[PDF] Introduction a la Topologie - Université Grenoble Alpes

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Introduction a la Topologie

Licence de Mathematiques

Universite de Rennes 1

Francis Nier

Dragos Iftimie

2 3

Introduction

Ce cours s'adresse a des etudiants de Licence en mathematiques. Il a pour objectif de donner les bases en topologie indispensables a toute formation en mathematiques. Il ne s'agit pas d'un traite complet sur le sujet, qui n'est pas neuf. De nombreux livres parfois tres fournis (ceux donnes dans la bibliographie par exemple) existent deja. Nous avons cherche, compte tenu des contraintes de volume horaire, d'acquis des etudiants en premier cycle et d'exigences pour la suite du cursus, a degager les points cles permettant de structurer le travail per- sonnel de l'etudiant voire de faciliter la lecture d'autres ouvrages. Par exemple, il nous a semble important de ne pas nous limiter aux espaces metriques de facon a ce que le langage de la topologie generale ne soit plus un nouvel obstacle a franchir (de plus les topologies non metrisables arrivent tres vite : conver- gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski...). Nous avons laisse de c^ote, en le signalant, la notion de ltre qui a ce niveau introduirait plus de confusion qu'autre chose mais qui apres coup ne presentera pas de diculte majeure pour l'etudiant ayant assimile ce cours. De la m^eme facon, nous avons evite les discussions autour de l'axiome du choix, nous limitant au niveau de la theorie des ensembles aux operations ensemblistes rappelees dans le premier exercice. Ainsi le theoreme de Tychono est demontre dans le cas metrisable. De m^eme, on ne parle pas du theoreme de Hahn-Banach qui s'integre plus naturellement dans un cours d'Analyse Fonctionnelle, mais il y a un ou deux exercices sur la separation des convexes en dimension nie. Nous avons inclus dans ce texte une liste d'exercices. Ceux-ci de diculte variee repondent a une double necessite. Il est important de jongler avec les dierents concepts introduits en cours et m^eme de faire certaines erreurs une fois pour bien identier les pieges. Les exercices permettent d'orienter les raisonnements vers d'autres domaines des mathematiques (algebre, analyse, geometrie), cela an d'exhiber l'inter^et et l'omnipresence des arguments topologiques. Les choses supposees connues correspondent au programme du premier cycle. Elles interviennent dans les demonstrations et dans les exemples qui donnent corps aux nouvelles denitions. Il s'agit de

1)Techniques ensemblistes : operations ensemblistes, relations, fonctions, no-

tion de denombrabilite.

2)Analyse elementaire sur la droite reelleR: Le corps des reels deni comme

corps archimedien contenantQet veriant la propriete de la borne superieure, suites reelles, intervalles, fonctions continues deRdansR, derivation.

3)Algebre lineaire et bilineaire : Espaces vectoriels, bases, applications lineaires,

calcul matriciel, determinants, produit scalaire.

4)Fonctions de plusieurs variables, derivees partielles.

5)Convexite d'un ensemble, d'une fonction.

4 D'autres notions intervenant dans les exercices (fonctions holomorphes, dierentielle) seront rappelees, si besoin est, en Travaux Diriges. Conseils pratiques aux etudiants :Ce polycopie ne dispense pas d'assister aux amphis ni de prendre des notes complementaires. Il est la pour eviter un travail de copie qui emp^eche parfois de se concentrer sur les explications donnees oralement. Ce cours presente au moins deux dicultes : 1) Pour les etudiants venant du DEUG, c'est la premiere fois qu'ils sont serieusement confrontes a une demarche axiomatique. Se convaincre de l'inter^et des notions abstraites et identier leur domaine de validite demande du travail. Une facon de faire est de chercher a resoudre le maximum d'exercices par soi-m^eme. 2) Un vocabulaire nouveau et precis doit s'acquerir. Il est important de comprendre et apprendre le cours au fur et a mesure. Une bonne facon de tester l'assimilation du cours est de le refaire mentalement a partir de la table des matieres bien detaillee. L'index donne en n de polycopie aidera a revenir rapidement sur une denition ou un enonce precis. Nous tenons a remercier Jacques Camus dont le polycopie precedent et les conseils nous ont aides a calibrer ce cours, ainsi que Karim Bekka, Bas Edix- hoven, Isabelle Gruais, Jean-Marie Lion, Laurent Moret-Bailly, Michel Pierre et Jean-Claude Tougeron dont les suggestions et remarques ont ete utiles.

