[PDF] Equations et syst`emes différentiels 3 Année Mathématiques

View - Download Equations et syst`emes différentiels 3 Année Mathématiques

Previous PDF

Next PDF

R

EPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE

& POPULAIRE

MINIST

ERE DE L'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSIT

E IBN KHALDOUN-TIARET

FACULT

E DES MATHEMATIQUES

ET DE L'INFORMATIQUE

Equations et systemes dierentiels

3 emeAnnee Mathematiques

Realise par

Dr.Maazouz Kadda

Expertise par :

Pr.Hedia Benaouda- Universite Ibn Khaldoun, Tiaret. Dr.Souid Mohamed Said- Universite Ibn Khaldoun, Tiaret.

Table des mati`eres

1 Equations diff´erentielles du premier ordre 4

1.1 EDs du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.1 EDs `a variables s´eparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.1.2 EDs homog`enes : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1.1.3 La r´esolution d"une ´equation diff´erentielle homog`ene : . . . . . . . . . . .7

1.1.4 EDs se ramenant aux ´equations homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . .8

1.2 Equations diff´erentielles non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.2.1 Equation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11

1.2.2 Equation de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

1.2.3 Equation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

1.2.4 Equation de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

1.3 Equations aux diff´erentielles totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

1.3.1 Facteur int´egrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

1.4 Equations diff´erentielles lin´eaires d"ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25

2 Equations diff´erentielles d"ordre deux 27

2.1 Equations diff´erentielles du deuxi`eme ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

2.1.1 Equations diff´erentielles se ramenant au premier ordre . . . . . . . . . . .27

2.1.2 Equation ne contenant pasy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

2.1.3 Equation ne contenant pasx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28

2.1.4 Equations diff´erentielles lin´eaires du deuxi`eme ordre . . . . . . . . . . . .29

2.1.5 La solution g´en´erale dey??+ay?+by= 0 : . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

2.1.6 M´ethode de variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

2.1.7 La r´esoution d"une ED par un changement de variable . . . . . . . . . . .36

2.1.8 Equation diff´erentielle d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

3 Etude th´eorique d"une ´equation diff´erentielle 41

3.1 Equations diff´erentielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.1.1 R´esultats fondamentaux : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

3.2 Equations diff´erentielles (probl`eme de Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

3.2.1 Existence et unicit´e de la solution satisfaisante `a une condition initiale . .46

3.2.2 L"in´egalit´e de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48

3.2.3 Existence et unicit´e globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50

1

2 TABLE DES MATI

`ERES3.2.4 Existence et unicit´e locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

3.2.5 Solution maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

3.2.6 Solutions approch´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53

3.3 Continuit´e par rapport `a la condition initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

3.4 Continuit´e par rapport `a un param`etre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

4 Syst`emes diff´erentiels 62

4.1 Notions fondamentales et d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

4.1.1 Syst`eme diff´erentiel du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

4.2 Syst`emes diff´erentiels lin´eaires du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65

4.2.1 Syst`eme diff´erentiel lin´eaire `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . .67

4.2.2 Exponentielle d"une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

4.2.3 D´ecomposition de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69

4.3 Syst`eme diff´erentiel lin´eaire `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . .70

4.3.1 Syst`eme diff´erentiel lin´eaire homog`ene `a coefficients constants . . . . . . .70

4.3.2 Cas o`uAest diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

4.3.3 Cas o`uAest tr´egonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

4.3.4 Syst`eme diff´erentiel lin´eaire non homog`ene `a coefficients constants . . . .75

4.4 La r´esolvante et formule int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

4.4.1 Syst`emes diff´erentiels non homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

4.4.2 Syst`emes `a coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79

4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

5 Introduction aux notions de stabilit´e 83

5.1 Stabilit´e des syst`emes autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

5.2 Stabilit´e des syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

5.3 Les types les plus simples de points d"´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87

Bibliographie88

Introduction

La notion d"´equation diff´erentielle apparaˆıt chez les math´ematiciens `a la fin du 17 `eme

si`ecle. A cette ´epoque, les ´equations diff´erentielles s"introduisent en math´ematiques par les

