[PDF] 3M360 : Topologie et Calcul Différentiel Livret dexercices

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3M360 : Topologie et Calcul Dierentiel

Livret d'exercices | Jussieu, 2018

Avec corriges

Table des matieres

I Espaces metriques

3

I.1 Assimilation du cours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.2 Exercices de niveau attendu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II Completude

25

II.1 Assimilation du cours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II.2 Exercices de niveau attendu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II.3 Complements et challenges

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

III Compacite

37

III.1 Assimilation du cours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

III.2 Exercices de niveau attendu

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III.3 Complements et challenges

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

IV Connexite

50

IV.1 Assimilation du cours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

IV.2 Exercices de niveau standard

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

IV.3 Complements et challenges

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

V Espaces vectoriels normes

56

V.1 Assimilation du cours

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

V.2 Exercices de niveau standard

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

V.3 Complements et challenges

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

VI Dierentielle

76

VII Extrema : conditions d'ordre 1

89

VIII Applications de classeC193

IX Inversion locale, fonctions implicites

95

IX.1 Theoreme d'inversion locale

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

IX.2 Theoreme des fonctions implicites

. . . . . . . . . . . . . . . . . 101

X Dierentielle seconde

109

X.1 Formule de Taylor

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 1 X.2 Extrema : conditions d'ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

XI Elements de corriges de l'examen 2017-2018

116
2

I Espaces metriques

I.1 Assimilation du cours

Certains de ces exercices sont en fait des demonstrations de cours qui sont laissees en exercice dans le poly. Il est conseille de lire le poly, et de faire les exercices correspondants au fur et a mesure de la lecture.Exercice 1.| Ecrire a l'aide de quanticateurs : (1)Oest un ouvert deX; (2) la caracterisation metrique de l'interieur d'une partieEdeX; (3) la caracterisation metrique de l'adherence d'une partieE; (4) la denition de la frontiere; (5)E est dense dansX; (6)Eest d'interieur vide dansX; (7) la denition d'une suite convergente.Corrige de l'exercice 1.|

1.Oest un ouvert deX:8x2O9" >0B(x;")O.1

2.la caracterisation metrique de l'interieur d'une partieEdeX: soitxun point

deX, alors x2Inte(E),(9" >0B(x;")E):

3.la caracterisation metrique de l'adherence d'une partieE: soitxun point de

X, alors

x2Adhe(E),(8" >0B(x;")\E6=;):

4.la denition de la frontiere : Fr(E) = Adhe(E)\Adhe(XnE). On a aussi, si

xest un point deX, alors x2Fr(E),(8" >0 (B(x;")\E6=;etB(x;")\(XnE)6=;)):

5.Eest dense dansX: par denition, ceci signie que l'adherence deEegaleX,

autrement dit que tout point deXest dans l'adherence deE.Noter que l'autre inclusion est toujours veriee, l'adherence etant par denition une partie deX.En quanticateurs, ceci s'ecrit :

8x2X8" >0B(x;")\E6=;:

(Noter qu'apres le \8x2X", on a juste recopie la caracterisation de l'adherence).

6.Eest d'interieur vide dansX: on ecrit qu'aucun point n'est dans l'interieur

deE; autrement dit que tout point doit verier la negation de la caracterisation de l'interieur :

8x2XNON(9" >0B(x;")E)

ou on ecrit NON(...) pour la negation de la propriete qui suit le NON. On doit bien s^ur simplier ceci (sous cette forme, on aura du mal a l'utiliser dans un raisonnement!) Nous devons nier l'existence d'un"strictement positif veriant une certaine propriete. Si un tel"n'existe pas, c'est que tout"strictement positif verie la propriete contraire; en symboles :

( NON(9" >0:::) ),(8" >0 NON(:::) )1. Remarquer qu'on pourrait encore expliciter l'inclusion en utilisant sa denition :AB

signie que tout point deAest dansB. On obtient alors que l'ensembleOest ouvert si et seulement si8x2O9" >08y2B(x;");y2O. 3

En reprenant la ligne du dessus, on obtient donc

8x2X8" >0B(x;")6E)

On peut encore simplier : ne pas ^etre inclus dansE, c'est contenir au moins un point qui n'est pas dansE, autrement dit c'est rencontrer le complementaire de E. On obtient nalement queEest d'interieur vide si et seulement si