Table des matieres

1 Espaces metriques,

Espaces topologiques. 1

1.1 Espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Proprietes de la distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Parties bornees, fonctions bornees . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.6 Distance entre deux parties, diametre . . . . . . . . . . . 5

1.1.7 Norme, espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Denition, ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Topologie des espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4 Exemples d'espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.5 Voisinages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.6 Bases d'ouverts, bases de voisinages . . . . . . . . . . . . 10

1.2.7 Sous-espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Adherence, interieur, exterieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Adherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.2 Interieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.3 Frontiere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.1 Limite d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4.2 Espace topologique separe, unicite de la limite . . . . . . 17

1.4.3 Limite et adherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4.4 Limite d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.1 Continuite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5.2 Proprietes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.5.3 Continuite globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5.4 Homeomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5.5 Uniforme continuite et Lipschitz continuite . . . . . . . . 24

5 6

1.5.6 Prolongement par continuite . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.7 Limite uniforme de fonctions continues . . . . . . . . . . 28

1.6 Comparaison de topologies, comparaison de distances . . . . . . 29

1.6.1 Topologies plus ou moins nes . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.6.2 Equivalencesde distances . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7 Topologie produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7.2 Topologie produit et continuite . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7.3 Produit d'espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7.4 Topologie produit et convergence simple . . . . . . . . . 36

1.8 Topologie quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Connexite 41

2.1 Denition, exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1.2 Exemple fondamental : les connexes deR. . . . . . . . . 42

2.2 Fonctions continues et connexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Union, adherence et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.1 "Union" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.2 Adherence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.3 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.4 Connexite par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Compacite 47

3.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Compacite des espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Proprietes des compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1 Compacts et fermes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.2 Union, intersection, produit . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Fonctions continues et compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.1 Image d'un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.4.2 Compact et uniforme continuite . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5 Espaces localement compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Espaces vectoriels normes 57

4.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.1 Denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.3 Applications lineaires continues . . . . . . . . . . . . . . 59

4.1.4 Algebre normee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2 Compacite et consequences

dans les espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.2.1 Dimension nie, dimE=n <1. . . . . . . . . . . . . 62

7

4.2.2 Dimension innie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.3 Espace vectoriel norme quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5 Espaces metriques complets 69

5.1 Suites de Cauchy, espaces metriques complets, exemple fonda-

mental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.1 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.1.2 Espace metrique complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1.3 Exemple fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1.4 Un autre exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Proprietes des espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.1 Fermes de complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.2 Union de complets et completude des compacts . . . . . 72

5.2.3 Produit d'espaces complets . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4 Applications de la completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4.1 Un exemple avec les series . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4.2 Prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4.3 Point xe des applications contractantes . . . . . . . . . 76

5.5 Complete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6 Proprietes des espaces de fonctions continues 81

6.1 Theoreme de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.1.1 Enonce et consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.1.2 Demonstration du theoreme . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2 Theoreme d'Ascoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2.1 Condition necessaire a la compacite . . . . . . . . . . . . 86

6.2.2 Condition necessaire et susante . . . . . . . . . . . . . 87

7 Espaces de Hilbert 91

7.1 Generalites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.1.1 Espaces prehilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.1.2 Espaces hilbertiens, Theoreme de la projection . . . . . . 93

7.2 Applications du Theoreme de la projection . . . . . . . . . . . . 96

7.2.1 Sous-espace orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.2.2 Theoreme de representation de Riesz . . . . . . . . . . . 98

7.2.3 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8 Exercices 103

8.1 Espaces metriques. Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . 103

8.2 Connexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.3 Compacite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.4 Espaces vectoriels normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.5 Completude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8

8.6 Proprietes des espaces de fonctions continues . . . . . . . . . . . 133

8.7 Espaces de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Chapitre 1

Espaces metriques,

Espaces topologiques.

Dans ce chapitre, nous presentons toutes les notions de base de la topologie. Nous allons degager les structures qui permettent de parler de limiteet de continuite. L'exemple fondamental deja etudie en premier cycle est le cas deR et deRn. La theorie generale englobe bien s^ur cet exemple - qu'il faut garder en t^ete - mais conduit parfois a des situations moins intuitives.

