[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7





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Exercices de licence

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Topologie

1: L'espace L(EF). p.57. 2: Espaces de fonctions continues et théorème d'Ascoli. p.60. Séries d'exercices avec corrigés. p.66. Sujets d'examens avec corrigés.



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TOPOLOGIE - SÉRIE 1 Exercice 1. Soit f : A → B une application

Le but de cet exercice est de montrer que si un espace compact de Hausdorff X Pour un espace topologique X et un espace métrique Y montrer que la topologie.



Introduction à la topologie Introduction à la topologie

Un sous-espace métrique est un sous-espace topologique. W := f−1 (U) ∩ g−1 (V). 55. Page 57. Espaces topologiques. Correction des Exercices est un ...



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En déduire le résultat. Indication ▽. Correction ▽. [002342]. Exercice 4. Montrer que dans tout espace 



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7 Espaces connexes. Exercice 7.1 Soient U1 et U2 des connexes d'un espace topologique. Montrer que la réunion est connexe si et seulement si.



Cours et exercices corrigés

SOLUTION DES EXERCICES.. CHAPITRE 2⚫ CONSTRUCTIONS D'ESPACES 2.1 Topologie quotient. 2.2 Espaces cellulaires.



Cours et exercices corrigés

Exercices. 11. Corrigés. 15. Chapitre 2. Espaces topologiques ; espaces métriques. 21. I. Définitions générales ; notations. 22. II. Sous-espace topologique ; 



Cours et exercices corrigés

Définition axiomatique de R. 1. II. Le théorème de la borne supérieure. 4. Exercices. 11. Corrigés. 15. Chapitre 2. Espaces topologiques ; espaces métriques.



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2.8 Produit de deux espaces topologiques . RviaDedekind.pdf; ... Corrigé. Exercice 1. 1) c0 est un sous-espace vectoriel de l'espace de Banach l?.







Topologie Générale Elémentaire Semestre 3

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3M360 : Topologie et Calcul Différentiel Livret dexercices

XI Elements de corrigés de l'examen 2017-2018 Corrigé de l'exercice 1.— ... Exercice 3.— Dans un espace métrique montrer que l'intersection d'un nombre.



Filière SMA Module de topologie Cours exercices et anciens

définir les espaces topologiques on se place dans un cadre particulier A la fin de ce polycopié



COMPL´EMENTS EN ANALYSE COURS et EXERCICES

1 fév. 2011 général dans un espace topologique quelconque (voir Exercice 1.11.6). Lemme 1.2.12 Soit (Ed) un espace métrique et (xn)n?0.



Topologie analyse et calcul différentiel

Espaces vectoriels topologiques localement convexes . Par l'exercice (corrigé) E.15 la concaténation g est un chemin (continu) de f(0) à f?(1).



Topologie pour la Licence - unicefr

Exemple : Tout espace vectoriel norm´e (Ek?k) est un espace m´etrique (Ed) pour la distance d(xy) = kx?yk Toute partie Ad’un espace m´etrique (Ed E) est un espace m´etrique (Ad A) pour la distance d A = d E A×A Rappel : Une norme sur un R- (resp C-)espace vectoriel Eest une fonction kk: E?R + telle que ?) kxk= 0 ?x= 0



Topologie pour la Licence - Côte d'Azur University

Examen de Topologie - corrigé Examen de Topologie - corrigé I - Exercice (4 points) 1 i) ? iii) On a A ? B(xr) avec x ? X et r > 0 Soient aa0? A on a d(aa0) ? d(ax)+d(xa0) ? 2r on en déduit que diam(A) ? 2r iii) ? ii) Soit x ? X on cherche r > 0 tel que A ? B(xr)



Feuille d’exercices n 1 Exemples d’espaces topologiques

Feuille d’exercices no1 Exemples d’espaces topologiques Les exercices sont class es grosso modo par ordre de di cult es Les premiers exercices n’ont gu ere d’autre int er^et que celui de vous faire manipuler les d e nitions principales du course (topologie base d’ouverts etc )



Fiche résumée du cours de topologie 12 Espaces métriques

Soient (E;O) (E0;O0) deux espaces topologiques Un homéomor-phisme de E dans E' est une applicat 1 2 Espaces métriques 1 2 1 Dé nition (Distance espace métrique) Une distance sur un ensemble E est une application E E!R + telle que 8x2E;d(x;x) = 0 et véri ant les axiomes de séparation symétrie et l'inégalité triangulaire Un



Images

Corrig´es d’exercices pour le TD 5 Compacts ? Les ensembles suivants sont-ils compacts ? Justi?er la r´eponse 1 Z dans l’espace m´etrique R muni de la distance discr`ete 2 {01} dans l’espace m´etrique (R ·) 3 {01} dans l’espace m´etrique R muni de la distance discr`ete 4

Est-ce que l’espace fonctionnel est complet pour la topologie de la convergence uniforme ?

