[PDF] Equations différentielles ordinaires et applications.





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Equations Différentielles Ordinaires et Partielles

L'objet de ce cours est de proposer une introduction à l'étude des équations différentielles ordinaires (EDO) et de certaines équations aux dérivées 



Chapitre 3 Equations différentielles ordinaires

est un premier exemple simple d'équation vectorielle. Exemple 15 L'EDO d'ordre 2 la plus célèbre est la deuxième loi de New- ton : F(x) = mx00(t).



Notes de cours Équations différentielles ordinaires

Nous allons aborder dans ce premier cours les équations différentielles ordinaires (EDO) linéaires du premier ordre. Nous illustrerons les premières 



Cours de mathématiques - Exo7

les équations différentielles linéaires du premier ordre et celles du second ordre à coefficients constants. • Une équation différentielle d'ordre n est 



Equations différentielles ordinaires et applications.

Option : Équations différentielle ordinaires. Session 2012-2013. système au cours du temps : systèmes de points matériels réactions chimiques



´Equations différentielles ordinaires

11 mai 2007 s'intéressera dans ce cours qu'`a des équations différentielles résolues pour lesquelles il existe une fonction G



Équations différentielles ordinaires

27 mai 2016 programme des cours de Mathématiques (Analyse mathématique des ... Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.



Résolution numérique des Équations Différentielles Ordinaires

théorie est vue dans le cours d'analyse des équations différentielles ordinaires. Bien que la forme (3.3) semble faire référence à une équation scalaire 



Equations Différentielles Ordinaires Equations aux Dérivées Partielles

26 févr. 2021 est-ce que les solutions x et y restent proches au cours du temps ? ... Chapitre I. Equations différentielles ordinaires.



Équations Différentielles Ordinaires

Dans ce cours nous ne considérerons que des systèmes différentiels sous forme dite normale (appelés parfois équations résolues par rapport aux dérivées)



Chapitre 5 : Équations différentielles

Résoudre l’équation différentielle : y??(x)+y?(x)=1+x2 (E1) en cherchant une solution particulière qui soit un polynôme du troisième degré 2 On considère l’équation différentielle : y??(x)+3y?(x)+2y(x)=(x2+1)e?x: (E2): Montrer quefest solution de(E2)si et seulement sigest solution de(E1)oùgest dé?ni parg(x)=exf(x)pour toutx



Exo7 - Cours de mathématiques

Définition : Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction Exemples : L’équation différentielle ( )=5 peut se noter =5 en considérant que est une fonction inconnue qui dépend de Dans ce cas une solution de cette équation est =5 En effet (5 ) =5



Notes de cours: Équations Différentielles Ordinaires

Dans ce cours nous ne considérerons que des systèmes différentiels sous forme dite normale (appelés parfois équations résolues par rapport aux dérivées) ou pouvant se ramener à un système sous forme normale Dé?nition 1 3 On appelle système différentiel normal tout système différentiel du premier ordre de la forme u0= f(t;u



Equations Differentielles´ - École Polytechnique

Dans ce chapitre on commence par donner quelques exemples d’´equations differentielles issues de diff´ ´erentes disciplines Mecanique ´ La relation fondamentale de la m´ecanique ecrite´ `a 1 dimension d’espace pour une particule ponctuelle fournit une source intarissable d’equations diff´ ´erentielles



Exo7 - Cours de mathématiques

Une équation différentiellelinéaire du premier ordreest une équation du type : y?=a(x)y+b(x) (E) oùaetbsont des fonctions définies sur un intervalle ouvertI deR Dans la suite on supposera queaet bsont des fonctions continues surI On peut envisager la forme :?(x)y?+?(x)y=?(x) On demandera alors que?(x)6=0 pour toutx?I



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Partie 1 : Equations Différentielles avec Conditions Initiales 1 1 Introduction On appelle équations différentielles ordinaires une équation ou un système d'équations différentielles dont les fonctions et leurs dérivées successives ne dépendent que d'une variable le temps par exemple

Comment calculer une équation différentielle linéaire ?

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type : y 0 = a ( x ) y + b ( x ) ( E ) où a et b sont des fonctions dé?nies sur un intervalle ouvert I de R.

Quel est l'ordre d'une équation différentielle ?

On oppose le terme ordinaire à équations différentielles aux dérivées partielles. On appelle ordre de l'équation différentielle le plus fort degré de dérivation apparaissant dans l'équation. Elles sont de la forme : Où f est une fonction de x et n est l'ordre de l'équation.

Comment obtenir une Equation Diff erentielle du 1er ordre ?