8x2X8" >0B(x;")\(XnE)6=;:)

7.La suite (un) converge vers le point`si et seulement si

8" >09n02N8nn0un2B(`;"):Exercice 2.|Montrer que toute boule ouverte est un ouvert deX.(Indication :

voir le poly).Corrige de l'exercice 2.|SoitB=B(x;r) une boule ouverte, etyun point deB. PosonsC'est en faisant un dessin qu'on voit que ce choix de rayon va marcher.r0=rd(x;y): Puisqueyappartient a la bouleB(x;r), on ad(x;y)< r, ce qui montre que r

0est un nombre strictement positif. Il reste a voir que la bouleB0=B(y;r0) est

incluse dansB. Pour voir ceci, prenons un pointzdeB0: on a doncd(y;z)< r0.

On evalue alors

d(x;z)d(x;y) +d(y;z)< d(x;y) +r0=r;

ce qui montre bien quezappartient a la bouleB=B(x;r).Exercice 3.|Dans un espace metrique, montrer que l'intersection d'un nombre

ni de parties ouvertes est une partie ouverte.Corrige de l'exercice 3.|SoientO1;:::Okdes ouverts, montrons que l'inter-

section\ i=1;:::;kO i est un ouvert. Soitxun point de l'intersection. Soiti2 f1;:::;kg; par denition de l'intersection,xappartient aOi; puisqueOiest ouvert, il existe"i>0 tel que

B(x;"i)Oi.

SoitQu'est-ce qui ne marche

pas si on essaie de faire la m^eme preuve pour une intersection innie d'ouverts?"= mini=1;:::;k("i): 4 C'est un nombre strictement positif, verions que la bouleB(x;") est incluse dans l'intersection. Pour chaqueientre 1 etk, on a""iet par consequent

B(x;")B(x;"i)Oi:

Finalement

B(x;")\

i=1;:::;kO i comme voulu.Exercice 4.|(caracterisation metrique de l'interieur) SoitEune partie d'un espace metriqueX, montrer l'equivalence : x2Inte(E), 9" >0B(x;")E:Corrige de l'exercice 4.|Par denition, Inte(E) est un ouvert inclus dansE: par denition d'un ouvert, sixest un point de Inte(E), il existe un bouleB(x;r) qui est incluse dans Inte(E), donc dansE. Ceci montre l'implication directe. Reciproquement, soitxun point deXtel qu'il existe une bouleB(x;r) incluse dansE. Puisque la bouleB(x;r) est un ouvert inclus dansE, elle est incluse dans Inte(E), qui est la reunion de tous les ouverts inclus dansE. En particulierxest dans Inte(E).Exercice 5.|Donner un exemple, dans le planR2, d'une famille de parties

ouvertes dont l'intersection n'est pas ouverte.Corrige de l'exercice 5.|Soitxun point du plan, et considerons toute les

boules ouvertes centrees au pointx. L'intersection de toutes ces boules est reduite au singletonfxg. Ce singleton n'est pas un ouvert, puisqu'il ne contient aucune

boule ouverte centree enx.Exercice 6.|Montrer que toute application lipschitzienne est continue.Corrige de l'exercice 6.|Reponse succinte : il sut de prendre="k

dans la denition de la continuite. Reponse detaillee. Soitf:X!Yune applicationk-lipschitzienne entre deux espaces metriques. Il s'agit de montrer quefest continue. Considerons donc un point quelconquexdeXen lequel nous voulons verier quefest continue, et prenons donc un" >0. Nous posons alors2 ="k :2. Lorsqu'on cherche l'exercice, on peut dans un premier temps laisser cette denition en suspens (au brouillon, on ecrit par exemple=??), et essayer d'ecrire la suite de la preuve; on continue sans ennui jusqu'a la majoration ded(f(x);f(x0)) park; comme on aimerait pouvoir majorer encore ceci par", on voit alors quelle valeur denous permet de conclure. 5 Verions que ceconvient. Pour ceci, nous considerons un pointx0deXtel que d(x;x0)< :

