[PDF] Introduction à la topologie Centre Universitaire Belhadj Bouchaib. Ain

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Centre Universitaire Belhadj Bouchaib

Ain T emouchentIntroduction a la topologie

Cours et exercices corrig

es

L2 Math

ematiques

AMIN BENAISSA CHERIF

Institut des Sciences

D epartements Mathematiques et Informatiques E-mail :amine.banche@gmail.comAnnee Universitaire 2016-2017

Avant-propos

Ce polycopie represente le cours de topologie dispense enL2mathematiques fondamentales au premier semestre, au centre universitaire de ain temouchent (Bel- hadj Bouchaib). Toutes les remarques et commentaires sont les bienvenus, ces remarques et commentaires nous permettront certainement d'ameliorer le contenu ainsi que la presentation de la version nale.

Auteur : A. Benaissa Cherif

1

Table des matieres

I Cours

3

1 Topologie de la droite reelle

4

1.1 Les ensembles ouverts

4

1.2 Les ensembles fermes

5

2 Espaces topologiques

6

2.1 Concepts de base en topologie

6

2.1.1 Denitions d'un topologie et ouvert

6

2.1.2 Voisinage, Ferme

7

2.1.3 Interieur, adherence, frontiere d'une partie

9

2.1.4 Point isole, point d'accumulation

10

2.1.5 Bases d'ouverts, Bases de voisinages

10

2.2 Quelques constructions topologiques

12

2.2.1 Espaces separes

12

2.2.2 Topologie plus ou moins ne

12

2.2.3 Topologie induite

13

2.3 Continuite dans un espace topologie

15

2.3.1 Continuite en un point

15

2.3.2 Continuite globale

15

2.4 Notion de Connexite

17

2.4.1 Espaces topologiques connexes

17

2.4.2 Ensembles connexes

18

2.4.3 Quelques des proprietes

18

2.5 Notion de Compacite

20

2.5.1 Notions de base

20

2.5.2 Espaces topologiques compacts

20 2

Table des Matieres

2.5.3 Ensemble compacts

22

2.5.4 Quelques des proprietes

22

3 Espaces metriques

25

3.1 Quelques generalites

25

3.1.1 Denitions, Exemples

25

3.1.2 Proprietes de la distance

26

3.1.3 Boule ouverte, Boule fermee

26

3.1.4 Parties bornees, fonctions bornees

27

3.1.5 Distance entre deux parties, diametre

27

3.2 Topologie associee a une distance

28

3.3 Les suites dans un espace metrique

30

3.3.1 Suite convergente

30

3.3.2 Suites de Cauchy

32

3.4 Notion de densite dans un espace metrique

32

3.5 Notion de completude dans un espace metrique

33

3.6 Continuite dans un espace metrique

33

3.6.1 Application continue

33

3.6.2 Application uniformement continue

34

3.6.3 Application Lipschitzienne

34

3.7 Theoreme du point xe

35

4 Introduction a l'espace vectoriel norme

37

4.1 Denitions et exemples

37

4.1.1 Norme

37

4.1.2 Normes equivalentes

38

4.1.3 Espaces de Banach

38

4.2 Applications lineaires continues

39

II Exercices

40
A-

Enonces41

A.1 Espaces topologiques

41

A.2 Espaces metriques

44

A.3 Espaces vectoriels normes

46
3

Table des Matieres

B-Correction des Exercices

47

B.1 Espaces topologiques

47

B.2 Espaces metriques

56

B.3 Espaces vectoriels normes

60

Bibliographie

63
4

Premiere partie

Cours 5

Chapitre 1

Topologie de la droite reelle

1.1 Les ensembles ouverts

Denition 1.1.1.SoitAun ensemble de nombres reels. On dit queAest ouvert, si pour toutx2A;il existe" >0, tel queI(x;")A; ouI(x;")est un intervalle ouvert de centrexet de rayon": Exemple 1.1.1.Un intervalle ouvertA= ]a;b[est un ensemble ouvert, car pour toutx2]a;b[;on peut choisir"=12 min(xa;bx);on aI(x;")A:

Exemple 1.1.2.Les ensemblesRet;sont des ouverts.