On obtient donc encore une equation diff´ erentielle du 1er ordre, l’inconnue´ ´etant la fonction v(x). Cette equation qui est s´ ´eparable dans les variables vet xconduit direc- tement `a l’existence d’un invariant (l’energie)´ d dx  1 2 v2(x)+W(x)  = 0, ou on a pos` e´ W(x) ? ? Rx. f(x?)dx?.

Comment calculer l'équation différentielle ?

En négligeant les termes d'ordre supérieur ou égal à 3, on eu arrive à poser : E(h3) = 0. Soit l'équation différentielle : y'(t) = ? y(t) + t + 1 et la condition initiale y(0) = 1. On a donc t0 = 0 et y0 = 1, et on prend un pas de temps h = 0.1. De plus, on a : de Taylor jusqu'à des termes d'ordre élevé. Nécessite le calcul , , 22 ,……

UNIVERSITÉ DE TLEMCEN

FACULTÉ DES SCIENCES

DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUESEquations différentielles ordinaires et applications.

Mémoire de licence (L.M.D)

Option : Équations différentielle ordinaires.

Session 2012-2013.

Présenté par :Achouri Ismail et Benkhaled Redouane.

Sous la direction de : Dr. Maliki Youssef

2

Table des matières

1 Introduction 5

2 Le problème de Cauchy général 7

2.1 Solutions maximales et globales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.2 Existence et unicité locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.3 Solutions maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.4 Existence globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.5 Dépendance par rapport aux données initiales . . . . . . . . . . . . .

19

3 Equations linéaires 25

3.1 Existence globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.2 Résolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.2.1 Cas des équations linéaires autonomes . . . . . . . . . . . . .

28

3.2.2 Cas des équations linéaires en dimension finie . . . . . . . . .

29

3.3 Formule de Duhamel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4 Applications 33

4.1 Mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.2 Dynamique des Populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

4.3 Electricité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

4.4 Météorologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36
3

4Table des matières

Chapitre 1

IntroductionLors de l"étude des phénomènes dans la nature, les solutions de plusieurs pro- blèmes de la Physique, de la Chimie et de la Biologie ou d"autres sciences, sont rare- ment exprimables sous forme d"une relation directe entre les grandeurs décrivant l"un ou l"autre processus évolutif. Cependant, dans la plupart des cas, on peut parvenir à établir une relation entre les grandeurs (fonctions) et les vitesses de leur changement c"est-à-dire on peut parvenir à trouver des équations dans lesquelles des fonctions inconnues entrent sous le signe de dérivée. Ces équations sont dites équations diffé rentielles. Depuis Isaac Newton , les équations différentielles jouent un rô le essentiel pour la modélisation de systèmes physiques, mé caniques, chimiques, biologiques ou écono-

miques et une part prépond érante des phénomènes modélisés par les mathématiques

le sont par des équations différentielles. Lorsque ces équations ne font intervenir que des fonctions d"une variable, et souvent cette variable sera le temps, on parle d"équations différentielles ordinaires. De telles équations apparaissent chaque fois que l"on veut décrire l"évolution déterministe d"un système au cours du temps : systèmes de points matériels, réactions chimiques, pro- blèmes d"évolution de population, de diffusion d"épidémies, bref chaque fois que l"on étudie la dépendence d"un système par rapport à une variable. Ce mémoire présente une introduction à la théories classique des equations différen- 5

6Chapitre 1. Introductiontielles ordinaires, pour des fondements de cette théorie on peut consulter les ouvrages

et [2] et [1], un exposé moderne est présenté dans [3]. Le chapitre2est consacré à l"étude des problèmes d"existence, d"unicité de solution du problème de Cauchy et sa dépendance de la condition initiale. Dans le chapitre3, on étudie les équations différentielles linéaires à coefficients constants, on verra que les solutions s"expriment à l"aide de l"exponentielle de matrice. Dans le chapitre4on présente quelques appli- cations.

Chapitre 2

Le problème de Cauchy généraldans ce chapitre, on étudie les problèmes d"existence et d"unicité locale et globale

d"un problème de Cauchy. on commence par donner quelques définitions. SoientIun ouvert deR,Xun espace de Banach surRetU1;:::Ukdes ouvert deX. Définition 2.1Une équation différentielle sur l"espace de BanachXest une équa- tion de la forme

H(t;y;y0;:::;y(k)) = 0

oùkest un entier non nul appelé l"ordre de l"équation,Hest une fonction donnée de(k+ 2)variables supposée régulières surIU1U2:::Uk,yest la fonction inconnue deIdans l"espace de BanachXety;y0;:::;y(k)sont ses dérivées successives. Plus précisément le problème est de trouver un intervalle ouvertIdeRet une fonction y:t7!y(t)derivable sur cet intervalle jusqu"à l"ordreket vérifiant l"équation