1.1 Espaces metriques

La facon la plus immediate de parler de limite ou de continuite dans un en- sembleXest de mesurer de facon quantitative l'ecart entre les points1et d'introduire pour cela une distance.

1.1.1 Denitions

Denition 1.1.1.SoitXun ensemble. Une distancesurXest une application d:XX!Rveriant2pour toutx;y;z2X: i)(d(x;y) = 0),(x=y); ii)d(y;x) =d(x;y)(symetrie); iii)d(x;z)d(x;y) +d(y;z)(inegalite triangulaire). Denition 1.1.2.Un espace metriqueest un couple(X;d)ouXest un en-

semble etdest une distance surX.1En topologie, on prefere parler de points plut^ot que d'elements d'un ensemble. Cette

nuance traduit mieux l'intuition \geometrique".

2Il n'est pas necessaire de mettre dans la denition de la distanced(x;y)2R+. C'est

une consequences des axiomes i), ii) et iii) comme le montre la Proposition 1.1.4. 1

2Espaces metriques, espaces topologiques.

EXEMPLE1.1.3.L'ensemble des reels muni de la distanced(x;y) =jxyj est un espace metrique. D'autres exemples sont donnes au paragraphes 1.1.5 et 1.1.7.

1.1.2 Proprietes de la distance

Proposition 1.1.4.Une distancedsur un ensembleXverie : a)La distance est toujours positive ou nulle :

8x;y2X; d(x;y)0:

b)"La distance entre les distances est plus petite que la distance" :

8x;y;z2X;jd(x;y)d(x;z)j d(y;z):

Preuve :a) En utilisant successivement i), iii) et ii) on obtient pourx;y2X

0 =d(x;x)d(x;y) +d(y;x) = 2d(x;y):

b) En utilisant iii) on obtient pourx;y;z2X:d(x;z)d(x;y)d(y;z). Par symetrie et en utilisant ii), on a aussi :d(x;y)d(x;z)d(z;y) =d(y;z). On en deduitjd(x;z)d(x;y)j d(y;z).1.1.3 Boules Denition 1.1.5.Soit(X;d)un espace metrique, soitx2Xet soitr2 R +. On appelle boule ouverte(resp. boule fermee) de centrexet de rayonr l'ensemble

B(x;r) =fy2X; d(x;y)< rg

resp: B f(x;r) =fy2X; d(x;y)rg: Pour 0< r < r0les inclusionsB(x;r)Bf(x;r)B(x;r0) sont des consequen- ces directes de la denition. Dans les exemples ci-dessous on peut voir que ces inclusions sont souvent strictes mais pas toujours (Voir l'exemple f) ci-dessous).

1.1.4 Parties bornees, fonctions bornees

Denition 1.1.6.Soit(X;d)un espace metrique. On dit qu'une partieAde Xest bornees'il existe une boule fermeeBf(x0;r)telle queABf(x0;r),

8x2A; d(x0;x)r:

Espaces metriques.3

Compte tenu de la remarque ci-dessus sur les inclusions des boules, il est clair que l'on peut remplacer l' adjectif \fermee" par \ouverte". De plus l'inegalite triangulaire entra^ne que le caractere borne deAne depend pas du choix de x

0(avec unx00il sut de remplacerrparr0=r+d(x0;x00)).

Denition 1.1.7.SoitXun ensemble et(Y;d)un espace metrique. SiX est un ensemble on dit qu'une fonctionf:X!Yest bornee si son image f(X)est bornee. On noteFb(X;Y)le sous-ensemble deF(X;Y) =YXdes fonctions bornees.

1.1.5 Exemples

a)R:La distance usuelle est donnee pard(x;y) =jxyj. Les boules sont des intervalles. Pourx2Retr2R+, on aB(x;r) =]xr;x+r[ et B f(x;r) = [xr;x+r]. b)C:On remplace la valeur absolue par le moduled(x;y) =jxyj. La boule ouverte de centrex2Cet de rayonr >0,B(x;r), est le disque ouvert de centrexet de rayonretBf(x;r) est le disque ferme. c)KnavecK=RouC:On peut alors denir plusieurs distances faisant in- tervenir les distances entre les composantes. Pour deux elements arbi- traires deKn,x= (x1;:::;xn) ety= (y1;:::;yn), on pose : d