Nous avons vu au chapitre 3 que l’espace fonctionnel C0([0,2?];C) est complet pour la topologie de la convergence uniforme. N´eanmoins, le mˆeme espace fonctionnel n’est pas complet pour la norme k?k L2. Le compl´et´e de C0([0,2?];C) pour cette norme L2n’est rien d’autre que l’espace de Hilbert L2([0,2?];C).

Comment calculer un espace topologique ?

Un espace topologique Eest localement compact si pour tout x?Eil existe un ouvert de Econtenant xet ayant une adh´erence compacte. Une partie Ade Eest paracompacte s’il existe une suite croissante de parties compactes (K n) n>0de Etelle que A= S n>0K n. a) Montrer que Rmest localement compact et paracompact. 6.9.

Qu'est-ce que la topologie ?

Ce texte repr´esente le cours de topologie dispens´e en Licence de Math´ematiques Pures a Nice, pendant quatre ann´ees cons´ecutives (de 2000/2001 a 2003/2004). La topologie est une th´eorie math´ematique relativement jeune : elle ´emerge (sous le nom d’analysis situs) au d´ebut du vingti`eme si`ecle dans les travaux de Hausdor? et de Tychono?.

Comment savoir si un espace topologique est connexe ?

(Si xet yne sont pas du mˆeme cˆot´e de la droite, alors tout chemin continu reliant xa yrencontre la droite). D´e?nition 4.2 Un espace topologique Eest connexe si l’ensemble vide et Esont les uniques parties de Ea la fois ouvertes et ferm´ees. Eest connexe ssi, pour toute d´ecomposition de Een deux ouverts disjoints E= U 1tU 2, soit U 1= ?et U

Enoncés : M. Quéffelec

Corrections : A. BodinExo7

Topologie générale

Exercice 1

1.

Rappeler les définitions d"une borne supérieure (inférieure) d"un ensemble de nombres réels. Si Aet

Bsont deux ensembles bornés non vides deR, comparer avec supA, infA, supBet infBles nombres suivants : (i) sup(A+B), (ii) sup(A[B), (iii) sup(A\B), (iv) inf(A[B), (v) inf(A\B). 2. Pour x2RnetARnon définitd(x;A) =infa2Ajjxajj. Trouverd(0;RQ),d(p2;Q),d(M;D)où M= (x;y;z)2R3etDest la droite de vecteur unitaire(a;b;c). 3. Pour A;BRnon définitd(A;B) =infa2A;b2Bjjabjj. Trouverd(A;B)lorsqueAest une branche de l"hyperbolef(x;y)2R2;xy=1getBune asymptote. 4. On définit diam A=supa;b2Ajjabjj. Quel est diam(]0;1[\Q)? diam([0;1]\RQ)?

Montrer que tout ouvert deRest union dénombrable d"intervalles ouverts deux à deux disjoints. (Indication :

six2Oouvert, considérerJxqui est l"union des intervalles ouverts inclus dansOet contenantx). Énoncer un

résultat similaire pour les ouverts deRn. On va montrer que l"ensembleDdes réels de la formep+qp2 oùpetqdécriventZ, est dense dansR. 1. Remarquer que Dest stable par addition et multiplication. 2. Posons u=p21; montrer que pour tousa1 tel que 0En déduire le résultat.

Montrer que dans tout espace métrique(E;d)une boule fermée est un fermé, mais que l"adhérence d"une

boule ouverteB(a;r)ne coincide pas nécessairement avec la boule ferméeB0(a;r)(on pourra considérer dans

(R2;jj:jj¥),E= [0;1]f0g[f0g[0;1]et la boule centrée en(12 ;0)de rayon 1=2). (E;jj:jj)un espace vectoriel normé. 1. Montrer que dans ce cas la boule fermée B0(a;r)est l"adhérence de la boule ouverteB(a;r). 2.

Montrer que B(a;r)B(b;R)()r6Retjjabjj6Rr.