On a alors

d(f(x);f(x0))kd(x;x0)< k="; ce que l'on voulait.Exercice 7.|Montrer que l'union d'un nombre ni de parties fermees et une partie fermee. Montrer que l'intersection d'une famille quelconque (nie ou innie)

de parties fermees est une partie fermee.Corrige de l'exercice 7.|On peut traiter cet exercice par \passage

au complementaire", qui transforme les proprietes portant sur des fermes en proprietes portant sur des ouverts. Par denition, un pointxest dans le complementaire d'un ensembleFs'il n'est pas dansF. Le passage au complementaire transforme union en intersection et reciproquement : en eet, par exemple, x2XnS i2IFi,x62S i2IFi ,NON(x2S i2IFi) ,NON(9i2I;x2Fi) , 8i2I;x62Fi , 8i2I;x2XnFi ,x2T i2IXnFi: Si (Fi)i2Iest une famille nie de fermee d'un espace metriqueX, on a donc Xn[ i2IF i=\ i2IXnFi Par denition des fermes, les ensemblesXnFisont des ouverts. On a vu en cours que l'intersection d'une famille nie d'ouverts est un ouvert, donc l'ensemble ci- dessus est ouvert, par consequent son complementaire est ferme, c'est-a-dire que l'union desFiest un ferme. Le raisonnement pour une intersection quelconque de fermes est tout a fait analogue.Exercice 8.|(caracterisation metrique de l'adherence) Montrer qu'un pointx appartient a l'adherence deEsi et seulement si toute boule ouverte centree enx rencontreE.Corrige de l'exercice 8.|Montrons d'abord le sens reciproque. Par contrapo- sition, il s'agit de prendre un point qui n'est pas dans l'adherence, et de montrer qu'il existe une boule ouverte centree enxqui ne rencontre pasE. Supposons qu'un pointxn'est pas dans Adhe(E). L'adherence deEetant un ferme, son complementaire est un ouvert : il existe donc une bouleB(x;r) incluse dans le 6 complementaire, ce qui signie qu'elle est disjointe de Adhe(E), donc aussi deE puisque Adhe(E) contientE. Montrons le sens direct. On raisonne encore par contraposition : on suppose qu'il existe une boule ouverteB(x;r) qui est disjointe deE, et on veut montrer quexn'est pas dans Adhe(E). L'ensembleXnB(x;r) est un ferme qui contient E. Or Adhe(E) est inclus dans tous les fermes contenantE, donc Adhe(E) est

inclus dansXnB(x;r). En particulier Adhe(E) ne contient pasx.Exercice 9.|(cours) Montrer qu'une applicationf:X!Yentre deux espaces

metriques est continue si et seulement si l'image reciproque de toute partie fermee

deYest une partie fermee deX.Corrige de l'exercice 9.|Ici encore, on peut se ramener aux proprietes des

ouverts par passage au complementaire (voir l'appendice du poly si vous n'^etes pas familier avec l'image reciproque d'un ensemble par une application). Supposons quefest continue. Alors l'image reciproque de tout ouvert deY est un ouvert deX. Considerons alors un fermeFdeY. L'ensembleYnFest un ouvert deY, doncf1(YnF) est un ouvert deX, or f

1(YnF) =Xnf1(F)

et son complementaire, qui est doncf1(F), est un ferme deX. Ceci montre le sens directe de l'equivalence. Le sens reciproque se montre de la m^eme maniere : en partant de la propriete sur les fermes, en deduire la propriete sur les ouverts qui caracterise la continuite def.Exercice 10.|

1.Donner une caracterisation metrique de la frontiere deE.

2.Montrer que Fr(E) = Fr(XnE).

3.Montrer que Adhe(XnE) =XnInte(E).

4.En deduire une autre expression pour la frontiere deE.Corrige de l'exercice 10.|On rappelle que la frontiere est denie par

Fr(E) = Adhe(E)\Adhe(XnE):

1.On utilise simplement la caracterisation metrique de l'adherence, qu'on ap-

plique aEet a son complementaire : un pointxdeXest dans Fr(E) si et seulement si toute bouleB(x;r) centree enxrencontre a la foisEet son complementaire.