8t2I;H(t;y;y0;:::;y(k)) = 0

cette équation est de forme très générale,on pratique,on préférera travailler avec des équations plus particulières dites du type explicite, pour lesquelles il existe une fonctionGrégulière surIUU1:::U(k1)tel que y (k)=G(t;y;y0;:::;y(k1)) 7

8Chapitre 2. Le problème de Cauchy généralUne première remarque est qu"une équation du type ci-dessus peut se ramener à

une équation d"ordre 1, en effet

H(t;y;y0;:::;y(k)) = 0()y(k)=G(t;y;y0;:::;y(k1))

faiseent le chengement de variable suivant 8>>>< >>:x=y0 x 0=y00 x (k1)=y(k) alors 0 B

BBBB@y

y 0 y (k1)1 C

CCCCA0

=0 B BBBBB@0 1 00...........................0............1 0 01 C

CCCCCA0

B

BBBB@y

y 0 y (k1)1 C

CCCCA+0

B

BBBBB@0

G(t;y;y0;:::;y(k1))1

C

CCCCCA

Soitf:IU!Xune application continue,Uun ouvert deXOn considère l"équation différentielle : u

0=f(t;u)(2.1)

Définition 2.2Une solutionude(2.1)est une fonctionu2C1sur un intervalle JIet à valeurs dansU, dont la dérivée vérifieu0=f(t;u)pour toutt2J. Sans la donnée de conditions initiales, il est impossible de définir la notion de solution d"un système différentiel du premier ordre, c"est pourquoi on introduit un problème standard qui est le problème de Cauchy. Définition 2.3On appelle condition initiale de l"equation(2.1)une valeur(t0;u0)2 IUtel que la solution cherchéeusatisfit à la conditionu(t0) =u0. Définition 2.4 (Problème de Cauchy)L"équation différentielle(2.1)avec une condition initiale s"appelle problème de Cauchy qui s"écrit sous la forme : u0=f(t;u) u(t0) =u0(2.2)

2.1. Solutions maximales et globales.9Résoudre le problème de Cauchy (localement) revient à trouver un intervalleJI

contenantt0et une fonctionude classeC1surJsatisfaisant (2). Rappelons qu"une fonctionfest dite de classeCk,k2Nsi elle admet des dérivées partielles continues jusqu"à l"ordrek. Le premier théorème qu"on démontre concerne la régularité des solutions de (2.1) Théorème 2.1sif:DRU!Xest de classeCkalors toute solutionde l"équation différentielle(2.1)est de classeCk+1 Preuve.Pourkfixé supposons que8k2Nsoit de classeCk(D), comme:I! Uest solution de (2.1) c"est à dire0(t) =f(t;(t)), donc0est de classeCK;ce qui signifie queest de classeCk+1.2.1 Solutions maximales et globales. Avant de donner les théorèmes d"existence des solutions, il est bon de préciser quelle type de solutions qu"on recherche. Pour cela, on introduit les définitions sui- vantes : Définition 2.5soient:I!Uete:eI!eUdeux solutions de l"équation diffé- rentielle(2.1). On dit queeest un prolongement desi :IeIete(t) =(t)pour toutt2I. Définition 2.6Une solution:I!Ude(2.1)est dite maximale sin"admet pas de prolongement eavecIcontenu strictement danseI. Définition 2.7Une solution:I!Ude(2.1)est dite globale siest finie sur l"intervalleItout entier Remark 2.2Toute solution globale est maximale, mais la réciproque est fausse. Définition 2.8 (Equation intégrale du problème de Cauchy)Le problème de Cauchy peut se mettre sous une forme équivalante donnée par le théorème suivant :

10Chapitre 2. Le problème de Cauchy généralThéorème 2.3Supposons quef:IU!Xsoit une application continue,Iun

ouvert deRetUouvert connexe non vide d"unR-espace de Banach et(t0;u0)un point fixé deIUetuune fonction définie sur un intervalle ouvertJdeRqui contientt0;alorsuest solution du problème de Cauchy(2.2)surJsi et seulement si 1. p ourtout t2J;(t;u(t))2IU

2.uest continue surJ

3. p ourtout t2J u(t) =u0+Z t t

0f(s;u(s))ds

Preuve.Soitu:J!Uune fonction continue sur un intervalle ouvertJqui contientt0et est tell quef(t;u(t))=t2Jg IU. Supposons queuest une solution du problème de Cauchy (2.2) , alorsuest dérivable surJet vérifie :u0(t) =f(t;u(t)) u(t0) =u0 En intégrant les deus membres detoàt, on obtient pour toutt2J, Z t t

0u0(s)ds=Z

t t

0f(s;u(s))ds;

ce qui donne, en remplaçantu(to)paruo u(t) =u0+Z tquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6
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