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Topologie générale

Pierron Théo

ENS Ker Lann

2

Table des matières

1 Espaces topologiques, espaces métriques1

1.1 Espaces topologiques : généralités. . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Espace topologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Notion de voisinage d"un point. . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 Bases d"ouverts et de voisinages. . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Espaces métriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Distances et espaces métriques. . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Comparaisons de structures métriques. . . . . . . . . 4

1.2.3 Cas des espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . 5

1.3 Autres exemples de topologies. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.1 Topologie induite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Topologie engendrée par une famille de parties. . . . . 6

1.3.3 Topologie produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.4 Topologie quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Intérieur, adhérence, frontière, limites. . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2 Cas des espaces métriques. . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Continuité et homéomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.2 Cas des espaces métriques. . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.3 Continuité et topologie induite. . . . . . . . . . . . . . 13

1.5.4 Continuité et topologie produit. . . . . . . . . . . . . 13

1.5.5 Continuité et topologie quotient. . . . . . . . . . . . . 15

1.5.6 Continuité et espaces vectoriels normés. . . . . . . . . 15

2 Connexité17

2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Connexes deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2 Connexes et fonctions continues. . . . . . . . . . . . . 18

2.2.3 Notion de composante connexe. . . . . . . . . . . . . 21

i iiTABLE DES MATIÈRES

3 Compacité23

3.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Compacité et espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Espace quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1 Topologie quotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.2 Supplémentaires topologiques. . . . . . . . . . . . . . 32

4 Espaces complets33

4.1 Complétude, suites de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Définition et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.2 Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Quelques théorèmes importants. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.1 Théorème du point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2.2 Prolongement des applications continues. . . . . . . . 37

4.2.3 Complétion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.4 Théorème deBaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.5 Théorème deStone-Weierstraß. . . . . . . . . . 41

4.3 Critères de complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.1 Convergence absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.2 Produits d"espaces complets. . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Exercices47

Chapitre 1Espaces topologiques, espacesmétriques1.1 Espaces topologiques : généralités1.1.1 Espace topologiqueDéfinition 1.1

SoitE?=∅. Un espace topologique est un couple (E,τ) où

Eest un ensemble etτ? P(E) tel que :

• ?(ωi)i?τI,?

i?Iω i?τ.

•τest stable par intersection finie.

•(∅,E)?τ2.

Les éléments deτsont appelés ouverts. On appelle fermés lesωci.τest la topologie surE.

Définition 1.2

(Ordre sur les topologies) SoitEmuni deτ1etτ2. On dit queτ1est plus grossière queτ2ou queτ2est plus fine queτ1ssi

1?τ2.

1.1.2 Notion de voisinage d"un point

Définition 1.3

Soit (E,τ) un espace topologique etx?E.

On appelle voisinage dextoutV?Econtenantω?τavecx?ω.

On noteVxl"ensemble des voisinages dex.

Proposition 1.1

• ?V? Vx,V?V??V?? Vx.

• ?(Vi)i? V?1,p?x,p?

i=1V i? Vx. 1 CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES, ESPACES MÉTRIQUES Théorème 1.1Soit(E,τ)un espace topologique etω?E. ωest ouvert ssiωest un voisinage de tous ses points.

Démonstration.

?Clair ?Soitx?ω.ωest un voisinage dexdonc il existe Ωx?ωouvert contenantx.

On aω??

x?ωΩ x?ω. Doncωest ouvert.

1.1.3 Bases d"ouverts et de voisinages

Définition 1.4

B?τest une base d"ouverts ssi tout ouvert est réunion d"ouverts deB. B x? Vxest une base de voisinages dex(ou système fondamental de voisinages dex) ssi?V? Vx,?B?Bx,x?B?V.

Proposition 1.2Soit∅?=B?τavec∅?B.

Best une base d"ouverts ssi?x?E,Bx={b?B,x?b}est une base de voisinages dex.

Démonstration.

?SoitBbase d"ouverts,x?EetV? Vx.

Il existeω?τavecx?ω?V. On aω=?

i?IBiavecBi?Bdonc il existei0tel quex?Bi0?ω?VetBi0?Bx.

DoncBxest une base de voisinages dex

?On suppose que pour toutx?E,Bxest une base de voisinages dex. Soitω?τetx?ω.ω? Vxdonc il existeB?Bxtel quex?B?ω. Notonsbxla réunion desBtels quex?B?ω. On aω=? x?ωb x. Donc

Best une base d"ouverts.

Proposition 1.3SoitEun espace muni de deux topologies (τ1,τ2) etBi une base d"ouverts deτi.

1?τ2ssi?x?E,?B1?B1,x,?B2?B2,x,x?B2?B1

Démonstration.

