13. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND
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TD – Equations différentielles linéaires
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Mathématiques 2 Cours et exercices corrigés
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BTS 2 Equations différentielles du deuxième ordre Octobre 2014
Exercice 2 : On considère l'équation différentielle (E) : y -2y +y = 8ex. où y est une fonction de la variable réelle x définie.
Rappels de Mathématiques ISTIL 1ère année Corrigé
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Chapitre 7 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Enoncé des exercices
2. Trouver les solutions du système d'équations différentielles Exercice 7.17 Déterminer une équation différentielle homogène du second ordre à ...
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
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Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles
Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles Exercice 1 Donner l’ensemble des solutions des ´equations di?´erentielles suivantes : 1 y?(x)? 4y(x) = 3 pour x ? R 2 y?(x)+y(x) = 2 ex pour x ? R 3 y?(x)? tan(x)y(x) = sin(x) pour x ?] ? ? 2 ? 2 [4 y?(x) = y(x) x +x pour x ? R? + 5
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 2 Déterminer toutes les fonctions f : [0;1]!R dérivables telles que 8x 2[0;1]; f0(x)+ f(x)= f(0)+ f(1) Indication H Correction H Vidéo [006992] Exercice 3 1 Résoudre l’équation différentielle (x2+1)y0+2xy=3x2+1 sur R Tracer des courbes intégrales Trouver la solution véri?ant y(0)=3
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1) L’équation différentielle y’ –xy= 5 est : ? linéaire ? homogène ? à coefficient constant ? du second ordre 2) Parmi ces équations différentielles, laquelle est linéaire ? ? x yy c 0 y xy xc 2
Comment résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 3 ?
Exercice 25 - Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 3. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit (E1) l'équation différentielle y ( 3) = y . Soit f une solution à valeurs complexes de (E1). On pose g = f + f ? + f ? .
Quelle est la solution générale de l’équation différentielle?
* Solution générale de l’équation différentielle : y Ax B §·xx ¨¸ ©¹ 2 e2 2 * Remarque : la recherche de y P par identification peut se faire d’une manière plus générale par identifi- cation à
Comment calculer l'équation différentielle?
L'équation différentielle (E p ) est du 2 dordre, homogène, à coefficients constants. L'équation caractéristique est : r 2prp20 de discriminant ' 4p 4p20
Universit´e Grenoble AlpesMAP101
Licence 1 - DLSTAnn´ee 2016-2017
Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations diff´erentiellesExercice 1
Donner l"ensemble des solutions des ´equations diff´erentielles suivantes :1. y?(x)-4y(x) = 3pourx?R
2. y?(x) +y(x) = 2 expourx?R
3. y?(x)-tan(x)y(x) = sin(x)pourx?]-π
2,π2[
4. y?(x) =y(x)
x+xpourx?R?+5.(x2+ 1)y?(x) +xy(x) = 0pourx?R
R´eponse :
1. L"´equation esty?(x)-4y(x) = 3 :a(x) =-4 etf(x) = 3 .
a) L"´equation homog`ene esty?(x)-4y(x) = 0.Icia(x) =-4 donc une primitive estA(x) =-4x.
La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene esty(x) =Ce-A(x)=Ce4x. b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x)-4y0(x) = 3. Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avecg(x) primitive def(x)eA(x)= 3e-4x ?g(x) =-34e-4x?y0(x) =-34e-4xe4x=-34
c) La solution g´en´erale esty(x) =Ce4x-3 42. L"´equation esty?(x) +y(x) = 2ex:a(x) = 1 etf(x) = 2ex.
a) L"´equation homog`ene esty?(x) +y(x) = 0.Icia(x) = 1 donc une primitive estA(x) =x.
La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene esty(x) =Ce-A(x)=Ce-x. b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x) +y0(x) = 2ex. Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avecg(x) primitive def(x)eA(x)= 2exex= 2e2x ?g(x) = e2x?y0(x) = e2xe-x= ex c) La solution g´en´erale esty(x) =Ce-x+ ex3. L"´equation esty?(x)-tan(x)y(x) = sin(x).
a) L"´equation homog`ene esty?(x)-tan(x)y(x) = 0 :a(x) =-tan(x) etf(x) = sin(x)MAP1011Exos ´equa. diff.
Icia(x) =-tan(x) =-sin(x)cos(x)donc une primitive estA(x) = ln|cos(x)|= ln(cos(x)) car on est sur l"intervalle ]-π/2,π/2[ et donc cos(x)>0. La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene est y(x) =Ce-A(x)=Ce-ln(cos(x))=C eln(cos(x))=Ccos(x) b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x)-tan(x)y0(x) = sin(x).Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avec
g(x) primitive de sin(x)eA(x)= sin(x)cos(x) ?g(x) =12sin2(x)?y0(x) =g(x)cos(x)=sin2(x)2 cos(x)
c) La solution g´en´erale esty(x) =C cos(x)+sin2(x)2 cos(x)=sin2(x) +C12 cos(x)4. L"´equation esty?(x)-y(x)x=x:a(x) =-1xetf(x) =x.
a) L"´equation homog`ene esty?(x)-y(x) x= 0.Icia(x) =-1
xdonc une primitive estA(x) =-ln|x|=-ln(x) car on est sur l"intervalle ]0,+∞[ . La solution g´en´erale de l"´equation homog`ene est y(x) =Ce-A(x)=Celn(x)=C x b) Une solution particuli`ere v´erifiey?0(x)-y0(x) x=x. Cette solution s"´ecrity0(x) =g(x)e-A(x)avecg(x) primitive dexeA(x)=x x= 1 ?g(x) =x?y0(x) =xeln(x)=xx=x2 c) La solution g´en´erale esty(x) =C x+x25. L"´equation esty?(x)-xx2+ 1y(x) = 0 qui est une ´equation homog`ene.
Icia(x) =-x
x2+ 1donc une primitive estA(x) =-12ln(x2+ 1) . La solution g´en´erale de l"´equation (homog`ene) est y(x) =Ce-A(x)=Ce12ln(x2+1)=C(x2+ 1)12=C⎷x2+ 1
Exercice 2
R´esoudre les probl`emes de Cauchy suivants :
MAP1012Exos ´equa. diff.
1. y?(x)-2y(x) = 4, y(0) = 0, x?R
2. y?(x) =y(x) + 1
x, y(1) = 0, x >03. y?(x)-2y(x) = 2x , y(0) =1
4, x?R
4. x2y?(x)-(2x-1)y(x) =x2, y(1) = 1, x >0
5.(x+ 1)y?(x)-xy(x) + 1 = 0, y(0) = 2, x >-1
R´eponse :
1. L"´equation esty?(x)-2y(x) = 1 :a(x) =-2 etf(x) = 4 .
a) L"´equation homog`ene esty?(x)-2y(x) = 0.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3[PDF] equation differentielle ordre 2 pdf
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