2.On a, par denition,

Adhe(XnE) = Adhe(XnE)\Adhe(Xn(XnE)):

Sachant que le complementaire du complementaire deEestE, cette formule redonne bien l'adherence deE. 7

3.L'egalite Adhe(XnE) =XnInte(E) est encore un aspect de a dualite ou-

verts/fermes. L'adherence d'un ensemble est l'intersection des fermes le contenant, l'interieur d'un ensemble est l'union des ouverts qu'il contient. SiFest un ferme contenantXnE, alorsXnFest un ouvert contenu dansE, et reciproquement : le complementaire de tout ouvert contenu dansEest un ferme contenant le complementaire deE. On a donc

Adhe(XnE) =TfFjFferme contenantEg

=TfXnOjOouvert contenu dansEg =XnSfOjOouvert contenu dansEg =XnInte(E): On a utilise que le complementaire de l'union est egal a l'intersection des complementaires, ce qui est prouve dans l'exercice 7

4.On en deduitFr(E) = Adhe(E)\Adhe(XnE)

= Adhe(E)\(XnInte(E)) = Adhe(E)nInte(E):

La frontiere d'un ensemble est donc egal a son adherence privee de son interieur.Exercice 11.|(unicite de la limite) Montrer que si une suite (xn) converge a

la fois vers`1et vers`2alors`1=`2.Corrige de l'exercice 11.|Ici, la propriete de convergence esten hypothese; pour l'utiliser ecacement, il faut choisir une valeur de", toute la diculte est de decider pour quel"on l'applique.Considerons une suite (xn) qui converge a la fois vers`1et vers`2dans un espace metriqueX. On raisonne par l'absurde, en supposant que`16=`2. Posons alors "=12 d(`1;`2): L'hypothese de convergence vers`1nous fournit un entiern1tel que

8nn1d(xn;`1)< ":

De m^eme, on obtient un entiern2tel que

8nn2d(xn;`2)< ":

Considerons un entiernplus grand quen1etn2, de facon a ce qu'on ait a la fois d(xn;`1)< "etd(xn;`2)< ":

Par inegalite traingulaire, on en deduit que

d(`1;`2)<2"=d(`1;`2) ce qui est absurde.8 Exercice 12.|Donner une preuve sequentielle de la continuite de la composee

de deux applications continues.Corrige de l'exercice 12.|Fixons les notations : on considere une application

f:X!Yet une applicationg:Y!Z, ouX;Y;Zsont trois espaces metriques; on prend un pointxdeX, le pointy=f(x) deY, et on suppose que l'application fest continue au pointx, et que l'applicationgest continue au pointy. On veut montrer que la composeegf:X!Zest continue au pointx. Pour ceci, on va utiliser le critere sequentiel de continuite : on considere une suite (xn)n2NdansXconvergeant vers le pointx, et il s'agit de montrer que la suite image (g(f(xn)))n2Nconverge versz=g(f(x)).

On utilise ici le sens

directe du critere...D'apres le critere sequentiel de continuite appliquee a l'applicationf, la suite

imagef(xn))n2Nconverge dansYversy=f(x). On applique a nouveau ce criere, cette fois-ci a l'applicationget a la suitef(xn))n2N, et on obtient que la suite (g(f(xn)))n2Nconverge versz=g(y), comme voulu.... Et on utilise le sens reciproque du critere pour conclure a la continuite degf.Exercice 13.|Dans le planX=R2muni de la distance euclidienne, on considere le sous-espace metriqueY= (]0;1]2;d2).

1.Donner un exemple de boule deYqui n'est pas une boule deX.

2.Donner un exemple de partie ouverte deYqui n'est pas une partie ouverte de

X.

3.On considere la suite ((1=n;1=n))n>0. Est-elle convergente? justier votre

reponse par une preuve.Corrige de l'exercice 13.|

1.Par denition, pour tout pointPdeYet tout nombrer >0, la bouleBY(P;r)

deYest B

X(P;r)\Y:

Par exemple pour le coin superieur droit du carre,P= (1;1), etr=12 , la boule B X(P;r) est un disque usuel, mais la bouleBY(P;r) est son intersection avecY, c'est-a-dire le quart de disque f(x;y)jd((x;y);(1;1))<12 etx1 ety1g:

2.On peut reprendre l'exemple precedent : la bouleBY(P;r) est ouverte dansY

(puisque c'est une boule ouverte deY), mais elle n'est pas ouverte dansX: en eet, le pointP= (1;1), par exemple, contredit le critere d'ouverture, puisque tout boule centree en ce point \deborde" du qart de disqueBY(P;r).