?B1?B1,x?τ1?τ2doncB1est unτ2-voisinage dexdonc, par définition deB2,x, il existeB2?B2,xtel quex?B2?B1. ?Soitω?τ1etx?ω.ωest ouvert doncτ1-voisinage dexdonc il existe B

1?B1,xtel quex?B1?ω.

Or, par hypothèse, il existeB2?B2,xtel quex?B2?B1?ω. Donc

ωest unτ2-voisinage dex.

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1.2. ESPACES MÉTRIQUES

Définition 1.5(E,τ) est séparé (deHausdorff) ssi ?x?=x??E,?(ωx,ωx?)?τ2tel quex?ωx,x??ωx?etωx∩ωx?=∅ Proposition 1.4Dans un espace topologique séparé, tous les points sont fermés. Démonstration.Montrons que{x}cest ouvert ie qu"il est voisinage de tous ses points. Soitx?=x?. Il existe (ωx,ωx?)?τ2tel quex?ωx,x??ωx?etωx∩ωx?=∅.

En particulier,x??ωx?? {x}c, ce qui conclut.

1.2 Espaces métriques

1.2.1 Distances et espaces métriques

Définition 1.6

On appelle distance surEtoute application deE2→R+ vérifiant :

•d(x,y) = 0 ssix=y

•d(x,y) =d(y,x)

•d(x,y)?d(x,z) +d(y,z).

Définition 1.7

On appelle boule ouverte (resp. fermée) de centrex?E et de rayonn?R+et on note◦B d(x,r) (resp.

Bd(x,r)) l"ensemble{y?

E,d(x,y)< r}(resp.{y?E,d(x,y)?r}).

Définition 1.8

Soit (E,d) un espace métrique.

On appelle topologie associée àdla topologieτddéfinie surEpar :τd= {ω? P(E),?x?ω,?r >0,◦B d(x,r)?ω}.

Démonstration.C"est bien une topologie :

•∅,E?τd

•Soitx?p?

i=1ωi. Pour touti, il existeri>0 tel que◦B d(x,ri)?ωi.

On poser= min(ri)>0. On a◦B

d(x,r)?p? i=1ωi.

•Soitx??

i?Iωi. Il existei0tel quex?ωi0etr >0 tel que◦B d(x,r)? i0?? i?Iωi. Proposition 1.5Soit (E,d) un espace métrique. Les boules ouvertes sont des ouverts deE. Elles forment une base d"ouverts deτd. Les boules fermées sont des fermés deE.

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CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES, ESPACES MÉTRIQUES

Démonstration.

•On veut montrer que◦B

d(x0,r)?τd. Soitx?◦B d(x0,r).

Soity?◦B

d(x,r-d(x,x0)). d(x0,y)?d(x0,x) +d(x,y)?d(x0,x) +r-d(x0,x)?r

D"où le résultat.

•On veut montrer que

Bd(x0,r) est fermée ieBd(x0,r)c?τd.

Soitx?

Bd(x0,r)c. On a◦B

d(x,d(x-x0)-r)?Bd(x0,r)cdonc

Bd(x0,r)c?τd.

•NotonsBl"ensemble des boules ouvertes. Montrer queBest une base d"ouverts revient à montrer queBx={B? B,x?B}est une base de voisinages dexpour toutx. SoitV? Vxpourτd. Il existeω?τdtel quex?ω?V. Par définition, il exister >0 tel que◦B d(x,r)?ω?V. De plus◦B d(x,r)?Bx, ce qui assure le résultat. Corollaire 1.1Tout ouvert deτdest réunion de boules ouvertes.

Corollaire 1.2

• {◦B

d(x,r),r >0}est une base de voisinages dex. ◦B d(x,1 n),n?N?}est une base de voisinagesdénombrabledex.

Définition 1.9

On dit que (E,τ) est métrisable ssi il existe une distanced surEtel queτ=τd.

CN de métrisabilité :

•Tout point doit avoir une base dénombrable deτ-voisinages.

•Il doit être séparé.

Remarque 1.1

•La topologie grossière est non métrisable car non séparée. •Toute topologie discrète est métrisable avecd(x,x?) = 1-δx,x?. (τdest une topologie discrète car ◦B d(x,1

2) ={x}est ouvert)

1.2.2 Comparaisons de structures métriques

Théorème 1.2

SoitEun espace métrique muni de deux distancesd1et d

2. Supposons qu"il existec >0tel qued1?cd2.

Alorsτd1?τd2.

Démonstration.?(x,r),◦B

d2(x,r c)?◦B d1(x,r)

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1.3. AUTRES EXEMPLES DE TOPOLOGIES

Remarque 1.2 Dans le cas oùd1?cd2?c?d1, on dit que les distances sont fortement équivalentes, ce qui implique queτd1=τd2(ie les distances sont topologiquement équivalentes). La réciproque est fausse.(Exemple :d1(x,y) = |x-y|,d2(x,y) =|arctan(x)-arctan(y)|. On aτd1=τd2,d2?d1mais d

1??cd2.)

