CALCUL DIFFÉRENTIEL ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Page 1. Page 2. CALCUL DIFFÉRENTIEL. ET ÉQUATIONS. DIFFÉRENTIELLES. Cours et exercices corrigés. Sylvie Benzoni-Gavage. Professeur à l'université Lyon 1. Page 3
Calcul différentiel et équations différentielles
8 févr. 2021 Equations différentielles fondements et applications. Dunod
Équations différentielles ordinaires
22 août 2018 Benzoni-Gavage Calcul différentiel et équations différentielles
CALCUL DIFF´ERENTIEL ET ´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES
Equations différentielles. Paris : Hermann 1967 . Donato
Stabilité et commande des systèmes dynamiques
27 mars 2018 Exercices de calcul différentiel. 3. Résultats généraux sur les ... Équations Différentielles (Cours De Mathématiques II). Hermann & Cie ...
Cours de Calcul Différentiel
Très fortement inspiré d'une partie du cours de Sylvie Benzoni. - Calcul Différentiel Et Équations Différentielles -. Cours Et Exercices Corrigés- Editions
CALCUL DIFF´ERENTIEL ET ´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES
calcul différentiel sur les variétés : cours études et exercices pour la maıtrise de mathématiques. Paris : Intéréditions
Calcul différentiel et et équations différentielles
Calcul différentiel et équations différentielles Sylvie Benzoni-Gavage
Type de Licence
Calcul différentiel et équations différentielles : Cours et exercices corrigés. Sylvie Benzoni-gavage Dunod. 12. Calcul scientifique avec MATLAB : Outils MATLAB.
CALCUL DIFFÉRENTIEL ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
CALCUL DIFFÉRENTIEL. ET ÉQUATIONS. DIFFÉRENTIELLES. Cours et exercices corrigés. Sylvie Benzoni-Gavage. Professeur à l'université Lyon 1
Calcul différentiel et équations différentielles - 2e édition
Des exercices corrigés l'accompagnent au long de ce chemin. C'est ce qui m'a incitée à mettre en place un cours d'équations dif-.
Calcul différentiel et équations différentielles - 2e édition
Des exercices corrigés l'accompagnent au long de ce chemin. C'est ce qui m'a incitée à mettre en place un cours d'équations dif-.
Cours de Calcul Différentiel
Calcul Différentiel Et Équations Différentielles -. Cours Et Exercices Corrigés- Editions Dunod 8.2.1 Equations linéaires scalaires d'ordre 1 .
Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles
Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles. Exercice 1. Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :.
CALCUL DIFF´ERENTIEL ET ´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES
les directions la différentielle La (et par conséquent l'application pa) est unique
CALCUL DIFFÉRENTIEL ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
Exercices et problèmes corrigés Une équation différentielle scalaire autonome. Calcul ... En volume horaire de cours magistral.
AO 102 Systèmes Dynamiques
Cours et exercices corrigés. Édition 2017/2018 d'évolution prend la forme d'une équation différentielle. ... Exercices de calcul différentiel.
Exercices corrigés de calcul différentiel
Exercice 7 Sur un espace (vectoriel) euclidien déterminer en quels points l'ap- plication ? : M ?? AM2 est différentiable et calculer sa différentielle. Même.
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les 1.2 Méthodes de résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 89.
