travers une surface ferméeet

l"intégrale volumique de ladivergencedu champ~Cà l"intérieur du volumeVcorrespondant : ~C:!dS= V div~Cd= V !r:~C d(8) où l"on rappelle que !rest l"opérateur différentiel "nabla"2. Le théorème d"Ostrogradski appliqué au théorème de Gauss (équation 7) donne : ~E:!dS= V !r:~E d=1 o V d=)!r:~E= o(MG)(9)

Cette équation est exactement l"équation deMaxwell-Gauss. Elle permet de relier le champ~Eà sa source

(la distribution de charge).1. On peut aisément montrer que le théorème de Gauss fonctionne pour une chargeqcentrée en un pointM, en calculant

le flux de~Esur deux sphères centrées surMet de rayons différents. Il est évident que dans ce cas le champ~E, qui est

radial, est en tout point perpendiculaire à la surface des sphères. La surface d"intégration infinitésimaledScorrespond à un

angle solided

=dS=r2= (~u:d~S)=r2, ce qui implique que la surface d"intégration augmente comme le carré du rayon. En

revanche, le champ

~Esur la surface d"une sphère centrée enMdiminue comme l"inverse du carré du rayon. Par conséquent,

le produit de la surface par la valeur du champ (i.e. le flux) demeure constant.

2.Opérateurs différentiels: pourUun champ scalaire et~Cun champ vectoriel, on écrit :8

gradU=!r:U div ~C=!r:~C!rot~C=!r ^~C.

On a aussi :dU=!gradU:!dM(différentielle totale, vrai quel que soit le système de coordonnées).

En coordonnées cartésiennes, on a :U=U(x;y;z)et~C=0 B BB@C x(x;y;z) C y(x;y;z) C z(x;y;z)1 C

CCA. On en déduit :!r=0

B

BBBBB@@@x

@@y @@z 1 C

CCCCCA.

D"où :

!gradU=0 B

BBBBB@@U@x

@U@y @U@z 1 C

CCCCCA;div~C=@Cx@x

+@Cy@y +@Cz@z ;!rot~C=0 B

BBBBB@@C

z@y @Cy@z @C x@z @Cz@x @C y@x @Cx@y 1 C

CCCCCA.

Laplacien: Le Laplacien =!r:!r=!r2est un opérateur pouvant être appliqué à un champ scalaireUou à un

champ vectoriel~C. On parle alors de Laplacien scalaire ou de Laplacien vectoriel, respectivement. Il s"écrit, en coordonnées

cartésiennes :

Laplacien scalaire :U=@2U@x

2+@2U@y

2+@2U@z

2. Laplacien vectoriel :~C=0

@Cx Cy Cz1 A =0 B

BBBBB@@

2Cx@x

2+@2Cx@y

2+@2Cx@z

2 2Cy@x

2+@2Cy@y

2+@2Cy@z

2 2Cz@x

2+@2Cz@y

2+@2Cz@z

21
C

CCCCCA

Propriétés:div (!gradU) =!r:(!rU) = (!r:!r)U= U;div (!rot~C) =!r:(!r ^~C) = 0 !rot (!gradU) =!r ^(!rU) = (!r ^!r)U=~0

!rot!rot~C=!r ^(!r ^~C) = (!r:~C):!r (!r:!r):~C=!grad ( div~C)~C.Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 2

Partie 3: ONDES ELECTROMAGNETIQUES DANS LE VIDE

Enfin, commé évoqué brièvement ci-dessus, la force d"interaction coulombienne étant conservative, il est

possible d"écrire le champ électrique comme (moins) le gradient d"unpotentiel électrostatiqueV:

E=!gradV=!rV(10)

Puisque

~Epeut s"écrire sous la forme d"un gradient, et en remarquant que!r ^!r=~0, en prenant le rotationnel de l"équation 10 on déduit que : rot~E=~0()!r ^~E=~0(11)

Cette dernière propriété intrinsèque du champ électrique ne comptera pas parmi les équations de Max-

well, car elle n"est valable qu"en électrostatique. Une version modifiée de cette équation sera introduite

par la suite.