1 1. Si (x;y)2R2, on posejj(x;y)jj=max(jx+yj;jx2yj). Montrer qu"il s"agit d"une norme surR2et dessiner sa boule unité fermée. 2. Soit p;qdeux normes surRn,BpetBqleurs boules unités fermées. Montrer que B qBp()p6q:

Que signifie

12

BpBq2Bp? Exemples.

On noteX=l¥l"espace des suites réelles bornées, etY=c0l"espace des suites réelles tendant vers 0, tous

deux munis de la métrique (à vérifier)d(x;y) =supnjx(n)y(n)j. Montrer queYest fermé dansX. Montrer

que l"ensemble des suites nulles à partir d"un certain rang est dense dansYmais pas dansX.

SoitE=ff2C1([0;1];R);f(0) =0g. On pose

jjfjj=sup

06x61jf(x)+f0(x)j;etN(f) =sup

06x61jf(x)j+sup

06x61jf0(x)j:

Montrer que ce sont deux normes équivalentes surE. On désigne pard(a;b)la distance euclidienne usuelle dea;b2R2et on pose d(a;b) =d(a;b)sia;bsont alignés avec l"origineO d(0;a)+d(0;b)sinon 1. Montrer que dest une distance surR2("distance SNCF") plus fine que la distance usuelle. Dans la suite, on supposeR2muni de la topologie associée àd. 2. Soit Hle demi-planf(x;y);y>0g; montrer queHest un ouvert ; déterminerH. 3. Quelle est la topologie induite sur une droite v ectorielle;sur le cercle unité G? 4.

Lesquelles des transformations sui vantessont continues : homothéti esde centre O; rotations de centre

O; translations ?

1.

Montrer que jjfjj¥=sup06x61jf(x)jetjjfjj1=R1

0jf(t)jdtsont deux normes surC([0;1];R). Sont-elles

équivalentes ?

2. Les deux métriques associées sont-elles topologiquement équi valentes? 2

SoitE=C1([0;1];R). ComparerlesnormesN1(f)=jjfjj¥;N2(f)=jjfjj¥+jjfjj1;N3(f)=jjf0jj¥+jjfjj¥;N4(f)=

jjf0jj1+jjfjj¥: Soit(xn)une suite d"un espace topologiqueXséparé; on noteAl"ensemblefx1;x2;:::g. 1.

T outev aleurd"adhérence ade la suite est un point deA: donner un exemple oùaest un point isolé deA;

un exemple oùaest un point d"accumulation dansA; un exemple oùaest un point d"accumulation dansAnA.

2. Montrer que tout point d"accumulation de Aest valeur d"adhérence de la suite. SoitRnconsidéré comme groupe additif muni de sa topologie usuelle. SoitGun sous-groupe deRn. 1.

On suppose que 0 est isolé dans G. Montrer que tout point est isolé, queGest discret et fermé dansRn.

On se restreint maintenant au casn=1.

2. Montrer qu"alors, Gest soitf0g, soit de la formeaZ,a>0. 3.

Montrer que si 0 est point d"accumulation, Gest partout dense dansR. En déduire ainsi les sous-groupes

fermés deR. 4. On considère a=2Q; montrer queZ+aZest un sous-groupe dense deR. En déduire les valeurs d"adhérence de la suite(e2ipna)n2Z.

Indication pourl"exer cice1 NVérifier que :

1. sup (A+B) =supA+supB; 2. sup (A[B) =max(supA;supB); 3. max (infA;infB)6sup(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?; 4. inf (A[B) =min(infA;infB); 5.

max (infA;infB)6inf(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?;Indication pourl"exer cice2 NMontrer queJxest un intervalle ouvert ; queJx=JyouJx\Jy=?. Et penser queQest dénombrable.Indication pourl"exer cice3 NPour trouverm, que prendriez-vous si on voulait seulementm2R?Indication pourl"exer cice4 NRevenir à la définition de ce qu"est un "ensemble fermé" et de ce qu"est une "boule fermée".

