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Quels sont les livres de calcul différentiel ?
Le livre Analyse Numérique et Equations Différentiellesde Jean-Pierre Demailly couvre le programme du cours et les TP. Le Cours de Calcul Différentiel, d'Henri Cartan. Le livre Equations Différentielles Ordinairesde Vladimir Arnold donne beaucoup d'exemples et d'idées.
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Exercice 1(Schéma de Heun, barème 2 points). Soitf?C1(IR,IR)etx0?IR. On cherche à approcher la solution du problème de Cauchy autonome x ?(t) =f(x(t))pour toutt >0, x(0) =x0, par le schéma numérique suivant, oùhest le pas (uniforme) de discrétisation en temps : x (0)=x0, puis pourx(n)connu,n≥0:¯x(n+1)=x(n)+hf(x(n)),
¯x(n+1)=x(n)+hf(¯x(n+1)),
x (n+1)=12(¯x(n+1)+¯¯x(n+1))
Montrer que ce schéma est le schéma de Heun vu en cours (c"est-à-dire que la suite(x(n))n?INest la même que celle
donnée par le schéma de Heun). Corrigé -En sommant les équations donnant¯x(n+1)et¯¯x(n+1), on obtient x (n+1)=12(x(n)+hf(x(n)) +x(n)+hf(¯x(n+1))) =x(n)+h2(f(x(n)) +f(x(n)+hf(x(n))),
ce qui donne bien la formule du schéma de Heun.On supposemaintenant que le problèmeest non autonome,c"est-à-direque l"on remplacef(x(t))parf(t,x(t)). Dans
la schéma ci dessus on remplace alorsf(x(n))parf(tn,x(n))etf(¯x(n+1))parf(tn,¯x(n+1))ouf(tn+1,¯x(n+1)), où
tn=nh. L"un de ces deux schémas donne t-il la même solution que le schéma de Heun vu en cours? Si oui, lequel?
Corrigé -Si on remplacef(x(n))parf(tn,x(n))etf(¯x(n+1))parf(tn,¯x(n+1))on obtient x n+1=xn+h2(f(tn,xn) +f(tn,xn+hf(tn,xn))).
Si on remplacef(x(n))parf(tn,x(n))etf(¯x(n+1))parf(tn+1,¯x(n+1))on obtient x n+1=xn+h2(f(tn,xn) +f(tn+1,xn+hf(tn,xn))).
Ce deuxième schéma donne bien le schéma de Heun vu en cours. Exercice 2(AB=BAversuseAeB=eBeA, barème 9 points).SoientA,B?Mn(IR). On noteIla matrice identité deMn(IR).1. Montrer que
lim t→0e tA-I t=A.En déduire queAB=BAsi et seulement sietAetB=etBetApour toutt >0. [L"une des implications a été
faite en cours.] Corrigé -L"applicationMdeIRdansMn(IR)définie parM(t) =etAvérifieM?(t) =AM(t)pour toutt?IR.CommeM(0) =I, on en déduit
lim t→0e tA-I t=M?(0) =AM(0) =A. On suppose queetAetB=etBetApour toutt >0. On en déduit que pour toutt >0, e tA-I te tB-It=etB-Ite tA-It.En passant à la limite dans cette égalité quandt→0,t >0, on obtient (par continuité du produit de matrices)
AB=BA.
L"autre implication a été faite en cours.
12. On suppose queA=?0 2π
-2π0? (a) Calculer les solutions du système différentielX?=AXet en déduire queeAeB=eBeApour toute matriceB?M2(IR). Corrigé -Onnotexetylesdeux composantes deX, lesystèmeX?=AXsécritalorsx?= 2πy,y?=-2πx, ce qui donne x ??+ (2π)2x= 0.La solution générale de cette équation différentielle estx(t) =αcos(2πt) +βsin(2πt)et doncy(t) =
-αsin(2πt) +βcos(2πt)). Ceci montre queX(1) =X(0). CommeX(t) =etAX(0)(et queX(0)est arbitraire dansIR2), on a donceA=I. Ceci donne bieneAeB=eBeApour toute matriceB?M2(IR). (b) Donner un exemple pour lequelAB?=BA.Corrigé -Un exemple possible estB=?0 10 0?
3. Poura?IRouCl,a?= 0, on poseB=?0 10a?
etC=?a1 0 0? (a) CalculereBeteC.Corrigé -On notexetyles deux composantes deXet on résout le systèmeX?=BX, c"est-à-direx?=y,
y ?=ay. Ceci donne y(t) =y(0)eat, x(t) =α+βeat, avecaβ=y(0)etα+β=x(0), c"est-à-direβ=y(0)/a,α=x(0)-y(0)/aet donc x(t) = (x(0)-y(0)/a) + (y(0)/a)eat=x(0) +y(0)((eat-1)/a),X(t) =etBX(0),avecetB=?1 (eat-1)/a
0eat? On résout maintenant le systèmeX?=CX, c"est-à-direx?=ax+y,y?= 0. Ceci donne y(t) =y(0), x(t) =αeat+β, avecaβ+y(0) = 0etα+β=x(0), c"est-à-direβ=-y(0)/a,α=x(0) +y(0)/aet donc x(t) = (x(0) +y(0)/a)eat-y(0)/a=x(0)eat+y(0)((eat-1)/a),X(t) =etCX(0),avecetC=?eat(eat-1)/a
0 1? eB=?1 (ea-1)/a
0ea? ,eC=?ea(ea-1)/a 0 1? (b) on pose maintenantA=?a0 0-a? , de sorte queC=A+B. Montrer que poura= 2πi,eA+B=eAeB.Les matricesAetBcommutent-elles?