probl`emes d"origine m´ecanique par exemple : Mouvement du pendule circulaire, probl`eme du mouvement de deux corps s"attirant mutuellement; suivant la loi de la gravitation newtonnienne, probl`eme de l"´etude de mouvement de corps ´elastiques (tiges, ressorts, cordes vibrantes), probl`eme de l"´equation de la courbe d´ecrivant la forme prise par une corde suspendue aux deux extr´emit´es et soumise `a son propre poids. Quelques notions

acquises dans les ann´ees ant´erieures ont ´et´e utilis´ees, cependant je me suis efforc´e de limi-

ter au maximum les rappels, afin de ne pas rompre une coh´esion indispensable `a l"eficacit´e. Ce polycopi´e comprend cinq chapitres, le premier est consacr´e aux notions fondamen- tales ainsi quelques types du premier ordre soit lin´eaires soit non lin´eaires. Deuxi`eme

chapitre traite des ´equations diff´erentielles d"ordre deux, le troisi`eme chapitre ´etudie les

´equations diff´erentielles d"un cot´e th´eorique en introduisant le probl`eme de Cauchy ou

probl`eme de condition initiale. Le quatri`eme envisage les syst`emes diff´erentiels lin´eaires

et non lin´eaires en introduisant les notions de l"exponentielle d"une matrice et la notion

de la r´esolvante. le dernier chapitre envisage quelques types de stabilit´e pour les syst`emes

autonomes et syst`emes lin´eaires. Ce polycopi´e comprend un grand nombre d"exemples illustrant en d´etail les nouveaux concepts et r´esultats. Il contient ´egalement des exercices `a la fin de chaque chapitre avec des niveaux de difficult´es variables.

Ce polycopi´e est destin´e aux´etudiants de la 3 ann´ee licence " Math´ematiques g´en´erales".3

Chapitre 1

Equations diff´erentielles du premier

ordreD´efinition 1.1On appelle ´equation diff´erentielle une ´equation ´etablissant une relation entre la

variable ind´ependantex,la fonction inconnueyet ses d´eriv´ees,y?, y??,···, y(n). On peut ´ecrire symboliquement une ´equation diff´erentielle comme suit :

F(x,y,y?,···,y(n)) = 0.D´efinition 1.2On appelle ordre d"une ´equation diff´erentielle l"ordre de la d´eriv´ee la plus elev´ee

contenue dans cette ´equation diff´erentielle.

Exemple :

F(x,y,y?) = 0 est une ED d"ordre 1.

F(x,y,y?,y??) = 0 est une ED d"ordre 2.

yy ??=x-x2y?= 0 est une ED d"ordre 2. x

?-tx+t2= 1 est une ED d"ordre 1.D´efinition 1.3On appelle solution ou int´egrale d"une ´equation diff´erentielle toute fonctiony

v´erifiant identiquement cette ´equation diff´erentielle.D´efinition 1.4La courbe repr´esentative de la solution (int´egrale) d"une ´equation diff´erentielle

est appel´ee courbe int´egrale.Remarque 1.1R´esoudre ou int´egrer une ´equation diff´erentielle, il consiste `a trouver toutes les

solutions de cette ´equation diff´erentielle.

1.1 EDs du premier ordre

Les ´equations diff´erentielles du premier ordre (d"ordre un) sont de la forme :

F(x,y,y?) = 0.4

1.1 EDs du premier ordre 5

1.1.1 EDs `a variables s´eparables

D´efinition 1.5On appelle une ´equation diff´erentielle `a variables s´eparables toute ´equation de

la forme : f(y)y?=g(x).(1.1) o`ufetgsont deux fonctions num´eriques d´efinies et continues respectivement surIetJdeux intervalles deR.Remarque 1.2L"´equation (1.1) peut s"ecrire aussi sous la forme f(y)dy=g(x)dx. Les solutions de l"´equation (1.1) sont d´efinies par : f(y)dy=? f(x)dx+c, c?R.Exemple 1.1R´esoudre surIR?+l"´equation : x

2y?-y2= 0.

Il ´evident quey= 0est une soution, poury?= 0on a x

2y?-y2= 0??y?y

2=1x 2 dyy 2=dxx 2 1y =-1x +c, c?R 1y =1-cxx , c?R ??y=x1-cxc?R

Donc l"ensembleSdes solutions est

S={y= 0ouy=x1-cx, c?R}Exemple 1.2R´esoudre l"´equation : x

2y?=ey.

