13. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND
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(t étant le temps). 1. Donner l'équation de la trajectoire de dans ℜ. En déduire sa nature. 2. Calculer la vitesse (
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Exercice 3. (Equations linéaires scalaires du deuxième ordre à coefficients constants). Dans tout l'exercice a
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Exercice 1. Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes : 1. y/(x) - 4 y(x)=3 pour x ? R. 2. y/(x) + y(x)=2ex pour x ? R.
Chapitre 7 : Equations différentielles linéaire dordre 2
Exercice type 2. Résoudre (E):2y'' ? 6y' + 4y = te2t. ++++++++. Solution. +. : On normalise l
13. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU SECOND
Soit l'équation différentielle du second ordre à coefficients constants 2. RESOLUTION de L'EQUATION SANS SECOND MEMBRE (II). ... Exercices corrigés.
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Corrigé ex. 30: Équations d'ordre 1 à coefficients constants. • Équation y ? 2y = 7. Solution particulière : v(t) = ?. 7. 2. Solution de l'équation
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BTS 2 Equations différentielles du deuxième ordre Octobre 2014
Exercice 2 : On considère l'équation différentielle (E) : y -2y +y = 8ex. où y est une fonction de la variable réelle x définie.
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Corrigé. 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES. Exercice 1.1 Cette équation est une équation différentielle d'ordre 2 à coefficients constants. Elle.
Chapitre 7 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Enoncé des exercices
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Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles
Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles Exercice 1 Donner l’ensemble des solutions des ´equations di?´erentielles suivantes : 1 y?(x)? 4y(x) = 3 pour x ? R 2 y?(x)+y(x) = 2 ex pour x ? R 3 y?(x)? tan(x)y(x) = sin(x) pour x ?] ? ? 2 ? 2 [4 y?(x) = y(x) x +x pour x ? R? + 5
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exercice 2 Déterminer toutes les fonctions f : [0;1]!R dérivables telles que 8x 2[0;1]; f0(x)+ f(x)= f(0)+ f(1) Indication H Correction H Vidéo [006992] Exercice 3 1 Résoudre l’équation différentielle (x2+1)y0+2xy=3x2+1 sur R Tracer des courbes intégrales Trouver la solution véri?ant y(0)=3
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1) L’équation différentielle y’ –xy= 5 est : ? linéaire ? homogène ? à coefficient constant ? du second ordre 2) Parmi ces équations différentielles, laquelle est linéaire ? ? x yy c 0 y xy xc 2
Comment résoudre une équation différentielle linéaire d'ordre 3 ?
Exercice 25 - Résolution d'une équation différentielle linéaire d'ordre 3. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Soit (E1) l'équation différentielle y ( 3) = y . Soit f une solution à valeurs complexes de (E1). On pose g = f + f ? + f ? .
Quelle est la solution générale de l’équation différentielle?
* Solution générale de l’équation différentielle : y Ax B §·xx ¨¸ ©¹ 2 e2 2 * Remarque : la recherche de y P par identification peut se faire d’une manière plus générale par identifi- cation à
Comment calculer l'équation différentielle?
L'équation différentielle (E p ) est du 2 dordre, homogène, à coefficients constants. L'équation caractéristique est : r 2prp20 de discriminant ' 4p 4p20
Exo7 Équations différentielles
Fiche de Léa Blanc-Centi.
1 Ordre 1
Exercice 1Résoudre surRles équations différentielles suivantes:1.y0+2y=x2(E1)
2.y0+y=2sinx(E2)
3.y0y= (x+1)ex(E3)
4.y0+y=xex+cosx(E4)
??????????H?????????????Exercice 2 Déterminer toutes les fonctionsf:[0;1]!R, dérivables, telles que8x2[0;1];f0(x)+f(x) =f(0)+f(1)
??????????H??????????H?????????????Exercice 3 1.Résoudre l"équationdifférentielle(x2+1)y0+2xy=3x2+1surR. Tracerdescourbesintégrales. Trouver
la solution vérifianty(0) =3. 2.Résoudre l"équation dif férentielley0sinxycosx+1=0 sur]0;p[. Tracer des courbes intégrales.
Trouver la solution vérifianty(p4
) =1.??????????H??????????H?????????????Exercice 4Variation de la constanteRésoudre les équations différentielles suivantes en trouvant une solution particulière par la méthode de variation
de la constante :1.y0(2x1x
)y=1 sur]0;+¥[2.y0y=xkexp(x)surR, aveck2N
3.x(1+ln2(x))y0+2ln(x)y=1 sur]0;+¥[
??????????H??????????H?????????????Exercice 5On considère l"équation différentielle
y0exey=a
Déterminer ses solutions, en précisant soigneusement leurs intervalles de définition, pour 1 1.a=02.a=1 (faire le changement de fonction inconnuez(x) =x+y(x))
Dans chacun des cas, construire la courbe intégrale qui passe par l"origine. ??????????H??????????H?????????????Exercice 6Pour les équations différentielles suivantes, trouver les solutions définies surRtout entier :
1.x2y0y=0(E1)
2.xy0+y1=0(E2)
??????????H??????????H?????????????2 Second ordreExercice 7Résoudre
1.y003y0+2y=0
2.y00+2y0+2y=0
3.y002y0+y=0
4.y00+y=2cos2x
??????????H?????????????Exercice 8On considèrey004y0+4y=d(x). Résoudre l"équation homogène, puis trouver une solution particulière
lorsqued(x) =e2x, puisd(x) =e2x. Donner la forme générale des solutions quandd(x) =12 ch(2x). ??????????H??????????H?????????????Exercice 9 Résoudre sur]0;p[l"équation différentielley00+y=cotanx, où cotanx=cosxsinx. ??????????H??????????H?????????????Exercice 10Résoudre les équations différentielles suivantes à l"aide du changement de variable suggéré.
