CALCUL DIFFÉRENTIEL ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES PDF

Page 1. Page 2. CALCUL DIFFÉRENTIEL. ET ÉQUATIONS. DIFFÉRENTIELLES. Cours et exercices corrigés. Sylvie Benzoni-Gavage. Professeur à l'université Lyon 1. Page 3

Calcul différentiel et équations différentielles

8 févr. 2021 Equations différentielles fondements et applications. Dunod

Équations différentielles ordinaires

22 août 2018 Benzoni-Gavage Calcul différentiel et équations différentielles

CALCUL DIFF´ERENTIEL ET ´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES

Equations différentielles. Paris : Hermann 1967 . Donato

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Cours de Calcul Différentiel

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calcul différentiel sur les variétés : cours études et exercices pour la maıtrise de mathématiques. Paris : Intéréditions

Calcul différentiel et et équations différentielles

Calcul différentiel et équations différentielles Sylvie Benzoni-Gavage

Type de Licence

Calcul différentiel et équations différentielles : Cours et exercices corrigés. Sylvie Benzoni-gavage Dunod. 12. Calcul scientifique avec MATLAB : Outils MATLAB.

CALCUL DIFFÉRENTIEL ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

CALCUL DIFFÉRENTIEL. ET ÉQUATIONS. DIFFÉRENTIELLES. Cours et exercices corrigés. Sylvie Benzoni-Gavage. Professeur à l'université Lyon 1

Calcul différentiel et équations différentielles - 2e édition

Des exercices corrigés l'accompagnent au long de ce chemin. C'est ce qui m'a incitée à mettre en place un cours d'équations dif-.

Calcul différentiel et équations différentielles - 2e édition

Des exercices corrigés l'accompagnent au long de ce chemin. C'est ce qui m'a incitée à mettre en place un cours d'équations dif-.

Cours de Calcul Différentiel

Calcul Différentiel Et Équations Différentielles -. Cours Et Exercices Corrigés- Editions Dunod 8.2.1 Equations linéaires scalaires d'ordre 1 .

Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles

Fiche exercices (avec corrigés) - Equations différentielles. Exercice 1. Donner l'ensemble des solutions des équations différentielles suivantes :.

CALCUL DIFF´ERENTIEL ET ´EQUATIONS DIFF´ERENTIELLES

les directions la différentielle La (et par conséquent l'application pa) est unique

CALCUL DIFFÉRENTIEL ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Exercices et problèmes corrigés Une équation différentielle scalaire autonome. Calcul ... En volume horaire de cours magistral.

AO 102 Systèmes Dynamiques

Cours et exercices corrigés. Édition 2017/2018 d'évolution prend la forme d'une équation différentielle. ... Exercices de calcul différentiel.

Exercices corrigés de calcul différentiel

Exercice 7 Sur un espace (vectoriel) euclidien déterminer en quels points l'ap- plication ? : M ?? AM2 est différentiable et calculer sa différentielle. Même.

´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les 1.2 Méthodes de résolution des équations différentielles linéaires d'ordre 1 89.

Calcul di? érentiel et équations di? érentielles - Dunod

dre des équations différentielles au moyen de formules plus ou moins explicites Les travaux de Poincaré sont passés par là et une véritable révolution s’est opérée Les apprentis mathématiciens actuels ont cette chance: une fois consolidées leurs connaissances de base en calcul différentiel ils peuvent accéder à une compréhen-

Chapitre 6 : Équations di?érentielles - normale sup

de l’analyse qualitative des équations différentielles) On présentera donc les grands classiques du calcul différentiel (théorèmes des accroissements ?nis d’inversion locale des fonctions implicites formules de Taylor) dans les R-espaces vectoriels normés le plus souvent supposés complets (et alors appelés espaces de Banach)

