Equations Différentielles Ordinaires Equations aux Dérivées Partielles PDF

L'objet de ce cours est de proposer une introduction à l'étude des équations différentielles ordinaires (EDO) et de certaines équations aux dérivées

Chapitre 3 Equations différentielles ordinaires

est un premier exemple simple d'équation vectorielle. Exemple 15 L'EDO d'ordre 2 la plus célèbre est la deuxième loi de New- ton : F(x) = mx00(t).

Notes de cours Équations différentielles ordinaires

Nous allons aborder dans ce premier cours les équations différentielles ordinaires (EDO) linéaires du premier ordre. Nous illustrerons les premières

Cours de mathématiques - Exo7

les équations différentielles linéaires du premier ordre et celles du second ordre à coefficients constants. • Une équation différentielle d'ordre n est

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26 févr. 2021 est-ce que les solutions x et y restent proches au cours du temps ? ... Chapitre I. Equations différentielles ordinaires.

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Dans ce cours nous ne considérerons que des systèmes différentiels sous forme dite normale (appelés parfois équations résolues par rapport aux dérivées)

Chapitre 5 : Équations différentielles

Résoudre l’équation différentielle : y??(x)+y?(x)=1+x2 (E1) en cherchant une solution particulière qui soit un polynôme du troisième degré 2 On considère l’équation différentielle : y??(x)+3y?(x)+2y(x)=(x2+1)e?x: (E2): Montrer quefest solution de(E2)si et seulement sigest solution de(E1)oùgest dé?ni parg(x)=exf(x)pour toutx

Exo7 - Cours de mathématiques

Définition : Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction Exemples : L’équation différentielle ( )=5 peut se noter =5 en considérant que est une fonction inconnue qui dépend de Dans ce cas une solution de cette équation est =5 En effet (5 ) =5

Notes de cours: Équations Différentielles Ordinaires

Dans ce cours nous ne considérerons que des systèmes différentiels sous forme dite normale (appelés parfois équations résolues par rapport aux dérivées) ou pouvant se ramener à un système sous forme normale Dé?nition 1 3 On appelle système différentiel normal tout système différentiel du premier ordre de la forme u0= f(t;u

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Dans ce chapitre on commence par donner quelques exemples d’´equations differentielles issues de diff´ ´erentes disciplines Mecanique ´ La relation fondamentale de la m´ecanique ecrite´ `a 1 dimension d’espace pour une particule ponctuelle fournit une source intarissable d’equations diff´ ´erentielles

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Une équation différentiellelinéaire du premier ordreest une équation du type : y?=a(x)y+b(x) (E) oùaetbsont des fonctions définies sur un intervalle ouvertI deR Dans la suite on supposera queaet bsont des fonctions continues surI On peut envisager la forme :?(x)y?+?(x)y=?(x) On demandera alors que?(x)6=0 pour toutx?I

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Partie 1 : Equations Différentielles avec Conditions Initiales 1 1 Introduction On appelle équations différentielles ordinaires une équation ou un système d'équations différentielles dont les fonctions et leurs dérivées successives ne dépendent que d'une variable le temps par exemple

Comment calculer une équation différentielle linéaire ?

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type : y 0 = a ( x ) y + b ( x ) ( E ) où a et b sont des fonctions dé?nies sur un intervalle ouvert I de R.

Quel est l'ordre d'une équation différentielle ?

On oppose le terme ordinaire à équations différentielles aux dérivées partielles. On appelle ordre de l'équation différentielle le plus fort degré de dérivation apparaissant dans l'équation. Elles sont de la forme : Où f est une fonction de x et n est l'ordre de l'équation.

Comment obtenir une Equation Diff erentielle du 1er ordre ?

On obtient donc encore une equation diff´ erentielle du 1er ordre, l’inconnue´ ´etant la fonction v(x). Cette equation qui est s´ ´eparable dans les variables vet xconduit direc- tement `a l’existence d’un invariant (l’energie)´ d dx 1 2 v2(x)+W(x) = 0, ou on a pos` e´ W(x) ? ? Rx. f(x?)dx?.

Comment calculer l'équation différentielle ?

En négligeant les termes d'ordre supérieur ou égal à 3, on eu arrive à poser : E(h3) = 0. Soit l'équation différentielle : y'(t) = ? y(t) + t + 1 et la condition initiale y(0) = 1. On a donc t0 = 0 et y0 = 1, et on prend un pas de temps h = 0.1. De plus, on a : de Taylor jusqu'à des termes d'ordre élevé. Nécessite le calcul , , 22 ,……

Equations Différentielles Ordinaires

Equations aux Dérivées Partielles

Franck Boyer

M1 Enseignement Supérieur et Recherche

Université Paul Sabatier - Toulouse 3

26 février 2021

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F. BOYER- VERSION DU26FÉVRIER2021

TABLE DES MATIÈRESiii

Table des matières

I Equations différentielles ordinaires

I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.1 Les fonctions lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.2 Equations et inéquations différentielles linéaires scalaires. Lemmes de Gronwall . . . . . . . . .