Pour terminer, en prenant la divergence de l"équation 10, on aboutit à l"équation de Poisson de l"électro-

statique: V+ o= 0(12)

où l"opérateur =!r2est le l"opérateur Laplacien. Cette équation relie le potentiel électrique à la

source du champ électrique.

1.2 Propriétés du champ magnétique en magnétostatique

La force magnétique subie par une chargeqen mouvement à la vitesse~ven présence d"un champ magnétique~Bs"écrit :

Fm=q ~v^~B(13)

À la différence de l"expression de l"interaction coulombienne (équation 1), cette expression fait directe-

ment apparaître le champ magnétique, sans que ne soit décrite la cause de ce champ. Cette cause est

mise en lumière par laloi de Biot et Savart: les courants électriques produisent un champ magnétique

dans leur voisinage. Cette conclusion a été tirée de l"expérience, en constatant qu"une boucle de courant

électrique produisait sur une boucle de courant voisine une force similaire à celle que produirait un ai-

mant.

Mais d"abord, qu"est-ce que le courant électrique? Le courant électrique est la manifestation dumouve-

mentcollectif d"un grand nombre de charges. La densité de courant~jest définie comme le nombreN

de chargesqpar unité de volume (i.e. la densité de chargeq) se déplaçant à la vitesse~vau sein de ce

volume : ~j=Nq~v=~v(14)

Il s"agit donc d"une définition locale. En réalité, chaque charge peut avoir un vecteur vitesse différent. Le

vecteur~vest ici un vecteur vitesse "moyen". L"intensité du courant électriqueIest simplement égale au

nombre de charges passant à travers une surfacepar unité de temps. Elle est obtenue en intégrant la

densité de courant sur la surface: I= ~j:~ndS= ~j:!dS(15)

On constate ici que si les porteurs de charges sont de charge négative (par exemple des électrons libres),

le courantIcircule dans la direction opposée à la direction de déplacement physique des porteurs de

charge.

Au passage, de cette définition, on peut déduire uneloi de conservation de la chargeen considérant une

surfacefermée : puisque la surface est fermée, le courant total qui la traverse est égal à la variation

temporelle de la charge intérieure : ~j:~ndS=ddt(Qint)avecQint= V d(16)Cours d"Optique et Physique des Ondes - 2016/2017 3

Partie 3: ONDES ELECTROMAGNETIQUES DANS LE VIDE

L"application du théorème d"Ostrogradski (équation 8) permet de transformer la loi de conservation de

la charge sous forme intégrale en sa forme locale : r:~j=@@t(CC)(17) Finalement, la loi de Biot et Savart permet de relier le champ magnétique ~Bau pointM2résultant d"une boucle de courant parcourue par un courant d"intensitéIau pointM1:

B(M2) =o4

I!dl(M1)^~ur1!2r

2

1!2(18)

En procédant à la substitutionI

!dl espace ~jd, cette relation permet d"aboutir à l"expression du champ magnétique résultant d"une distribution spatiale quelconque de courants ~j:

B(M2) =o4

espace~ j(M1)^~ur1!2r 2

1!2d(M1)ou~B=o4

espace~ j(~r0)^~r(~r0)r

3d3r0(19)

De cette relation, on déduit que le champ magnétique ~Best unvecteur axial. Encore une fois, la forme

très spéciale prise par l"expression du champ magnétique (décroissance en1=r2) permet d"aboutir à une

relation d"un intérêt pratique plus large. Il s"agit duthéorème d"Ampère3. Ce théorème indique que la

circulation du champ~Bsur un contourest égale à l"intensité du courant électrique passant à travers

la surfacedélimitée par, le tout divisé paroc2: ~B:!dl=Ià travers oc2avecIà travers= ~j:!dS(20)

Lethéorème de Stokespermet de transformer cette relation intégrale en une relation locale. Ce théorème

donne la relation entre la circulation d"un champ vectoriel~Cle long d"un contour ferméet l"intégrale

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