T.D. 2 Cinématique des fluides PDF

MECANIQUE DES FLUIDES II

Dans la cinématique des fluides nous allons nous intéresser aux mouvements des fluides par Exercices Corrigés. Exercice 01 : Une expérience est prévue pour ...

Cinématique des fluides Applications du cours

Exercice 1 - Caractéristiques d'un écoulement. Exercice 2 - Analyse de carte de champ. Page 2. TD12 - Cinématique des fluides - Correction. Lavoisier - PC. 2

PC MF1 - Cinématique des fluides Correction des exercices

MF1 - Cinématique des fluides. Correction des exercices. Exercice 1. Voir cours. Exercice 2. Ecoulement. Définition. (phrase en français). Définition

TD 12 - Cinématique des fluides

Déterminer l'accélération d'une particule de fluide. Page 2. TD 12 - Cinématique des fluides. Exercice 2 - Analyse de carte de

MECANIQUE DES FLUIDES: Cours et exercices corrigés

cinématique pour quelques fluides à la température ambiante (20 °C) sont : fluide viscosité dynamique µ [Pl] viscosité cinématique ν[m2/s] glycérine. 08. 6

MECANIQUE DES FLUIDES: Cours et exercices corrigés

cinématique pour quelques fluides à la température ambiante (20 °C) sont : fluide viscosité dynamique µ [Pl] viscosité cinématique ν[m2/s] glycérine. 08. 6

MECANIQUE DES FLUIDES. Cours et exercices corrigés

3) En déduire la viscosité cinématique du fluide. P1. L=130 m. Page 105. Chapitre 4 : Dynamique des fluides incompressibles réels. Notions de mécanique des

Mécanique des Fluides

Dans un souci pédagogique j'ai présenté séparément la cinématique des fluides

Mécanique des fluides

Ce recueil comprend des exercices et des problèmes corrigés. Les exercices U/ν avec ν la viscosité cinématique du fluide et ¯U la vitesse moyenne de l ...

MECANIQUE DES FLUIDES II

Cours & Exercices corrigés. Fait par : traitant la cinématique des fluides la théorie de la couche limite et l'analyse dimensionnelle et similitude.

MECANIQUE DES FLUIDES. Cours et exercices corrigés

Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA. Page: 9. La viscosité cinématique est proportionnelle au temps

PC MF1 - Cinématique des fluides Correction des exercices

MF1 - Cinématique des fluides. Correction des exercices. Exercice 1. Voir cours. Exercice 2. Ecoulement. Définition. (phrase en français).

T.D. 2 Cinématique des fluides

Vérifier qu'elle coïncide avec une ligne de courant. 4) À partir de l'équation de la trajectoire calculer l'accélération de la particule de fluide au temps t.

SERIE 1

Enseignant : Ghazi Bellakhal. 4. SERIE 2 : Cinématique des Fluides. Exercice 1. On considère un écoulement décrit par le champ de vitesse suivant.

MECANIQUE DES FLUIDES: Cours et exercices corrigés

Dans le chapitre III l'écoulement des fluides parfait est étudié. les valeurs de viscosité dynamique et cinématique pour quelques fluides.

Dynamique des fluides Applications du cours

Exercice 1 - Nombre de Rossby. Page 2. TD13 - Cinématique des fluides - Correction. Exercice 2 - Ecoulement sur un plan incliné. Lavoisier - PC.

Mécanique des Fluides

Après chaque chapitre quelques exercices bien choisis et résolus ayant fait Cinématique des Fluides ... Cours et Exercices corrigés. Riadh BENHAMOUDA.

Chapitre 1 Cinématique

Cinématique. 1.1 Exercice 1. Soit le champ de vitesse instationnaire u Considérons l'écoulement stationnaire bidimensionnel d'un fluide incompressible.

Cinématique et dynamique du point matériel (Cours et exercices

(Cours et exercices corrigés) Forces de frottement dans les fluides . ... À la fin de ce polycopié nous proposons quelques exercices corrigés.

Chapitre 2 : Cinématique des fluides

Chapitre 2 : Cinématique des fluides Comme les variables sont indépendantes du temps la dérivée matérielle (ou particulaire) de cette grandeur s’identifie à sa dérivée partielle par rapport au temps : Xi dt t d ? ?? = ? (2-7) En particulier la vitesse et l’accélération sont données par les relations suivantes : dt t d ?

Qu'est-ce que la cinématique des fluides ?

Meca.Fluide CRS Senhaji Cinématique des fluides Introduction La cinématique des fluides a pour objet la description de l’évolution d’un milieu fluide dans l’espace-temps indépendamment des causes et des lois qui la régissent Dans le cadre de la mécanique classique, l’espace et le temps sont considérés comme indépendants : le temps est

Qu'est-ce que la dynamique des fluides ?

Aujourd’hui, la dynamique des fluides est un domaine actif de la recherche avec de nombreux problèmes non résolus ou partiellement résolus. Dans cet ouvrage se trouve exposé l’essentiel de ce qu’un étudiant des Instituts Supérieurs des Etudes Technologiques doit savoir.