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - maths et tiques

Propriété : Les solutions de l’équation différentielle ’’=9’+B (9 et B deux réels 9 non nul) sont les fonctions de la forme : # G(#)+H(#) où G est la solution particulière constante de l’équation différentielle ’’=9’+B et H est une solution quelconque de l’équation différentielle ’’=9’

L3 – COURS DE CALCUL DIFFÉRENTIEL - CNRS

On cherche donc des points (x;y) v eri ant le syst eme de deux equations constitu e de l’ equation de la courbe Cet de l’ equation de colin earit e des gradients : (x y)23(x+ y) 3 = 0 (y x)(3 + 2x+ 2y) = 0: Donc soit (a) y= x Cela donne x+ y= 1 et donc a= (x;y) = 1 2 1 2 (b)3+2x+2y= 0 c’est- a-dire x+y=3 2

Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles

Fiche exercices (avec corrig´es) - Equations di?´erentielles Exercice 1 Donner l’ensemble des solutions des ´equations di?´erentielles suivantes : 1 y?(x)? 4y(x) = 3 pour x ? R 2 y?(x)+y(x) = 2 ex pour x ? R 3 y?(x)? tan(x)y(x) = sin(x) pour x ?] ? ? 2 ? 2 [4 y?(x) = y(x) x +x pour x ? R? + 5

Comment calculer une équation différentielle?

Exemple : Considérons l’équation di?érentielle y?+2xy = 0 (sur R), avec comme condition initiale y(1) = 2. Les solutions de l’équation sont de la forme Ke?x2, et la condition initiale se traduit alors par Ke?1= 2, soit K = 2e, donc l’unique solution de ce problème de Cauchy est la fonction y : x ? 2e1?x2.

Comment corriger les équations différentielles ?

Ces exercices sont corrigés dans Exercices sur les séries de Fourier. Sont ici données les solutions. Exercice 1 : Résoudre les équations différentielles y’’ ? y = sin x et y’’ – y = | sin x |. Exercice 2 : Résoudre les équations différentielles y’’ + y = sin x et y’’ + y = | sin x |.

Quelle est la solution générale de l'équation différentielle?

La solution générale de l’équation différentielle (E) est y = (C 1. x + C 2 )e rx (où C 1 et C 2 sont des constantes réelles quelconques.) Si ?< 0 l’équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées r1 et r2

Comment calculer l'équation différentielle ?

On en tire, en posant t = tan(z/2) : x + C = 1 tan(/2) 2 + z ?. D’où, très rapidement : z = ? 2 Arctan ( 1 + x+C 2). Précisons : a) Les fonctions z( x) = ? 2 ?+ 2k ? sont solutions de (F). b) Etudions les variations de la fonction f(x) = ? 2 Arctan ( 1 + x 2).

CALCUL DIFFÉRENTIEL ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

EXERCICES CORRIGÉS

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

Dominique Azé, Guillaume Constans

et Jean-Baptiste Hiriart-Urruty

Calcul différentiel et

équations différentiellesCalcul différentiel et

équations différentielles

L3Retrouver ce titre sur Numilog.com

CALCUL DIFFÉRENTIEL

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Exercices et problèmes corrigés

Dominique Azé, Guillaume Constans,Jean-Babtiste Hiriart-Urruty

Collection dirigée par Daniel Guin

17, avenue du Hoggar

Parc d"activités de Courtabuf, BP 112

91944 Les Ulis Cedex A, FranceRetrouver ce titre sur Numilog.com

Illustration de couverture: Transfert à faible poussée d"un satellite vers une or- bite géostationnaire, par J.-B. Caillau, J. Gergaud et J. Noailles (ENSEEIHT-

Toulouse).

Imprimé en France

ISBN: 978-2-7598-0413-9

Tous droits de traduction, d"adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous

pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des

pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l"autorisation de l"éditeur est illicite et constitue une

contrefaçon. Seules sont autorisées, d"une part, les reproductions strictement réservées à l"usage privé

du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d"autre part, les courtes citations justifiées

par le caractère scientifique ou d"information de l"uvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L.