1.2.3 Cas des espaces vectoriels normés

Définition 1.10

SoitEunRouCespace vectoriel. On appelle norme sur

Etoute application deE→R+vérifiant :

• ?x?= 0 ssix= 0

• ?λx?=|λ|?x?

• ?x+x????x?+?x??

Remarque 1.3d(x,x?) =?x-x??est alors une distance. Proposition 1.6SiEest un espace vectoriel normé muni de?·?1et?·?2,

1?τ2ssi?c >0 tel que?·?1?c?·?2.

Démonstration.

?Clair ?◦B

1(0,1) contient◦B

2(0,r) pour un certainr >0.

Six?= 0,???x

?x?2×r2???

1?1 donc?x?1?2r?x?2.

?x?∞=1 ←-?x?2=1 ←-?x?1=1

1.3 Autres exemples de topologies

1.3.1 Topologie induite

Définition 1.11

Soit (E,τ) un espace topologique etA?E. On appelle topologie induite sur A parτla topologieτAdéfinie parτA={ω∩A,ω?τ}. Remarque 1.4(A,τA)est parfois appelé sous-espace topologique de(E,τ). Mais les ouverts deτAne sont pas des ouverts deτen général.

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CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES, ESPACES MÉTRIQUES Exemple : [-⎷2,⎷2]∩QdansQmuni de la topologie induite deRsur Q. C"est un fermé deτQcar intersection d"un fermé deRavecQ. C"est aussi un ouvert deτQ.

Proposition 1.7Siτ=τd,τA=τd|A.

Exemple :E=R2,Aest le cercle de centreOet de rayon 1. ◦B d|A(0,1) =∅et

Bd|A(0,1) =A.

1.3.2 Topologie engendrée par une famille de parties

Définition 1.12

On appelle topologie engendrée parA? P(E) la plus petite topologie contenantA:τA=?

τ?Aτ.

Proposition 1.8Les intersections finies des éléments deAforment une base d"ouverts deτA.

1.3.3 Topologie produit

Définition 1.13

On appelle topologie produit surE1×E2la topologie engendrée par les{ω1×ω2,ω1?τ1,ω2?τ2}. Ces éléments forment une base d"ouverts. Proposition 1.9Soient (E1,d1) et (E2,d2) deux espaces métriques. La to- pologie produit deτd1et deτd2est métrisable. Elle est associée aux distances suivantes :

•dp(x,y) =p?

(d1(x1,y1)p+d2(x2,y2)p) pourp?N?.

•d∞(x,y) = max(d1(x1,y1),d2(x2,y2)).

Démonstration.

◦B ∞((x1,x2),r) =◦B

1(x1,r)×◦B

2(x2,r) doncτ∞?τΠ.

Soitx?ω1×ω2. Il existeritel que◦B

i(xi,ri)?ωi. On poser= min(r1,r2) et ◦B(x,r)?ω×ω2.

DoncτΠ=τ∞.

Définition 1.14On appelle topologie produit surp? i=1E ila topologie en- gendrée par les p? i=1ω i,?i??1,p?,ωi?τi? . Ces éléments forment une base d"ouverts. (L"opération est associative)

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1.3. AUTRES EXEMPLES DE TOPOLOGIES

Définition 1.15On appelle topologie produit sur?i?IE i(avecEi?=∅) la topologie engendrée par les : i?IΩ Cet ensemble est stable par intersection donc il constitue une base d"ouverts. Proposition 1.10On supposeInon dénombrable et Card(Ei)?2.τΠest non métrisable. Démonstration.Supposons qu"il existedtel queτ=τdetx0?E=? i?IE i. ◦B d(x0,1 n)??i?IΩ(n) i?x0avecJn?Ifinie telle que?i?I\Jn, Ω(n) i=Ei. {x0}=∞? n=1◦B d(x0,1 n)?∞? n=1?i?IΩ(n) i=?i?I? n=1Ω(n) i?

Pouri0?I\?

n?1Jn,? n?1Ω(n) i

0=Ei0qui est de cardinal supérieur à 2.

Donc Card({x0}) = 2. Contradiction.

Proposition 1.11Soit (En,dn)nune famille d"espaces métriques. La topo- logie produit sur? n?0E nest métrisable.

Par exemple,τΠ=τd1=τd2avec :

d n?0E n→R+ ((xn)n,(yn)n)?→∞? n=01

2nmin{1,dn(xn,yn)}

d n?0E n→R+ ((xn)n,(yn)n)?→∞? n=01 2nd n(xn,yn)1 +dn(xn,yn)

Remarque 1.5

d

1 +detmin{1,d}sont topologiquement équivalentes.