6 Equations diff´erentielles du premier ordre

Pourx?= 0nous avons

x

2y?=ey??y?e

y=1x 2 dye y=dxx 2 ??e-ydy=dxx ?? -e-y=-1x +c, c?R ??e-y=1x -c, c?R ?? -y= ln?1x -c? , c?R ??y= ln?x1-cx? , c?R

1.1.2 EDs homog`enes :D´efinition 1.6(fonctions homog`enes)

Une fonctionf(x,y)est dite homog`ene de ses arguments de degr´ensi elle v´erifie l"identit´e

f(λx,λy) =λn=f(x,y)Exemple 1.3Montrons quef(x,y) =x2+y2-xyest une fonction homog`ene :

En effet pour tout(x,y)?R2etλ?Ron a :

f(λx,λy) = (λx)2+ (λy)2-(λx)(λy) =λ2x2+λ2y2+λ2xy =λ2(x2+y2+xy) =λ2f(x,y) Doncfest une fonction homog`ene d"ordre 2.Exemple 1.4Montrons quef(x,y) =x2-y2x

2+y2est une fonction homog`ene :

En effet pour tout(x,y)?R2etλ?Ron a :

f(λx,λy) =(λx)2-(λy)2(λx)2+ (λy)2 x2-y2x 2+y2 =f(x,y) Doncfest une fonction homog`ene d"ordre 0.D´efinition 1.7(ED homog`ene) Une ´equation diff´erentielle de la formey?=f(x,y)est dite homog`ene lorsque la fonctionf(x,y) est homog`ene de degr´e z´ero.

1.1 EDs du premier ordre 7

Remarque 1.3Une ´equation diff´erentielle homog`ene peut se mettre toujours sous la forme : y ?=??yx

1.1.3 La r´esolution d"une ´equation diff´erentielle homog`ene :

Soit l"´equation diff´erentielle homog`ene : y ?=??yx

Posons

yx =u,doncy=ux??y?=xu?+ualors (?)??xu?+u=f(u) ??xu?=f(u)-u u?f(u)-u=1x duf(u)-u=dxx ???duf(u)-u= ln|x|+c, c?R. Donc les solutions de l"´equation (*) sont d´efinies par : y=xu,etx=ke? duf(u)-u, k?R.Exemple 1.5R´eoudre l"´equation suivante xy ?=?x

2-y2+y(??).

En effet pourx?= 0on a

(??)??y?=?x 2-y2x 2+yx ??y?=?1-?yx 2+yx

Posons

yx =u,doncy?=xu?+u,alors (??)??xu?+u=?1-u2+u ??xu?=?1-u2 u?⎷1-u2=1x du⎷1-u2=dxx ??arcsinu= ln|x|+c, c?R ??u= sin? ln|x|+c? , c?R ??y=xsin? ln|x|+c? , c?R.

8 Equations diff´erentielles du premier ordre

Exemple 1.6Int´egrer l"´equation

y ?=y2-x22xy(? ? ?). (? ? ?)??2y?=y2xy -x2xy ??2y?=yx -xy

Posons

yx =u,doncy?=xu?+u,alors (? ? ?)??2xu?+ 2u=u-1u ??2xu?=-u2+ 1u

2uu?1 +u2=-1x

2udu1 +u2=-dxx

quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

[PDF] cours equation differentielle l3

[PDF] exercice corrigé equation differentielle l3

[PDF] equation differentielle ordinaire cours pdf

[PDF] résolution déquation complexe

[PDF] progression bac pro assp structure

[PDF] cours sur la tenue professionnelle

[PDF] pole 3 bac pro assp

[PDF] tenue pour bac pro assp

[PDF] cours complet sur ipv6

[PDF] exercice adressage ipv6

[PDF] exercice adressage ipv6 corrigé pdf

[PDF] comprendre adressage ipv6

[PDF] cours ipv6 pdf

[PDF] mécanique des fluides exercices corrigés pdf

[PDF] dynamique des fluides exercices corrigés pdf