Remarque.Un ensembleAn'est pas ouvert si il existe un pointa2Atel que pour tout" >0; I(a;")*A: Exemple 1.1.3.L'ensemble[a;b[n'est pas ouvert, car pour tout" >0; I(a;")* [a;b[: Proposition 1.1.1.La reunion d'une famille quelconque d'ensembles ouverts deR est un ouvert. Demonstration.Soit (Ai)i2Id'ensembles ouverts deR. Montrons queS i2IAiest un ensemble ouvert deR. Soitx2S i2IAi;alors il existej2I, tel quex2Aj;il existe j>0, tel queI(x;"j)AjS i2IAi;d'ouS i2IAiest un ensemble ouvert de R.Proposition 1.1.2.L'intersection de toute famille nie d'ouverts est un ouvert. 6

Chapitre 1 Topologie de la droite reelle

Demonstration.SoientA1;A2;::;Andes ensembles ouverts deR. Montrons que T i=n i=1Aiest un ensemble ouvert deR. Soitx2Ti=n i=1Ai;alors pour touti2 f1;2;:::;ng, tel quex2Ai;il existe"i>0, tel queI(x;"i)Ai;pour"= min i=1;n"i; on a

I(x;")I(x;"i)Ai, pour touti2 f1;2;:::;ng;

doncI(x;")Ti=n i=1Ai, d'ouTi=n

i=1Aiest un ensemble ouvert deR.Remarque.Une intersection quelconque d'ouverts n'est pas toujours ouverte et une

reunion quelconque de fermes n'est pas toujours fermee. Pour s'en convaincre, on retiendra les deux exemples suivants n2N

1n+ 1;1n+ 1

=f0get[ n2N

1n+ 1;1

= ]0;1]:

1.2 Les ensembles fermes

Denition 1.2.1.SoitAun ensemble de nombres reels. On dit queAest ferme si A cest un ouvert. Exemple 1.2.1.Un intervalle ferme[a;b]est un ensemble ferme puisque[a;b]c= ]1;a[[]b;+1[est un ouvert comme reunion de deux ensembles ouverts.

Exemple 1.2.2.L'ensembleZest ferme puisqueZc=S

n2Z]n;n+ 1[est un ouvert comme reunion innie d'ensembles ouverts. Exemple 1.2.3.Les ensemblesRet;sont fermes puisque leur complementaires, respectivement;etR, sont ouverts. Corollaire 1.2.1.L'intersection de toute famille quelconque de fermes est un ferme.

Demonstration.Elle se deduit par passage au complementaire.Corollaire 1.2.2.La reunion de toute famille nie de fermes est un fermee.

Demonstration.Elle se deduit par passage au complementaire.7

Chapitre 2

Espaces topologiques

Dans ce chapitre, nous allons denir le concept de topologie en general, et passer en revue plusieurs moyens de se donner une topologie sur un ensembleXquelconque. Nous introduisons dans ce chapitre les notions importants d'espaces topologiques, l'interieur, l'adherence, la frontiere d'un ensemble, ou les applications continues

2.1 Concepts de base en topologie

2.1.1 Denitions d'un topologie et ouvert

SoitXun ensemble. On noteP(X) l'ensemble des parties deX. Denition 2.1.1.SoientXun ensemble non vide etT P(X). On dit queTest une topologie denie surXsi les axiomes suivants veries : (1)Xet;sont des elements deT: (2)toute reunion d'elements deTest un element deT. (3)toute intersection nie d'elements deTest un element deT. Les elements deTsont appeles les ouverts de la topologie. Le couple(X;T)est appele un espace topologique. Exemple 2.1.1.La famille de parties d'un ensembleX, donnee parTg=fX;;g, est une topologie surXappelee topologie grossiere. Exemple 2.1.2.La familleTd=P(X)de toutes les parties deXest une topologie surXappelee la topologie discrete. 8