122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent

être réalisées avec l"accord de l"éditeur. S"adresser au : Centre français d"exploitation du droit de copie,

3, rue Hautefeuille,75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

c ?2010, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d"activités de Courtabuf,

91944 Les Ulis Cedex ARetrouver ce titre sur Numilog.com

TABLE DES MATIÈRES

Avant-Proposvii

Abréviations et Notationsxi

1 Énoncés1

1.1Calcul diérentiel sur des espaces de matrices. Transformation

deLegendre-Fenchel........................ 1

1.2Caractérisation dun opérateur gradient (lemme de Poincaré) 3

1.3Convexité et diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4Un théorème de Rolle approché. Diérentiation dapplications

radiales. Un système diérentiel linéaire . . . . . . . . . . . . . 7

1.5Diérentielle dune fonctionnelle intégrale. Calcul diérentielsurdesfonctionsàvaleursmatricielles.............. 9

1.6OpérateursdeNemycki...................... 11

1.7Diérentiabilité (et caractèreC

1 )viales différentielles partielles. Calcul différentiel (basique, Théorème desaccroissementsfinis) ..................... 12

1.8Dérivée det?-→exp((1-t)A)exp(tB). Formules de Taylor

sur la fonction déterminant. Conditions d"extrémalité du deuxième ordre sur un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . 13

1.9Conditions nécessaires doptimalité du premier ordreen labsence de diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10Méthodededescentelelongdugradient ............ 18

1.11Conditions nécessaires doptimalité en présence de contraintesdinégalité ............................. 20

1.12Diérentielle de Gâteaux. Multiplicateurs de Lagrange . . . . . 23Retrouver ce titre sur Numilog.com

Calcul différentiel et équations différentielles

1.13Minimisation dune fonction convexe sous une contrainte

dinégalitéconvexe......................... 25

1.14Minimisation dune fonction convexe sur un polyèdre convexedeR

n ................................ 27

1.15Détermination et nature des points critiques dune fonction.

Diérentiation de lapplication exponentielle . . . . . . . . . . 29

1.16Calcul diérentiel dordre supérieur. Diérentielle dordre 2duneapplicationcomposée.................... 31

1.17Résolution déquations par la méthode de Newton I . . . . . . 33

1.18Résolution de léquationf(x)=0par la méthode

de Newton II. Minimisation d"une fonction convexe parlaméthodedugradient.................... 35

1.19Un théorème de Rolle pour les fonctions à valeurs vectorielles.

Un problème de maximisation. Sensibilité des racines simples dunpolynôme........................... 37

1.20Conditions doptimalité exprimées à laide du cône tangentà lensemble des contraintes. Applications à un problème

variationnel ............................ 39

1.21Problème variationnel de minimisation dune fonctionnelle

duCalculdesvariations...................... 43

1.22Calcul diérentiel dordre 2 sur un espace de matrices.Surjectivité de la normale unitaire à une hypersurfacecompacte deR

n . Ensemble des solutions possibles d"une équation différentielle scalaire linéaire d"ordren..... 45

1.23Descente continue le long du gradient. Projection

sur une surface deR 3 ....................... 47

1.24Une surface conique deR

3 . Monotonie des solutions d"équations différentielles scalaires autonomes. Une équation différentielle vectorielle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.25Un problème aux limites par le Théorème des fonctionsimplicites. Équations diérentielles linéaires à coecientspériodiques............................. 51

1.26Du Théorème des fonctions implicites au ThéorèmedeCauchy-Lipschitz........................ 53

1.27Intégrales premières. Utilisation du Théorème des fonctionsimplicites. Une équation aux dérivées partielles . . . . . . . . . 54

ivRetrouver ce titre sur Numilog.com

Table des matières

1.28Diérentiabilité de la fonction distance à un ensemble.