Calcul di? érentiel et équations di? érentielles - Dunod
dre des équations différentielles au moyen de formules plus ou moins explicites Les travaux de Poincaré sont passés par là et une véritable révolution s’est opérée Les apprentis mathématiciens actuels ont cette chance: une fois consolidées leurs connaissances de base en calcul différentiel ils peuvent accéder à une compréhen-
Chapitre 6 : Équations di?érentielles - normale sup
de l’analyse qualitative des équations différentielles) On présentera donc les grands classiques du calcul différentiel (théorèmes des accroissements ?nis d’inversion locale des fonctions implicites formules de Taylor) dans les R-espaces vectoriels normés le plus souvent supposés complets (et alors appelés espaces de Banach)
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - maths et tiques
Propriété : Les solutions de l’équation différentielle ’’=9’+B (9 et B deux réels 9 non nul) sont les fonctions de la forme : # G(#)+H(#) où G est la solution particulière constante de l’équation différentielle ’’=9’+B et H est une solution quelconque de l’équation différentielle ’’=9’
L3 – COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL - CNRS
On cherche donc des points (x;y) v eri ant le syst eme de deux equations constitu e de l’ equation de la courbe Cet de l’ equation de colin earit e des gradients : (x y)23(x+ y) 3 = 0 (y x)(3 + 2x+ 2y) = 0: Donc soit (a) y= x Cela donne x+ y= 1 et donc a= (x;y) = 1 2 1 2 (b)3+2x+2y= 0 c’est- a-dire x+y=3 2
Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles
Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles Exercice 1 Donner l’ensemble des solutions des ´equations di?´erentielles suivantes : 1 y?(x)? 4y(x) = 3 pour x ? R 2 y?(x)+y(x) = 2 ex pour x ? R 3 y?(x)? tan(x)y(x) = sin(x) pour x ?] ? ? 2 ? 2 [4 y?(x) = y(x) x +x pour x ? R? + 5
Comment calculer une équation différentielle?
Exemple : Considérons l’équation di?érentielle y?+2xy = 0 (sur R), avec comme condition initiale y(1) = 2. Les solutions de l’équation sont de la forme Ke?x2, et la condition initiale se traduit alors par Ke?1= 2, soit K = 2e, donc l’unique solution de ce problème de Cauchy est la fonction y : x ? 2e1?x2.
Comment corriger les équations différentielles ?
Ces exercices sont corrigés dans Exercices sur les séries de Fourier. Sont ici données les solutions. Exercice 1 : Résoudre les équations différentielles y’’ ? y = sin x et y’’ – y = | sin x |. Exercice 2 : Résoudre les équations différentielles y’’ + y = sin x et y’’ + y = | sin x |.
Quelle est la solution générale de l'équation différentielle?
La solution générale de l’équation différentielle (E) est y = (C 1. x + C 2 )e rx (où C 1 et C 2 sont des constantes réelles quelconques.) Si ?< 0 l’équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées r1 et r2
Comment calculer l'équation différentielle ?
On en tire, en posant t = tan(z/2) : x + C = 1 tan(/2) 2 + z ?. D’où, très rapidement : z = ? 2 Arctan ( 1 + x+C 2). Précisons : a) Les fonctions z( x) = ? 2 ?+ 2k ? sont solutions de (F). b) Etudions les variations de la fonction f(x) = ? 2 Arctan ( 1 + x 2).
CALCUL DIFFÉRENTIEL
ET ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES
Cours et exercices corrigés
Sylvie Benzoni-Gavage
Professeur à luniversité Lyon 1
DANSLAMÊMECOLLECTION
Pierre Auger, Christophe Lett, Jean-Christophe Poggiale, Modélisation mathématique en écologie, 2010 Luca Amodei, Jean-Pierre Dedieu, Analyse numérique matricielle, 2008Carl Graham, Chaînes de Markov, 2008
Bernard Bercu, Djalil Chafaï, Modélisation stochastique et simulation, 2007 Étienne Pardoux, Processus de Markov et applications, 2007 Frédéric Bonnans, Optimisation continue, 2006 Francis Comets, Thierry Meyre, Calcul stochastique et modèles de diffusions, 2006Illustration de couverture : © Digitalvision
© Dunod, Paris, 2010
La série " Mathématiques pour le Master/SMAI » propose une n ouvelle génération de livres adaptés aux étudiants de Master niveau M1 et aux élèves ingé nieurs. Leur adéquation au cursus LMD et aux outils de calcul modernes sont au service de la qualité sc ientifique. La SMAI (Société de Mathématiques Appliquées et Industriell es) assure la direction éditoriale grâce à un comité renouvelé périodiquement, et largement représentatif des différents thèmes des mathématiques appliquées et de leur évolution : analyse numérique, probabilités appli-
quées, statistique, optimisation, systèmes dynamiques et commande, traitement dimages et du signal, finance, recherche opérationnelle, etc. Son ambition est de c onstituer un ensemble douvrages de référence.ISBN 978-2-10-054826-2
Table des matières
PRÉFACEvii
INTRODUCTION1
PREMIÈRE PARTIE
CALCUL DIFFÉRENTIEL
CHAPITRE 1DIFFÉRENTIABILITÉ........................................ 91.1 Introduction................................................. 9
1.2 Théorème des accroissements nis........................... 20
1.3 Théorème d"inversion locale.................................. 26
1.4 Théorème des fonctions implicites............................ 31
EXERCICES....................................................... 33 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 39 CHAPITRE 2DIFFÉRENTIELLES D"ORDRE SUPÉRIEUR...................... 492.1 Différentielle seconde........................................ 49
2.2 Différentielle d"ordren....................................... 54