Quelle est la bibliographie de la mécanique des fluides ?

Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 133 f BIBLIOGRAPHIE [1] Dynamique des fluides. Inge L. Ryhming Presse Polytechniques et Universitaires Romandes [2] Mécanique de fluides – Prépas PC-PSI Céline Anthoine – Guillaume Levèvre – Samuel Marque- 1999 [3] Mécanique des fluides. Cours, exercices et problèmes corrigés.

Qui a écrit la mécanique des fluides incompressibles ?

Comolet (Masson) [6] Mécanique des fluides incompressibles Mohamed MAALEJ Centre de Publication Universitaire (CPU) 2001 Notions de mécanique des fluides. Cours et exercices corrigés. Auteur : Riadh BEN HAMOUDA Page: 134 fP Cet ouvrage est une introduction à la mécanique des fluides.

ENS Lyon

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Mécanique des fluides

T.D. 2

Cinématique des fluides

1 Écoulement 2D stationnaire

On étudie l"écoulement décrit par le champ de vitesses suivant : -→v=ω0y-→ex+ω0x-→ey

1) Vérifier que cet écoulement est incompressible et irrotationnel.

2) Trouver la forme des lignes de courant.

3) Déterminer l"équation de la trajectoire d"une particule présente enM0(x0,y0)à l"instant

t= 0. Vérifier qu"elle coïncide avec une ligne de courant.

4) À partir de l"équation de la trajectoire, calculer l"accélération de la particule de fluide au

tempst.

5) Calculer la dérivée particulaire de la vitesse∂t-→v+ (-→v·--→grad)-→vet comparer.

2 Écoulement oscillant

On considère l"écoulement bidimensionnel et instationnaire suivant : -→v(x,y,t) =v0cosωt-→ex+v0-→ey

1) Montrer que cet écoulement est incompressible et irrotationnel.

2) Calculer la fonction courant et tracer les lignes de courant aux instantsωt= 0,ωt=π/2et

ωt=π.

3) Déterminer l"équation de la trajectoire d"une particule issue du point(0,0)à l"instantt0.

4) Déterminer l"équation de la ligne d"émission partant du point(0,0).

3 Fonction courant

On étudie les écoulements stationnaires dans le planOxydécrits par une fonction courant de la forme

ψ(x,y) =ax2+by2avecaetbdes constantes

1) Calculer les composantes du champ de vitesses.

2) Vérifier que l"écoulement est incompressible.

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Mécanique des fluides

3) Montrer que le long d"une ligne de courant,ψ=Cte.

4) Tracer les lignes de courant dans les cas particuliersa= 0,a=-beta=b.

5) Montrer que dans le cas général (aetbquelconques), l"écoulement peut être décrit comme

la somme de deux de ces cas particuliers.

4 Modèle de tornade

On décrit une tornade de rayonapar un écoulement incompressible à symétrie cylindrique autour de l"axeOz. Le champ de vitesses est de la forme -→v=vθ(r)-→eθ La vorticité est uniforme dans la tornade, nulle en dehors :

0-→ezpourr?a

-→0pourr > a

1) Établir le profil de vitesse orthoradialevθ(r). À quelle distance du centre de la tornade cette

vitesse est-elle maximale? N.B.On pourra utiliser le théorème de Stokes :??

S-→rot-→A·d-→S=?

C-→A·-→d?

ou l"expression du rotationnel en coordonnées cylindriques : -→rot-→A=?1 r ∂A z -∂Aθ ∂z -→er+?∂Ar ∂z -∂Az ∂z -→eθ+1 r ∂(rAθ) ∂r -∂Ar -→ez

2) Calculer le potentiel de l"écoulement à l"extérieur du coeur (r > a). Quelle est la forme des

équipotentielles?

3) Montrer que l"accélération particulaire (toujours à l"extérieur) peut s"exprimer sous la forme

a=---→grad?1 2

ŋ2r2?

4) À l"intérieur de la tornade, trouver

-→Atel que-→v=-→rot-→A.

5 Bulle en expansion

On considère au milieu d"un fluide une bulle sphérique en expansion, dont on note le

rayonR(t). L"écoulement engendré dans le fluide, supposé parfait et incompressible, est de la

forme-→v(M,t) =v(r,t)-→eren coordonnées sphériques.

1) En utilisant l"équation de la conservation de la masse, exprimer le profil de vitessesv(r,t)

en fonction deR(t)etR(t).

2) Déterminer l"accélération d"une particule de fluide située enM.

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Mécanique des fluides

6 Écoulement autour d"un cylindre immobile

On étudie l"écoulement stationnaire et irrotationnel dans le planOxyd"un fluide parfait incompressible, autour d"un cylindre fixe de rayonR, d"axeOzet de hauteur supposée infinie.