Une équation diérentielle scalaire non linéaire du deuxième ordre. Système diérentiel linéaire où les valeurs propres deA(t)ne dépendent pas det.................. 56

1.29Équations diérentielles scalaires. Équation diérentielle

vectorielle linéaire à coecients périodiques . . . . . . . . . . . 59

1.30Distance de lorigine à une courbe deR

3 . Comportement asymptotique des solutions d"une équation différentielle scalaire............................... 60

1.31Équation diérentielley

=xy 2 . Comportement asymptotique des solutions d"une équation différentielle linéaire vectorielle 63

1.32Formule de Thermodynamique sur les dérivées partielles.Équation diérentiellex

=tsinx. Équation différentielle linéaireàcoefficientspériodiques................. 65

1.33Équations diérentielles non linéaires. Comportementasymptotique des solutions dune équation diérentiellelinéairesouslaconditiondeLiapounov ............. 68

1.34Une équation diérentielle scalaire autonome. Calculde la hauteur dune courbe. Diérentiation de la fonctiondéterminant ............................ 70

1.35Équationsdiérentiellesavecretard............... 72

1.36Méthodes dapproximation de solutions déquationsdiérentielles............................ 74

2 Solutions77

2.1Calcul diérentiel sur des espaces de matrices. TransformationdeLegendre-Fenchel........................ 77

2.2Caractérisation dun opérateur gradient (lemme de Poincaré) 82

2.3Convexité et diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.4Un théorème de Rolle approché. Diérentiation dapplicationsradiales. Un système diérentiel linéaire . . . . . . . . . . . . . 88

2.5Diérentielle dune fonctionnelle intégrale. Calcul diérentielsurdesfonctionsàvaleursmatricielles.............. 92

2.6OpérateursdeNemycki...................... 98

2.7Diérentiabilité (et caractèreC

1 )viales différentielles partielles. Calcul différentiel (basique, Théorème desaccroissementsfinis) ..................... 99

2.8Dérivée det?-→exp((1-t)A)exp(tB). Formules de Taylor

sur la fonction déterminant. Conditions d"extrémalité du deuxième ordre sur un espace de Hilbert . . . . . . . . . . . 104 vRetrouver ce titre sur Numilog.com Calcul différentiel et équations différentielles

2.9Conditions nécessaires doptimalité du premier ordre

en labsence de diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2.10Méthodededescentelelongdugradient ............112

2.11Conditions nécessaires doptimalité en présence de contraintesdinégalité .............................116

2.12Diérentielle de Gâteaux. Multiplicateurs de Lagrange . . . . . 119

2.13Minimisation dune fonction convexe sous une contraintedinégalitéconvexe.........................122

2.14Minimisation dune fonction convexe sur un polyèdre convexedeR

n ................................126

2.15Détermination et nature des points critiques dune fonction.

Diérentiation de lapplication exponentielle . . . . . . . . . . 132

2.16Calcul diérentiel dordre supérieur. Diérentielle dordre 2duneapplicationcomposée....................136

2.17Résolution déquations par la méthode de Newton I . . . . . . 140

2.18Résolution de léquationf(x)=0par la méthode

de Newton II. Minimisation d"une fonction convexe

2.19Un théorème de Rolle pour les fonctions à valeurs vectorielles.Un problème de maximisation. Sensibilité des racines simplesdunpolynôme...........................147

2.20Conditions doptimalité exprimées à laide du cône tangentà lensemble des contraintes. Applications à un problèmevariationnel ............................153

2.21Problème variationnel de minimisation dune fonctionnelleduCalculdesvariations......................158

2.22Calcul diérentiel dordre 2 sur un espace de matrices.Surjectivité de la normale unitaire à une hypersurfacecompacte deR

n . Ensemble des solutions possibles d"une équation différentielle scalaire linéaire d"ordren.....163

2.23Descente continue le long du gradient. Projection

sur une surface deR 3 .......................166

2.24Une surface conique deR

3 . Monotonie des solutions d"équations différentielles scalaires autonomes. Une équation différentielle vectorielle linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