2.3 Formules de Taylor........................................... 58
EXERCICES....................................................... 64 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 67 ?Dunod - La photocopie non autorisée est un délit ivTable des matières CHAPITRE 3€EXTREMA................................................ 753.1 Extrema libres............................................... 75
3.2 Extrema liés................................................. 77
3.3 Fonctions convexes.......................................... 80
3.4 Introduction au calcul des variations.......................... 83
EXERCICES....................................................... 87 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 91 CHAPITRE 4€FORMES DIFFÉRENTIELLES................................. 994.1 Champs de vecteurs et1-formes différentielles................ 99
4.2 Formes différentielles d"ordre supérieur....................... 101
4.3 Théorème de Poincaré....................................... 108
4.4 Théorème de Frobenius...................................... 114
4.5 Théorème de Stokes......................................... 117
DEUXIÈME PARTIE
ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
CHAPITRE 5€INTRODUCTION ET OUTILS DE BASE......................... 1255.1 Modélisation et applications................................. 126
5.2 Résolution explicite.......................................... 135
5.3 Lemme de Gronwall......................................... 139
5.4 Théorème de Cauchy-Lipschitz............................... 141
5.5 Théorème du ot............................................ 148
5.6 Équations aux différentielles totales........................... 153
EXERCICES....................................................... 157 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 161Table des matièresv
CHAPITRE 6€ÉQUATIONS LINÉAIRES..................................... 1696.1 Existence globale............................................ 169
6.2 Résolvante.................................................. 171
6.3 Coefcients constants....................................... 177
6.4 Dichotomies exponentielles et sous-espaces stables........... 194
6.5 Coefcients périodiques et théorie de Floquet................ 204
EXERCICES....................................................... 210 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 213 CHAPITRE 7€ÉQUATIONS AUTONOMES.................................. 2217.1 Courbes intégrales........................................... 222
7.2 Flot et portraits de phase..................................... 227
7.3 Ensemblesv-limite.......................................... 234
EXERCICES....................................................... 239 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 245 CHAPITRE 8€STABILITÉ DES SOLUTIONS STATIONNAIRES.................. 2598.1 Théorie de Lyapunov......................................... 259
8.2 Approche spectrale.......................................... 265
8.3 Points xes hyperboliques.................................... 270
8.4 Variétés invariantes.......................................... 276
8.5 Introduction aux bifurcations................................. 283
EXERCICES....................................................... 289 SOLUTION DES EXERCICES........................................ 293APPENDICE301
BIBLIOGRAPHIE303
INDEX306
?Dunod - La photocopie non autorisée est un délitPréface
Je fais partie de cette génération nourrie à l"analyse des équations aux dérivées par-
tielles (alors appelée abusivementanalyse numérique), dans l"idée que l"analyse deséquations différentielles ordinaires était " dépassée », au point qu"elle n"était guère
plus enseignée qu"aux détours de cours de géométrie ou de mécanique. J"ai néan- moins pu apprécier au fil des années la richesse des interactions entre un domaine traditionnellement réservé aux géomètres, celui dessystèmes dynamiques, et l"analyseappliquée à des modèles divers, que ce soient des équations différentielles ordinaires,
des équations aux dérivées partielles, ou encore des équations différentielles fonction-
nelles. C"est ce qui m"a incitée à mettre en place un cours d"équations différentielles ordinaires en première année du master "MAIM» (Mathématiques et Applications, Ingénierie Mathématique) à Lyon 1. Cet ouvrage est issu des notes rédigées pourl"occasion, et auparavant pour la préparation à l"épreuve de modélisation à l"agré-
gation, ainsi que de mes notes de calcul différentiel en troisième année de licence. La transformation en livre de ces notes éparses fut encouragée, sans qu"ils en aient nécessairement conscience, par plusieurs collègues : Michelle Schatzman et Denis Serre (que je remercie au passage pour leur fidèle et amical soutien), Francis Filbet (qui m"a fait bénéficier de sa toute fraîche expérience d"auteur chez Dunod), ainsi que ceux ayant manifesté leur intérêt pour mon "poly» (en ligne sur ma page personnelle). En espérant que cela en valait la peine, je remercie de tout coeur mes proches pour leur patience (et bien plus) pendant ces mois passés à remettre l"ouvrage sur le métier. Je tiens en outre à remercier Pascal Noble, avec qui j"ai eu plaisir à enseigner cettematière et à qui je dois divers énoncés d"exercices, ainsi que des critiques constructives.