Loin du cylindre, la vitesse est uniforme :-→v0(x,y) =v0-→ex. On peut décrire l"influence du

cylindre sur le champ de vitesses par l"ajout d"une perturbation : -→v(x,y) =-→v0+-→v1(x,y)

1) Trouver deux relations satisfaites par les composantesvxetvydu champ de vitesses.

2) On définit le potentiel des vitessesφpar-→v=--→gradφ. Montrer queφvérifie l"équation de

Laplace :Δφ= 0.

3) On se place en coordonnées cylindriques. Calculerφ0et montrer queΔφ1= 0.

4) Le laplacien en coordonnées cylindriques s"écrit

ΔF=∂2F

@r 2+1 r ∂F @r +1 r

2∂

2+∂2F

@z 2 Écrire l"équation vérifiée parfetg. Multiplier parr2/(fg)et en déduire queg??(θ) g =Cte=λ.

5) On prendraλ= 1. Calculerg(θ)et montrer que cette solution est compatible avec la condi-

tion sur la vitesse-→vle long du cylindre (enr=R).

6) Chercher des solutions pourfde la formef(r) =Arnavecnune puissance entière. Éliminer

l"une des deux.

7) Déduire des conditions aux limites la constante d"intégration, et exprimer le potentiel des

vitesses. Montrer que???? ??v r=v0cosθ? 1-R2 r 2? v

θ=-v0sinθ?

1 +R2 r 2?

8) À quelle distance de l"origine peut-on estimer que la vitesse du fluide selonOxest uniforme

(à1%près)?

9) Établir l"équation des lignes de courant autour du cylindre.

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[PDF] T.D. 2 Cinématique des fluides

Qu'est-ce que la cinématique des fluides ?

Qu'est-ce que la dynamique des fluides ?

Quelle est la bibliographie de la mécanique des fluides ?

Qui a écrit la mécanique des fluides incompressibles ?

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Cinématique des fluides

1 Écoulement 2D stationnaire

1) Vérifier que cet écoulement est incompressible et irrotationnel.

2) Trouver la forme des lignes de courant.

3) Déterminer l"équation de la trajectoire d"une particule présente enM0(x0,y0)à l"instant

4) À partir de l"équation de la trajectoire, calculer l"accélération de la particule de fluide au

5) Calculer la dérivée particulaire de la vitesse∂t-→v+ (-→v·--→grad)-→vet comparer.

2 Écoulement oscillant

1) Montrer que cet écoulement est incompressible et irrotationnel.

2) Calculer la fonction courant et tracer les lignes de courant aux instantsωt= 0,ωt=π/2et

ωt=π.

3) Déterminer l"équation de la trajectoire d"une particule issue du point(0,0)à l"instantt0.

4) Déterminer l"équation de la ligne d"émission partant du point(0,0).

3 Fonction courant

ψ(x,y) =ax2+by2avecaetbdes constantes

1) Calculer les composantes du champ de vitesses.

2) Vérifier que l"écoulement est incompressible.

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Mécanique des fluides

3) Montrer que le long d"une ligne de courant,ψ=Cte.

4) Tracer les lignes de courant dans les cas particuliersa= 0,a=-beta=b.

5) Montrer que dans le cas général (aetbquelconques), l"écoulement peut être décrit comme

4 Modèle de tornade

0-→ezpourr?a

1) Établir le profil de vitesse orthoradialevθ(r). À quelle distance du centre de la tornade cette

S-→rot-→A·d-→S=?

C-→A·-→d?

2) Calculer le potentiel de l"écoulement à l"extérieur du coeur (r > a). Quelle est la forme des

équipotentielles?

3) Montrer que l"accélération particulaire (toujours à l"extérieur) peut s"exprimer sous la forme

ŋ2r2?

4) À l"intérieur de la tornade, trouver

5 Bulle en expansion

1) En utilisant l"équation de la conservation de la masse, exprimer le profil de vitessesv(r,t)

2) Déterminer l"accélération d"une particule de fluide située enM.

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Mécanique des fluides

6 Écoulement autour d"un cylindre immobile

1) Trouver deux relations satisfaites par les composantesvxetvydu champ de vitesses.

2) On définit le potentiel des vitessesφpar-→v=--→gradφ. Montrer queφvérifie l"équation de

Laplace :Δφ= 0.

3) On se place en coordonnées cylindriques. Calculerφ0et montrer queΔφ1= 0.

4) Le laplacien en coordonnées cylindriques s"écrit

ΔF=∂2F

2∂

2+∂2F

5) On prendraλ= 1. Calculerg(θ)et montrer que cette solution est compatible avec la condi-

6) Chercher des solutions pourfde la formef(r) =Arnavecnune puissance entière. Éliminer

7) Déduire des conditions aux limites la constante d"intégration, et exprimer le potentiel des

θ=-v0sinθ?

8) À quelle distance de l"origine peut-on estimer que la vitesse du fluide selonOxest uniforme

9) Établir l"équation des lignes de courant autour du cylindre.