Chapitre 2 Espaces topologiques

Exemple 2.1.3.SurR, l'ensemble forme de;,Ret des reunions quelconques d'in- tervalles de la forme]a;b[est bien une topologie surR. Sauf mention contraire,R sera toujours muni de cette topologieTuappelee topologie usuelle. Exemple 2.1.4.Considerons les familles suivantes de parties deX=fa;b;c;d;eg: T

1=fX;;;fag;fc;dg;fa;c;dg;fb;c;d;egg;

T

1est une topologie surX:

T

2=fX;;;fag;fc;dg;fa;c;dg;fb;c;dgg;

T

2n'est pas une topologie surX, carfa;c;dg;fb;c;dg 2 T2, mais

fa;c;dg [ fb;c;dg=fa;b;c;dg=2 T2: Exemple 2.1.5.Soit(X;T)un espace topologique, tel que, pour toutx2X,fxg 2

T;alors(X;T)est un topologie discrete.

2.1.2 Voisinage, Ferme

Denition 2.1.2(Ferme).Soit(X;T)un espace topologique. On appelle ferme, toute partie deXdont le complementaire est ouvert. Exemple 2.1.6.Considerons la topologieT=fX;;;fag;fc;dg;fa;c;dg;fb;c;d;egg surX=fa;b;c;d;eg. Les fermes deXsont les ensembles

X;;;fb;c;d;eg;fa;b;eg;fb;eg;fag:

Proposition 2.1.1.Soit(X;T)un espace topologique. La famille des fermes deX verie les proprietes suivantes : (F1)X;;sont fermes. (F2)L'union d'une famille nie de fermes est un ferme. (F3)L'intersection d'une famille quelconque de fermes est un ferme. Demonstration.Elle se deduit par passage au complementaire a partir de (1), (2) et (3).Denition 2.1.3(Voisinage).Soit(X;T)un espace topologique etx2X. On dit qu'une partieVdeXest un voisinage dexsi elle contient un ouvert qui contient x. 9

Chapitre 2 Espaces topologiques

Exemple 2.1.7.Par exemple, dansRmuni de la topologie usuelle etx2R, ]x2;x+ 1]est un voisinage dex. Proposition 2.1.2.Pour qu'une partie d'un espace topologique soit un ouverte, il faut et il sut qu'il soit voisinage de chacun de ses points.

Demonstration.

SoitUun ouverte, c'est un voisinage de chacun de ses points. Reciproquement, siUest voisinage de chacun de ses points, alors, pour chaque x2 U, il existe un ouvertUxtel quex2 Ux U. On a donc U=[ x2Ufxg [ x2UU x U:

Ce qui montre queUest ouvert.Notation.Soit(X;T)un espace topologique. On noteV(x)la famille des voisinages

dex. Proposition 2.1.3.Pour toutx2X;les famillesV(x)de voisinages dexverient les proprietes suivantes : (a)Pour toutx2X,V(x)6=;, et pour toutV 2 V(x), on ax2 V. (b)Pour toutV 2 V(x)et toutU X, siV UalorsU 2 V(x). (c)Toute intersection nie de voisinages dexest un voisinage dex. (d)Pour toutV 2 V(x), il existeW 2 V(x)tel que pour touty2 W, on ait

V 2 V(y).

Demonstration.

On a (a) et (b) sont evidentes.

Si (Vi)1insont des voisinages deaalors il existe des ouverts (Ui)1intel que x2 Ui Vi, pour touti2 f1;2;::;ng:

On en deduit que

i=nT i=1U iest un ouvert contenantxet contenu dansi=nT i=1V i, d'ou i=nT i=1V iest un voisinage dex. SoitV 2 V(x);alors il existe un ouvertUtel quex2 U V, on poseW=U, alorsW 2 V(x) et pour touty2 W,V 2 V(y).10

Chapitre 2 Espaces topologiques

2.1.3 Interieur, adherence, frontiere d'une partie

Denition 2.1.4.Soient(X;T)un espace topologique etAune partie deX. 1. L'int erieurde Aet on noteAle plus grand ouvert (au sens de l'inclusion)quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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