3.Considerons la suite ((1=n;1=n))n>0. Vue comme une suite deX=R2, cette

suite est bien s^ur convergente, elle tend vers le point (0;0). Mais ce point n'appar- tient pas aY: vue comme une suite de points deY, elle n'est donc pas conver- gente. Detaillons ce point, en raisonnant par l'absurde. Supposons que cette suite admette une limite`dansY. On a alors la suite des distances dansY, d

Y((1=n;1=n);`);

9 qui tend vers 0. Mais par denition, la distance dansYcoincide avec la distance dansX: donc cette suite, vue comme une suite deX, converge egalement vers le point`. Par unicite de la limite, on en deduit que`= (0;0). On aboutit donc a

ce que le point (0;0) appartient aY, ce qui est absurde.Exercice 14.|SoitYune partie d'un espace metriqueX. SoitAune partie de

Y.

1.On suppose queYest ouverte dansX. Montrer queAest ouverte dans le sous

espace metriqueYsi et seulement siAest ouverte dansX.

2.On suppose queYest fermee dansX. Montrer queAest fermee dansYsi et

seulement siAest fermee dansX.Corrige de l'exercice 14.|Rappelons que d'apres le cours, les ouverts deY

sont les intersections des ouverts deXavecY. Notons (*) cette propriete.

1.Supposons queYest ouverte dansX.

SiAest ouverte dansY, d'apres la propriete (*) il existeOouvert deXtel queA=O\Y. L'ensembleAest un ouvert deX, puisque c'est l'intersection de deux ouverts deX. Reciproquement, siAest ouverte dansX, alorsA=A\Yest l'intersection d'un ouvert deXavecY, c'est donc un ouvert deYd'apres la propriete (*). Avant de faire l'hypothese queYest ferme dansX, commencons par montrer la propriete generale analogue de (*), valable pour toute partieYdeX: (**) les fermes deYsont les intersections des fermes deXavecY. Pour ceci, on utilise la formule ensembliste :Faireun dessin, puis demontrercette formule.(XnP)\Y=Yn(Y\P) ( ): SiFest un ferme deX, alors (par denition des fermes deX)XnFest un ouvert deX; d'apres (*) (XnF)\Yest un ouvert deY; son complementaire dansY est donc un ferme deY(par denition des fermes deY); or d'apres la formule ci-dessus appliquee aP=F, ce complementaire estY\F, qui est donc ferme. Reciproquement, siF0est une partie ferme deY, alorsYnF0est un ouvert de Y, donc il existe un ouvertOdeXtel queYnF0=Y\O. L'ensembleF=XnO est un ferme deX, et on a

Y\F=Y\(XnO) =Yn(Y\O) =Yn(YnF0) =F0

ou la deuxieme egalite est (***) appliquee aP=O. Ceci montre queF0est l'intersection d'un ferme deXavecY, comme voulu.

2.La reponse a la deuxieme question est maintenant entiere analogue a la

premiere, en remplacant partout le mot \ouvert" par \ferme", et la propriete (*) par (**).10 Exercice 15.|Soit :X!Yun homeomorphisme. Verier que :

1.(O) est ouvert si et seulement siOest ouvert,

2.(F) est ferme si et seulement siFest ferme,

3.l'interieur de l'image par d'un ensembleEest egal a l'image de l'interieur

deE,

4.l'adherence de l'image est egale a l'image de l'adherence,Corrige de l'exercice 15.|SoitOune partie deX. Puisque est une

bijection, toutes les operations ensemblistes \marchent bien". En particulier, on a

1((O)) =O.Noter que cette egalite

est fausse en general (voir l'appendice du poly, exercice 114).L'image de l'union est egale a l'union des images,etc..

1.Puisque est continu, si (O) est un ouvert deY, alors le critere topologique

de continuite dit que

1((O)) =Oest un ouvert deX. Reciproquement, siO

est un ouvert deY, alors on peut appliquer le critere de continuite a l'application continue

1: on obtient que l'image reciproque deOpar cette application est

un ouvert deY, et il s'agit de l'ensembleL'image reciproque d'unquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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