1.3.4 Topologie quotient

Rappels : SiEest un espace etRune relation d"équivalence, on note E/Rl"ensemble des classes des éléments deE. On définit aussi :

χ:???E→E/R

x?→ x

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CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES, ESPACES MÉTRIQUES Définition 1.16Si (E,τ) est un espace topologique, on appelle topologie quotient surE/Rla topologieτRdéfinie par :

R={O?E/R,χ-1(O)?τ}

Démonstration.C"est bien une topologie :

∅,E/R ?τ2R -1?? i?IO i? i?Iχ-1(Oi) -1? n? i=1O i? =n? i=1χ-1(Oi)

Remarque 1.6

•τRn"est pas forcément séparée même siτl"est. •Une condition nécessaire de séparation est que les points deτRsoient fermés ie xest fermée pour toutx. •Il n"y a pas de métrique naturelle associée àτR.

Exemples :

•E= [0,1],Rest définie par

0 =1 et six?? {0,1},x={x}.

E/Rest un cercle.

•Eest un carré de côté 1.Rest telle que chaque élémentxdes côtés verticaux soit associé avec le point de l"autre côté vertical situé à la même hauteur quex, et que les autres soient seuls dans leur classe.

E/Rest un cylindre.

•Eest un carré de côté 1.Rest telle que chaque élémentxsoit associé avec le point du côté opposé situé à la même hauteur quex.E/Rest un tore.

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1.4. INTÉRIEUR, ADHÉRENCE, FRONTIÈRE, LIMITES

•Eest un carré de côté 1.Rest telle que chaque élémentxdes côtés verticaux soit associé avec le point de l"autre côté vertical situé à la même hauteur quex, et que les autres soient associés à leur symétrique par rapport au centre du carré.E/Rest une bouteille deKlein.

1.4 Intérieur, adhérence, frontière, limites

1.4.1 Définitions

Définition 1.17

Soit (E,τ) un espace topologique etA?E.

•a?Eest dit adhérent àAssi?V? Va,V∩A?=∅. ?Soit il existeV? Vatel queV∩A={a}:aest dit isolé. ?Soit pour toutV? Va,V∩(A\ {a})?=∅:aest un point d"accu- mulation.

•On note

Al"ensemble des points adhérents àA.Aest appelé adhérence (ou fermeture) deA. •a?Eest dit intérieur àAssi?ω?τaveca?ω?AssiA? Va. •On note◦Al"ensemble des points intérieurs àA.◦Aest appelée intérieur deA.

Proposition 1.12

◦Aest le plus grand ouvert contenu dansA. Démonstration.Soita?◦A. Il existeω?τtel quea?ω?A. Pour toutx?ω,x?◦A(par définition) donc◦Aest voisinage de tous ses points.

On a de plus

◦A=? x?◦Aωoùx?ω?A. Proposition 1.13Aest le plus petit fermé contenantA.

Démonstration.On montre que◦Ac=

Ac. Le résultat en découle par la pro-

position précédente.

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CHAPITRE 1. ESPACES TOPOLOGIQUES, ESPACES MÉTRIQUES a?◦Acssi? ?ω?τ,a?ω?A ssia? Ac Définition 1.18On définit la frontière∂AdeApar∂A=A\◦A. Proposition 1.14∂Aest un fermé car∂A=

A∩Ac.

Définition 1.19

Soit (E,τ) un espace topologique et (xn)n?EN.

On dit queaest une valeur d"adhérence dexssi tout voisinage dea contient une infinité de termes dex. Proposition 1.15aest une valeur d"adhérence dexssi x?? N?N {xN,xN+1,...}=XN

Démonstration.

aest valeur d"adhérence dexssi?V? Va,?N?N,?n?N,xn?V ssi?V? Va,?N?N,V∩XN?=∅ ssi?N?N,a? XN ssia?? N?N XN Proposition 1.16L"ensemble des valeurs d"adhérences dex, noté adh(x) est fermé.

Définition 1.20

Soit (E,τ) un espace topologique et (xn)n?EN.

On dit quexconverge versaquandn→+∞et on écrit limn→+∞xn=aou x nτ-→n→+∞assi?V? Va,?N?0,?n?N,xn?V. Proposition 1.17Si (E,τ) est séparé, une suite a au plus une limite. Démonstration.Soita?=a?deux limites pourx. (E,τ) est séparé donc il existe (ω,ω?) tels que (a,a?)?ω×ω?etω∩ω?=∅. Il existeN?0 tel que pour toutn?N,xn?ωet il existeN??0 tel que pour toutn?N?,xn?ω?.

Pourn?max(N,N?), on a une contradiction.

Remarque 1.7 Silimn→+∞xn=a, alorsa?adh(x)etCard(adh(x)) = 1.

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1.5. CONTINUITÉ ET HOMÉOMORPHISMES

1.4.2 Cas des espaces métriques

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