Indication pour

l"exer cice

7 NUne suite del¥est notée(xp)p2N, pour chaquep>0,xpest elle même une suitexp= (xp(0);xp(1);xp(2);:::).Indication pourl"exer cice8 NMontrer

•kfk6N(f); •kf0k¥6kfk¥+kfk; •kfk¥6kfk.Indication pourl"exer cice10 N•Montrer kfk16kfk¥. P arun contre-e xemple,montrer qu"il n"e xisteaucune constante C>0 tel quekfk¥6Ckfk1pour tout f.Indication pourl"exer cice11 NLes seules relations sont : N

16N262N162N462N3:4

Correction del"exer cice1 N1.Aune partie non vide deR, unmajorantdeAest un réelM2Rtel que

8x2A x6M:

SiAest un partie non vide et majorée, alors par définition supAest le plus petit des majorants. On a les

propriétés suivantes : (a) sup (A+B) =supA+supB; (b) sup (A[B) =max(supA;supB); (c) max (infA;infB)6sup(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?; (d) inf (A[B) =min(infA;infB); (e) max (infA;infB)6inf(A\B)6min(supA;supB)siA\B6=?;

Prouvons les deux premières égalités,

(a) sup (A+B) =supA+supB: pour touta2Aetb2Bon aa6supAetb6supBdonca+b6 supA+supB, donc supA+supBest un majorant deA+Bet comme sup(A+B)est le plus petit des majorants deA+Balors sup(A+B)6supA+supB. Réciproquement, il existe une suite (an)d"éléments deAtel que cette suite converge vers supA, de même il existe une suite(bn) d"éléments deBqui converge vers supB, la suite(an+bn)est une suite d"éléments deA+Bqui converge vers supA+supB, donc la borne supérieure deA+Best plus grande que supA+supB, soit sup(A+B)>supA+supB. D"où l"égalité. (b) sup (A[B) =max(supA;supB): Remarquons d"abord que siPQalors supP6supQ: en effet supQest un majorant deQdonc deP(par l"inclusionPQ), donc le plus petit des majorants, supP, pourPest plus petit que le majorant particulier supQ. Appliquons ceci àAA[Bdonc supA6sup(A[B)et pourBA[Bon obtient supB6sup(A[B). On vient de prouver sup(A[ B)>max(supA;supB). Pour l"autre inégalité : soitM=max(supA;supB). Pourx2A[Balors soitx2Aet alorsx6supA6M, ou soitx2Bet alorsx6supB6M; donc quelque soitx2A[B, x6MdoncMest un majorant deA[B, donc sup(A[B)6M=max(supA;supB). 2. (a) d(0;RnQ) =0, regarder des éléments du typep2 n , pourn2N. (b)d(p2;Q) =0, c"est la densité deQdansRou alors regarder la suite définie paru0=1;un+1= 12 (un+2u n);n2N, qui est une suite de rationnels convergeant versp2. (c) On suppose que Dpasse par l"origine, alorsd(M;D) =x2+y2+z2(ax+by+cz)2.

3.d(A;B) =0.

4. diam (]0;1[\Q) =1=

mathrmdiam([0;1]\(RnQ)).Correction del"exer cice2 N1.Jxest un ouvert non vide car c"est une union d"ouverts contenantx. De plusJxest un intervalle car c"est

une union d"intervalles contenant tous le pointx. DoncJxest un intervalle ouvert. On peut donc écrire

O=[x2OJx. Mais cette union n"est pas nécessairement dénombrable. Tout d"abord siz2JxalorsJx=Jz. En effet soitIun intervalle inclus dansOcontenantxetz. Six02Jx, soitJun intervalle inclus dansOcontenantxetx0. AlorsI[Jest un intervalle (carxest dans les deux intervallesIetJ),I[Jest inclus dansOet contientx0etz. Doncx02Jz. DoncJxJz. Enfin comme z2Jxon a aussix2Jz, donc on montrerait de mêmeJzJx. DoncJx=Jz. Pourx;y2OalorsJx=JyouJx\Jy=?. En effet supposons queJx\Jy6=?et soitz2Jx\Jy. Comme z2JxalorsJx=Jz, commez2JyalorsJy=Jz. DoncJx=Jy. 5 Pour chaque intervalle ouvertJxil existeq2Q\Jx, avec bien sûrJx=Jq. CommeQest dénombrable

O\Ql"est aussi. On a ainsi écrit

O=[ q2O\QJ q; ce qui était demandé. 2.