II.3 Notions de solution d"un problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III Théorème de Cauchy-Lipschitz global et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.1 Enoncé et preuve du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.2 Equations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.3 Flot d"un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV Théorème de Cauchy-Lipschitz local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV.1 Enoncé et preuve du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV.2 Critères de globalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V Equilibres. Stabilité. Stabilité asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V.1 Cas linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

V.2 Cas nonlinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI Etude détaillée d"un exemple : un modèle de propagation d"épidémie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI.1 Existence et unicité d"une solution globale en temps positif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI.2 Etats d"équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VI.3 Quelques exemples de trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Equations de transport53

I Modèles de transport en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.1 Trafic routier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.2 Dynamique des gaz simplifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Modèles de transport en dimension quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.1 Théorème de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.2 Théorème de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.3 Exemple d"application à l"établissement d"une loi de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . .

III Solutions classiques des équations de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.1 Cas général de l"équation de convection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.2 Cas particuliers importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.3 Autres applications de la méthode des caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV Solutions faibles de l"équation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV.1 Définition des solutions faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV.2 Validité de la formule de représentation par les caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV.3 Unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV.4 Le problème des conditions aux limites / conditions au bord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

IV.5 Un exemple de modèle en dynamique des populations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75
III Formulations variationnelles de problèmes aux limites elliptiques 81

I Le problème de la corde/membrane élastique à l"équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

I.2 Les questions mathématiques que l"on veut résoudre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83
I.3 Comment montrer l"existence d"un minimiseur? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

II Espaces de Sobolev en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II.1 L"espaceH1(]a;b[). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88

II.2 L"espaceH10(I). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

II.3 Résolution du problème variationnel pour la corde élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ivTABLE DES MATIÈRESIII Formulation variationnelle d"un problème aux limites linéaires. Théorème de Lax-Milgram. . . . . . . .94

III.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.2 Exemples en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III.3 Preuve du théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103

IV Espaces de Sobolev et problèmes elliptiques sur un domaine deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

IV.1 Espaces de Sobolev sur un domaine deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

IV.2 Problèmes aux limites elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

A Eléments de la théorie des distributions

113

I Intégration par parties en dimensiond: le cas des fonctions à support compact . . . . . . . . . . . . . . .113

II Un lemme important de la théorie de l"intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

III Espace des fonctions test. Espace des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

III.1 Définitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

117

III.2 Convergence au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

IV Dérivation au sens des distributions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

B La formule de Stokes125

I Hypersurfaces deRd. Intégrale de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125

I.1 Courbes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

125

I.2 Intégrales sur des hypersurfaces deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127

II Domaines réguliers deRd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

III Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129

III.1 Le cas du demi-espaceRd+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

III.2 Le cas du demi-espace à frontière non plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

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Chapitre I

Equations différentielles ordinaires

I Introduction

Le but de ce chapitre est l"étude des équations différentielles ordinaires (du premier ordre) de la forme

0=f(t;x);

oùxest unefonction inconnuede la variable réelletet l"applicationfest une donnée du problème. A chaque instantt,

la valeur dex(t)est appelée l"état du système à l"instanttet l"espace dans lequel la fonction inconnuexprend ses valeurs

est appeléespace d"états. Comme la mécanique est principalement à l"origine de l"étude de ces équations, on parlera

souvent devariable de tempspour la variabletet detrajectoire du systèmepour une solutiont7!x(t).

Dans toute la suite, l"espace d"états considéré sera un (sous-ensemble d"un) espace vectoriel de dimension finie. De

très nombreuses questions se posent sur l"équation ci-dessus :

Si on se un donne un état initial du système, c"est-à-dire un i nstantinitial t0et l"étatx0du système à cet instantt0,

existe-t"il une ou plusieurs solution(s) de l"équation qui satisfont à la condition initialex(t0) =x0?

Si une telle solution e xiste,peut-on la calculer e xplicitement? Si le calcul e xpliciteest impossible, peut-on au moins les décrire qualitati vement?

Si fest une fonction périodique du temps, existe-t"il des solutions périodiques en temps de l"équation?

Si xetysont deux solutions de l"équation, associées à des données initialesx0ety0proches (en un sens à préciser),

est-ce que les solutionsxetyrestent proches au cours du temps?

Etc ...

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Comment calculer une équation différentielle linéaire ?

Quel est l'ordre d'une équation différentielle ?

Comment obtenir une Equation Diff erentielle du 1er ordre ?

Comment calculer l'équation différentielle ?

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TABLE DES MATIÈRESiii

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I Equations différentielles ordinaires

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A Eléments de la théorie des distributions

B La formule de Stokes125

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Chapitre I

Equations différentielles ordinaires

I Introduction

0=f(t;x);

Etc ...