1(x;y) =nX

i=1jyixij; d2(x;y) =nX i=1jyixij212 etd1(x;y) = maxi2f1;:::;ngjyixij: On verie aisement qued1etd1sont des distances (i.e. verient les pro- prietes i),ii) et iii)) tandis qued2n'est rien d'autre que la distance eucli- dienne (On rappelle qu'alors l'inegalite triangulaire iii) est une consequen- ce de l' inegalite de Cauchy-Schwarz). DansR2les boules de centre 0 et de rayon 1 ont la forme suivante :+1+1

11+1+1

111
1+1+1 d 1d2d1 d)Produit ni d'espaces metriques :Si pouri2 f1;:::;ng, (Xi;i) est un espace metrique, on peut mettre comme precedemment les distancesd1,

4Espaces metriques, espaces topologiques.

d

2etd1surX=Qn

i=1Xi: d

1(x;y) =nX

i=1 i(xi;yi) d

2(x;y) =

nX i=1 i(xi;yi)2;! 12 etd1(x;y) = maxi2f1;:::;ngi(xi;yi); oux= (x1;:::;xn) ety= (y1;:::;yn) sont deux elements arbitraires de X=Qn i=1Xi. e)Distance de la convergence uniforme surFb(X;Y) :Si (Y;) est un espace metrique etXest un ensemble. L'ensembleFb(X;Y) peut ^etre muni de la distance

8f;g2 Fb(X;Y);(f;g) = sup

x2X(f(x);g(x)): On peut representer graphiquement les boules deFb([a;b];R) pour la distance de la convergence uniforme.a bxy y=f(x)y=g(x)r La boule de centrefet de rayonrest l'ensemble des fonctions dont le graphe se trouve entre les 2 courbes en pointilles (deduites defpar translation parallelement a l'axe des ordonnees). Ici, on ad1(f;g)r. f)Distance triviale :Sur un ensembleXquelconque on peut mettre la dis- tance triviale donnee par

8x;y2X; d(x;y) =0 six=y

1 sinon:

Dans ce cas on aB(x;12) =fxg=Bf(x;12) =B(x;1) tandis que B f(x;1) =Xest dierent defxg=B(x;1) siXa au moins 2 elements. h)Soit (X;d) un espace metrique et une application':R+!R+croissante sous-additive et ne s'annulant qu'en 0 : ('(u) = 0),(u= 0)

8u;v2R+; '(u)

croissante'(u+v) sousadditive'(u) +'(v)

Espaces metriques.5

Alors'dest une distance surX(cf. Exercice 5). Deux cas particu- liers sont interessants :'(u) = minf1;uget'(u) =u1+u. Les distances minf1;d(x;y)getd(x;y)1+d(x;y)ont la propriete d'^etre bornees par 1 surX et (on le verra plus loin) d'^etre topologiquement equivalentes a la dis- tanced(cf. Paragraphe 1.6.2). Quand on regardera les proprietes to- pologiques d'un espace metrique on pourra donc toujours supposer la distance bornee.

1.1.6 Distance entre deux parties, diametre

Denition 1.1.8.Soit(X;d)un espace metrique. SoitAetBdeux parties deXon appelle distance entreAetBla quantite d(A;B) = inffd(x;y); x2A;y2Bg: EXEMPLE1.1.9.Si on prendA=f0g RetB=f1n+1; n2Ngon a d(A;B) = 0 tandis queA6=B. Ainsi la distance entre les parties ne denit pas vraiment une distance surP(R) (ouP(X) en general). Il s'agit donc d'un abus de notation et il faut bien interpreterd(A;B) comme l'inmum de la distance entre les points deAet deB. Denition 1.1.10.On appelle diametred'une partieAdeXet on note

Diam(A)la quantite

Diam(A) = supfd(x;y); x2A;y2Ag:

On verie immediatement qu'une partieAdeXest bornee si et seulement si son diametre est ni.

1.1.7 Norme, espaces vectoriels normes

Un exemple important d'espace metrique sur lequel nous reviendrons plus loin est le cas des espaces vectoriels normes. On considere unK-espace vectorielE avecK=RouC. Denition 1.1.11.On appelle normesurEune application deEdansR+ habituellement noteek kveriant pour toutx;y2Eet tout2K i)kxk=jjkxk(homogeneite), ii)(kxk= 0))(x= 0),quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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