2.25Un problème aux limites par le Théorème des fonctions

implicites. Équations diérentielles linéaires à coecients viRetrouver ce titre sur Numilog.com

Table des matières

2.26Du Théorème des fonctions implicites au Théorème

2.27Intégrales premières. Utilisation du Théorème des fonctionsimplicites. Une équation aux dérivées partielles . . . . . . . . . 180

2.28Diérentiabilité de la fonction distance à un ensemble.Une équation diérentielle scalaire non linéaire du deuxièmeordre. Système diérentiel linéaire où les valeurs propresdeA(t)ne dépendent pas det..................184

2.29Équations diérentielles scalaires. Équation diérentielle

vectorielle linéaire à coecients périodiques . . . . . . . . . . . 189

2.30Distance de lorigine à une courbe deR

3 . Comportement asymptotique des solutions d"une équation différentielle

2.31Équation diérentielley

=xy 2 . Comportement asymptotique des solutions d"une équation différentielle linéaire vectorielle 195

2.32Formule de Thermodynamique sur les dérivées partielles.Équation diérentiellex

=tsinx. Équation différentielle

2.33Équations diérentielles non linéaires. Comportementasymptotique des solutions dune équation diérentiellelinéairesouslaconditiondeLiapounov .............205

2.34Une équation diérentielle scalaire autonome. Calculde la hauteur dune courbe. Diérentiation de la fonction

déterminant ............................207

2.36Méthodes dapproximation de solutions déquations

Bibliographie223

viiRetrouver ce titre sur Numilog.com

ABRÉVIATIONS ET NOTATIONS

:= : égal par définition (utilisé de temps en temps). cf. :confer, signifie " se reporter à ». i.e. :id est, signifie " c"est-à-dire ». logouln: logarithme népérien. arctan: arctangente. tan: tangente. sinh(resp.cosh,tanh: sinus (resp. cosinus, tangente) hyperbolique. R ouR : ensemble des réels≥0. R ouR : ensemble des réels strictements positifs. {1,···,n}ou[1,n]: ensemble des entiers compris entre 1 etn. t↓0(resp.t↑0)ttend vers 0 par valeurs strictement positives (resp. strictement négatives). ¯B(x,r)(resp.B(x,r)) : boule fermée (resp. ouverte) de centrexet de rayonr.

On utilisera aussi¯B

r (x)etB r (x). id E ouI E : application identité de l"ensembleE. x(·): fonction et application sont des appellations utilisées indifféremment; ici la notation est pour suggérer quexest une fonction. f |A : restriction de l"applicationf:E-→FàlapartieA?E.

?·,·?ou(·|·): notation générique pour un produit scalaire;??·,·??est plus vo-

lontiers utilisé dans l"espace des matrices (de manière à distinguer ce qui est relatif aux matrices et aux vecteurs).

Df(x)(resp.D

pquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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[PDF] CALCUL DIFFÉRENTIEL ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Comment calculer une équation différentielle?

Comment corriger les équations différentielles ?

Quelle est la solution générale de l'équation différentielle?

Comment calculer l'équation différentielle ?

EXERCICES CORRIGÉS

COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques

Dominique Azé, Guillaume Constans

Calcul différentiel et

équations différentielles

L3Retrouver ce titre sur Numilog.com

CALCUL DIFFÉRENTIEL

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Exercices et problèmes corrigés

Collection dirigée par Daniel Guin

17, avenue du Hoggar

Parc d"activités de Courtabuf, BP 112

91944 Les Ulis Cedex A, FranceRetrouver ce titre sur Numilog.com

Toulouse).