1.x2y00+xy0+y=0, sur]0;+¥[, en posantx=et;
2.(1+x2)2y00+2x(1+x2)y0+my=0, surR, en posantx=tant(en fonction dem2R).
??????????H?????????????23 Pour aller plus loin
Exercice 11Équations de Bernoulli et Riccatti1.Équation de Bernoulli (a)Montrer que l"équation de Bernoulli
y0+a(x)y+b(x)yn=0n2Zn6=0;n6=1
se ramène à une équation linéaire par le changement de fonctionz(x) =1=y(x)n1. (b) T rouverles solutions de l"équation xy0+yxy3=0.2.Équation de Riccati
(a) Montrer que si y0est une solution particulière de l"équation de Riccati y0+a(x)y+b(x)y2=c(x)
alors la fonction définie paru(x) =y(x)y0(x)vérifie une équation de Bernoulli (avecn=2). (b) Résoudre x2(y0+y2) =xy1 en vérifiant d"abord quey0(x) =1x est une solution. ??????????H??????????H?????????????Exercice 12 1. Montrer que toute solution sur Rdey0+ex2y=0 tend vers 0 en+¥. 2.Montrer que toute solution sur Rdey00+ex2y=0 est bornée. (Indication :étudier la fonction auxiliaire
u(x) =y(x)2+ex2y0(x)2.) ??????????H?????????????Exercice 13 1.Résoudre sur ]0;+¥[l"équation différentiellex2y00+y=0 (utiliser le changement de variablex=et).
2. T rouvertoutes les fonctions de classe C1surRvérifiant8x6=0;f0(x) =f1x
??????????H?????????????3Indication pourl"exer cice2 NUne telle fonctionfest solution d"une équation différentielley0+y=c.Indication pourl"exer cice3 N1.xest solution particulière
2. cos est solution particulière Indication pourl"exer cice4 NSolution particulière : 1.12x 2. xk+1k+1exp(x) 3. lnx1+ln2(x)Indication pourl"exer cice5 N1. C"est une équation à variables séparées.Indication pour
l"exer cice6 N1.une infinité de solutions
2. une solution Indication pourl"exer cice8 NPour la fin: principe de superposition.Indication pour
l"exer cice9 NUtiliser la méthode de variation de la constante.
Indication pour
l"exer cice11 N1.(a) Se ramener à
11nz0+a(x)z+b(x) =0.
(b)y=1plx2+2xouy=0. 2. (a)Remplacer yparu+y0.
(b)y=1x +1xlnjxj+lxouy=1x .4Correction del"exer cice1 N1.Il s"agit d"une équation dif férentiellelinéaire d"ordre 1, à coef ficientsconstants, a vecsecond membre.
Oncommenceparrésoudrel"équationhomogèneassociéey0+2y=0: lessolutionssontlesy(x)=le2x, l2R.Il suffit ensuite de trouver une solution particulière de(E1). Le second membre étant polynomial de degré
2, on cherche une solution particulière de la même forme:
y0(x) =ax2+bx+cest solution de(E1)
() 8x2R;y00(x)+2y0(x) =x2 () 8x2R;2ax2+(2a+2b)x+b+2c=x2 Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit quey0(x) =12 x212 x+14 convient.Les solutions de(E1)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de
l"équation homogène: y(x) =12 x212 x+14 +le2x(x2R) oùlest un paramètre réel. 2.Il s"agit d"une équation dif férentiellelinéaire d"ordre 1, à coef ficientsconstants, a vecsecond membre.
Les solutions de l"équation homogène associéey0+y=0 sont lesy(x) =lex,l2R.Il suffit ensuite de trouver une solution particulière de(E2). Le second membre est cette fois une fonction
trigonométrique, on cherche une solution particulière sous la forme d"une combinaison linéaire de cos et
sin: y0(x) =acosx+bsinxest solution de(E2)
() 8x2R;y00(x)+y0(x) =2sinx () 8x2R;(a+b)cosx+(a+b)sinx=2sinx Ainsi, en identifiant les coefficients, on voit quey0(x) =cosx+sinxconvient.Les solutions de(E2)sont obtenues en faisant la somme de cette solution particulière et des solutions de
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