Quant aux exercices de calcul différentiel, ils proviennent pour l"essentiel de sujets d"examen posés en L3 : je remercie notamment Danièle Tarral, Laurent Pujo-Menjouet et Daniel Sondaz pour leurs contributions. Je remercie enfin Sarah Delcourte pour sa relecture attentive. Malgré le soin que je me suis efforcée d"apporter à la rédaction, le lecteur 1 trouvera sûrement des imperfections, qu"il voudra bien me pardonner ou me signaler. ll pourra aussi regretter des omissions criantes à ses yeux : sur ce point je ne peux qu"assumer mes choix, dictés par mes goûts et la place allouée par l"éditeur.Lyon, le 29 mai 2009.
1.Si je ne cède pas aux travers de la féminisation du langage, je n"en espère pas moins avoir autant de
lectrices que de lecteurs!Dunod - La photocopie non autorisée est un délitIntroduction
Si le coeur de cet ouvrage est véritablement l"analyse des équations différentielles (en vue des applications), il commence par une partie consacrée aux éléments fondamen- taux du calcul différentiel (du point de vue de l"analyse), de sorte qu"aucun pré-requis n"est nécessaire en la matière : ce livre est essentiellement " auto-contenu» sur tout ce qui touche au calcul différentiel et aux équations différentielles. Quant aux notions indispensables de topologie, calcul intégral, analyse fonctionnelle, analyse complexe,algèbre linéaire ou géométrie, elles sont rappelées au fil du texte, voire dans la suite
de ce préambule pour les plus couramment utilisées. L"objectif de la première partie est de dérouler le calcul différentiel du point de vue le plusintrinsèquepossible, qui dépasse le cadre " élémentaire » des fonctions de plusieurs variables réelles et de leurs dérivées partielles, tout en restant au niveau de l"analyse classique. Le cadre choisi est celui des fonctions définies sur des (ouverts de) R-espaces vectoriels normés. Il n"est pas question d"aborder ici le calcul différentieldans des espaces plus généraux (comme les espaces de Fréchet), ni sur les variétés (la
notion même de variété différentiable n"étant abordée que succinctement, à l"occasion
de l"analyse qualitative des équations différentielles). On présentera donc les grands classiquesducalculdifférentiel (théorèmes desaccroissements finis,d"inversion locale, des fonctions implicites, formules de Taylor) dans lesR-espaces vectoriels normés, le plus souvent supposés complets (et alors appelés espaces de Banach). Les outils ainsi introduits serviront dans la partie sur les équations différentielles dites "ordinaires» (EDO), elles aussi considérées dans desR-espaces de Banach en général. Ce choix est motivé par l"étude de modèles mathématiques pouvant être vus comme des EDO en dimension infinie : par exemple les équations différentielles sur réseaux, issues ou non de la discrétisation en espace d"équations aux dérivées partielles (EDP) d"évolution, ou encore les équations différentielles dans des espaces fonctionnels comme L 2 (R)quotesdbs_dbs2.pdfusesText_4[PDF] cours equation differentielle l3
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