Imprimé en France

ISBN: 978-2-7598-0413-9

122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent

3, rue Hautefeuille,75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

91944 Les Ulis Cedex ARetrouver ce titre sur Numilog.com

TABLE DES MATIÈRES

Avant-Proposvii

Abréviations et Notationsxi

1 Énoncés1

1.1Calcul diérentiel sur des espaces de matrices. Transformation

1.2Caractérisation dun opérateur gradient (lemme de Poincaré) 3

1.3Convexité et diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4Un théorème de Rolle approché. Diérentiation dapplications

1.5Diérentielle dune fonctionnelle intégrale. Calcul diérentielsurdesfonctionsàvaleursmatricielles.............. 9

1.6OpérateursdeNemycki...................... 11

1.7Diérentiabilité (et caractèreC

1.8Dérivée det?-→exp((1-t)A)exp(tB). Formules de Taylor

1.9Conditions nécessaires doptimalité du premier ordreen labsence de diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10Méthodededescentelelongdugradient ............ 18

1.11Conditions nécessaires doptimalité en présence de contraintesdinégalité ............................. 20

1.12Diérentielle de Gâteaux. Multiplicateurs de Lagrange . . . . . 23Retrouver ce titre sur Numilog.com

1.13Minimisation dune fonction convexe sous une contrainte

1.14Minimisation dune fonction convexe sur un polyèdre convexedeR

1.15Détermination et nature des points critiques dune fonction.

1.16Calcul diérentiel dordre supérieur. Diérentielle dordre 2duneapplicationcomposée.................... 31

1.17Résolution déquations par la méthode de Newton I . . . . . . 33

1.18Résolution de léquationf(x)=0par la méthode

1.19Un théorème de Rolle pour les fonctions à valeurs vectorielles.

1.20Conditions doptimalité exprimées à laide du cône tangentà lensemble des contraintes. Applications à un problème

1.21Problème variationnel de minimisation dune fonctionnelle

1.22Calcul diérentiel dordre 2 sur un espace de matrices.Surjectivité de la normale unitaire à une hypersurfacecompacte deR

1.23Descente continue le long du gradient. Projection

1.24Une surface conique deR

1.25Un problème aux limites par le Théorème des fonctionsimplicites. Équations diérentielles linéaires à coecientspériodiques............................. 51

1.26Du Théorème des fonctions implicites au ThéorèmedeCauchy-Lipschitz........................ 53

1.27Intégrales premières. Utilisation du Théorème des fonctionsimplicites. Une équation aux dérivées partielles . . . . . . . . . 54

Table des matières

1.28Diérentiabilité de la fonction distance à un ensemble.

1.29Équations diérentielles scalaires. Équation diérentielle

1.30Distance de lorigine à une courbe deR

1.31Équation diérentielley

1.32Formule de Thermodynamique sur les dérivées partielles.Équation diérentiellex

1.33Équations diérentielles non linéaires. Comportementasymptotique des solutions dune équation diérentiellelinéairesouslaconditiondeLiapounov ............. 68

1.34Une équation diérentielle scalaire autonome. Calculde la hauteur dune courbe. Diérentiation de la fonctiondéterminant ............................ 70

1.35Équationsdiérentiellesavecretard............... 72

1.36Méthodes dapproximation de solutions déquationsdiérentielles............................ 74

2 Solutions77

2.1Calcul diérentiel sur des espaces de matrices. TransformationdeLegendre-Fenchel........................ 77

2.2Caractérisation dun opérateur gradient (lemme de Poincaré) 82

2.3Convexité et diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

2.4Un théorème de Rolle approché. Diérentiation dapplicationsradiales. Un système diérentiel linéaire . . . . . . . . . . . . . 88

2.5Diérentielle dune fonctionnelle intégrale. Calcul diérentielsurdesfonctionsàvaleursmatricielles.............. 92

2.6OpérateursdeNemycki...................... 98

2.7Diérentiabilité (et caractèreC

2.8Dérivée det?-→exp((1-t)A)exp(tB). Formules de Taylor

2.9Conditions nécessaires doptimalité du premier ordre

2.10Méthodededescentelelongdugradient ............112

2.11Conditions nécessaires doptimalité en présence de contraintesdinégalité .............................116