Corrigé -Poura= 2πi, la question précédente donneeB=?1 00 1? ,eA+B=eC=?1 00 1? . CommeA est une matrice diagonale,eA=?e2πi00e-2πi?
=I. On a bieneA+B=eAeB.Les matricesAetBne commutent pas,AB=?0a
0-a2? etBA=?0-a 0-a2? 2Exercice 3(Système linéaire non homogène, barème 3 points).SoientA?Mn(IR),λ?Sp(A)etψ?IRn. On
définit la fonctionGdeIRdansIRnparG(t) =eλtψ(pourt?IR).On s"intéresse au système différentiel
X ?(t) =AX(t) +G(t), t?IR.(1)1. Montrer que l"on peut trouver une solution particulière de (1) sous la formeX(t) =eλt?(avec??IRn) si et
seulement siψ?Im(A-λI). Corrigé -Soit??IRn. Pourt?IR, on poseX(t) =eλt?de sorte queX?(t)-AX(t) =eλt(λI-A)?.La fonctionXest donc solution de(1)si et seulement si(λI-A)?=ψ. Un tel vecteur?existe si et seulement si
ψ?Im(A-λI).
2. Montrer que l"on peut trouver une solution particulière de (1) sous la formeX(t) =teλt?(avec??IRn) si et
seulement siψ?Ker(A-λI).Corrigé -Soit??IRn. Pourt?IR, on poseX(t) =teλt?de sorte queX?(t)-AX(t) =teλt(λI-A)?+eλt?.
La fonctionXest donc solution de(1)si et seulement si?=ψ(en prenantt= 0) et(λI-A)?= 0. Ceci est possible
si et seulement siψ?Ker(A-λI). Exercice 4(Système non linéaire, barème 14 points). Soientx0≥0ety0≥0. On considère le système différentiel suivant : x ?(t) = (1-x(t))y(t), t >0, y ?(t) =y(t)(x(t)-y(t)), t >0,(2) avec les conditions initiales x(0) =x0, y(0) =y0.(3)1. Montrer qu"il existe une unique solution maximale(x,y)?C1([0,Tm[,IR2)(avecTm>0) de (2)-(3).
Corrigé -En notantXla fonction dont les composantes sontxety, le système(2)x"écritX?(t) =F(X(t))avec
Fde classeC1. On en déduit que (2)-(3) admet une unique solution maximale.Dans toute la suite on note(x,y)la solution maximale de (2)-(3) (elle est définie sur l"intervalle[0,Tm[).
2. Donner l"ensemble des points d"équilibre du système (2) (c"est-à-dire les couples(x0,y0)pour lesquelsx(t) =
x0,y(t) =y0pourtoutt≥0est solutionde(2)-(3)).Pourchaquepointd"équilibre,calculerlesystème linéarisé
et en déduire, si cela est possible, la stabilité ou l"instabilité du point d"équilibre.Corrigé -Les points d"équilibre sont les points(a,0), aveca≥0, et le point(1,1). La matrice jacobienne deFau
point(a,b)est JF(a,b) =?-b1-a
b a-2b?Poura≥0etb= 0,JF(a,0) =?0 1-a
0a?Sia >0, le point(a,0)est instable. Sia= 0, l"étude du problème linéarisé ne permet pas de conclure à lastabilité
ou l"instabilité de ce point.Poura=b= 1,JF(1,1) =?-1 0
1-1?Le point(1,1)est asymptotiquement stable.
3Corrigé -Les points(a,0),a?IR, sont des points d"équilibre. Cela suffit pour affirmer que, siy0>0,y(t)>0
etx(¯t) = 0. Commex(t)>0pourt <¯t,x?(¯t)≥0. Maisx?(¯t) = (1-x(¯t))y(¯t)>0, ce qui est impossible. On a
4. On suppose dans cette question quex0= 1. Montrer queTm= +∞et donner les fonctionsxety.
y ?(t) =y(t)(1-y(t)), t >0, y(0) =y0. Cette solution (déjà vu en cours et en td) est y(t) =y0 y0+ (1-y0)e-t etTm= +∞. On poseD={(a,b)?IR2, b >0, a <1, a > b}(il peut être utile de dessiner l"ensembleD). On suppose pour toute la suite de l"exercice que(x0,y0)?D.5. Montrer quey(t)>0etx(t)<1pour toutt?[0,Tm[.
Corrigé -
La question 3 donney(t)>0pour toutt. Puis comme (grâce à la question 4) toute la demi droite{(1,y), y >0}est
formée de trajectoires du système différentiel et quex0<1, on a bienx(t)<1pour toutt.6. Montrer quex(t)> y(t)(et doncx(t),y(t)?D) pour toutt?[0,Tm[.
[On pourra remarquer que(x-y)?(t)>0six(t) =y(t)avect?[0,Tm[.]En déduire queTm= +∞.
x T m= +∞. Corrigé -y?(t) =y(t)(x(t)-y(t)>0pour toutt >0ety(t)< x(t)<1pour toutt. La fonctionyest donc8. Pour toutt≥0, on posez(t) = 1-x(t). Donner l"équation différentielle satisfaite parz. En déduire qu"il
Corrigé -z?(t) =-x?(t) =-y(t)z(t). Commez(t)>0ety(t)≥y0>0, on en déduit quez?(t)<-y0z(t).9. Montrer quelimt→+∞x(t) = 1etlimt→+∞y(t) = 1.
Corrigé -La question 8 donnelimt→+∞z(t) = 0et donclimt→+∞x(t) = 1. Puis, comme la fonctionyest
un point d"équilibre (proposition 6 du cours), ce qui prouveque?= 1. 4quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38[PDF] exercice corrigé equation differentielle l3
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