2.12Diérentielle de Gâteaux. Multiplicateurs de Lagrange . . . . . 119

2.13Minimisation dune fonction convexe sous une contraintedinégalitéconvexe.........................122

2.14Minimisation dune fonction convexe sur un polyèdre convexedeR

Parc d"activités de Courtabuf, BP 112

1.2Caractérisation dun opérateur gradient (lemme de Poincaré) 3

1.4Un théorème de Rolle approché. Diérentiation dapplications

1.5Diérentielle dune fonctionnelle intégrale. Calcul diérentielsurdesfonctionsàvaleursmatricielles.............. 9

1.9Conditions nécessaires doptimalité du premier ordreen labsence de diérentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.11Conditions nécessaires doptimalité en présence de contraintesdinégalité ............................. 20

1.13Minimisation dune fonction convexe sous une contrainte

1.14Minimisation dune fonction convexe sur un polyèdre convexedeR

1.15Détermination et nature des points critiques dune fonction.

1.16Calcul diérentiel dordre supérieur. Diérentielle dordre 2duneapplicationcomposée.................... 31

1.17Résolution déquations par la méthode de Newton I . . . . . . 33

1.18Résolution de léquationf(x)=0par la méthode

1.20Conditions doptimalité exprimées à laide du cône tangentà lensemble des contraintes. Applications à un problème

1.21Problème variationnel de minimisation dune fonctionnelle

1.22Calcul diérentiel dordre 2 sur un espace de matrices.Surjectivité de la normale unitaire à une hypersurfacecompacte deR

1.30Distance de lorigine à une courbe deR

1.33Équations diérentielles non linéaires. Comportementasymptotique des solutions dune équation diérentiellelinéairesouslaconditiondeLiapounov ............. 68

1.34Une équation diérentielle scalaire autonome. Calculde la hauteur dune courbe. Diérentiation de la fonctiondéterminant ............................ 70

1.36Méthodes dapproximation de solutions déquationsdiérentielles............................ 74

2.2Caractérisation dun opérateur gradient (lemme de Poincaré) 82

2.4Un théorème de Rolle approché. Diérentiation dapplicationsradiales. Un système diérentiel linéaire . . . . . . . . . . . . . 88

2.5Diérentielle dune fonctionnelle intégrale. Calcul diérentielsurdesfonctionsàvaleursmatricielles.............. 92

2.9Conditions nécessaires doptimalité du premier ordre

2.11Conditions nécessaires doptimalité en présence de contraintesdinégalité .............................116

2.13Minimisation dune fonction convexe sous une contraintedinégalitéconvexe.........................122

2.14Minimisation dune fonction convexe sur un polyèdre convexedeR

2.15Détermination et nature des points critiques dune fonction.

2.16Calcul diérentiel dordre supérieur. Diérentielle dordre 2duneapplicationcomposée....................136

2.17Résolution déquations par la méthode de Newton I . . . . . . 140

2.18Résolution de léquationf(x)=0par la méthode

2.19Un théorème de Rolle pour les fonctions à valeurs vectorielles.Un problème de maximisation. Sensibilité des racines simplesdunpolynôme...........................147

2.20Conditions doptimalité exprimées à laide du cône tangentà lensemble des contraintes. Applications à un problèmevariationnel ............................153

2.21Problème variationnel de minimisation dune fonctionnelleduCalculdesvariations......................158

2.22Calcul diérentiel dordre 2 sur un espace de matrices.Surjectivité de la normale unitaire à une hypersurfacecompacte deR

2.30Distance de lorigine à une courbe deR

2.33Équations diérentielles non linéaires. Comportementasymptotique des solutions dune équation diérentiellelinéairesouslaconditiondeLiapounov .............205

2.34Une équation diérentielle scalaire autonome. Calculde la hauteur dune courbe. Diérentiation de la fonction

2.36Méthodes dapproximation de solutions déquations