Pour Rnon peut montrer le résultat suivant : tout ouvertOdeRns"écrit comme l"union dénombrable de

boules ouverte. On considéreJxl"union des boules ouvertes de rayon rationnel centrées enx, ensuite on

regarde seulement lesxappartenant àO\Qn. Par contrer on autorise deux boules à s"intersecter.Correction del"exer cice3 N1.Soient d=p+qp2 etd0=p0+q0p2 deux éléments deD. Alorsd+d0= (p+p0)+(q+q0)p2 est un

élément deDetdd0= (pp0+2qq0)+(pq0+p0q)p2 aussi. 2. On a u<1 doncuktend vers 0 quandktend vers+¥. Donc poure=ba, il existen2Ntel que sik>n on aukquemun2[a;b]. Ormunest dansDcaru2Ddonc par multiplicationun2D.Correction del"exer cice4 N1.Cette e xercicejustifie la terminologie "boule fermée". Il s"agit de montrer que le complémentaire d"une

boule fermée est un ensemble ouvert. Il est vivement conseillé de faire un dessin. SoitC=EnB0(a;r).

Soitx2C, on cherche une boule ouverteB(x;e)contenue dansC. Commex2C,x=2B0(a;r)donc d(a;x)>r. Soitetel que 0d(a;x)d(y;x)>d(a;x)e>r. Commed(a;y)> ralorsy=2B0(a;r)doncy2C. Comme la preuve est valable quelque soity2B(x;e), doncB(x;e)C.

Et doncCest un ouvert.

2.

Pour a=(12

;0)etr=12 on aB0(a;r)=[0;1]f0g[f0g[0;12 ],B(a;r)=]0;1[f0getB(a;r)=[0;1]

f0g.Correction del"exer cice5 N1.On note B=B(a;r),B0=B0(a;r),¯B=B(a;r). Il faut montrerB0=¯B.B0est une boule fermée, donc un

fermé contenantB, alors que¯Best le plus petit fermé contenantB, donc¯BB0.

Étudions l"inclusion inverse: soitx2B0, il faut montrerx2¯B. Six2Balorsx2¯B, supposons donc que

x=2B, alorskxak=r. SoitB(x;e)un boule centrée enx.xest adhérent àBsiB(x;e)\Best non vide quelque soite>0. Fixonse>0 et soit le point y=xe2 xakxak: Faire un dessin et placerysur ce dessin. D"une party2B(x;e)carkyxk=e=22.Pour le sens (. Soitx2¯B(a;r)alorskxbk=kxa+abk6kxak+kabk6r+Rr6R, doncx2¯B(b;R).

Pour le sens). Soit

x=a+rabkabk; alorskxak=rdoncx2¯B(a;r), doncx2¯B(b;R), donckxbk6Rorkxbk=kabk+r(c"est le même calcul que pour la question précédente). Donckabk+r6R, soit 06kabk6Rret en

particulierr6R.Correction del"exer cice6 N1.(a) Si jj(x;y)jj=0 alors max(jx+yj;jx2yj) =0 doncx+y=0 etx2y=0 doncx=0 ety=0.

Réciproquementk(0;0)k=0.

(b)jjl:(x;y)jj=jj(lx;ly)jj=max(jlx+lyj;jlx2lyj) =jljmax(jx+yj;jx2yj) =jlj:jj(x;y)jj. y

La boule unité fermée centrée à l"origine est la région du plan comprise entre les droites d"équations

x+y= +1,x+y=1,x2y= +1,x2y=1. 2. Sens (: Six2Bqalorsq(x)61 doncp(x)61 doncx2Bp. Sens): Soitx2Rnnf0galorsq(xq(x))=1 donc xq(x)2Bqdoncxq(x)2Bpdoncp(xq(x))61 soirp(x)6q(x). Ceci étant aussi valable pourx=0. B q2Bpest équivalent àp(x)62q(x)pour toutx2Rn(attention au sens !). Et12

BpBqest équivalent

12 q(x)6p(x). Si les deux inclusions sont vraies alors12 p6q62pet en particulier les normespetq sont équivalentes. Par exemple dansR2pour les normesk:k1,k:k2,k:k¥On a B

1B2B¥2B12B2 Correction del"exer cice7 N1.Une suitedel¥estnotée(xp)p2N, pourchaquep>0,xpestellemêmeunesuitexp=(xp(0);xp(1);xp(2);:::).

(Il convient de garder la tête froide : on regarde des suites de suites !) Il faut montrer queYest fermé dans

X. Soit donc(xp)une suite deYqui converge versx2X. Il faut donc montrer qu"en faitx2Y, c"est-à- dire quex=(x(0);x(1);:::)est une suite tendant vers 0. Soite>0 commexp!xalors il existePtel que sip>Pon aitd(xp;x)Pet pour toutn2N,jxp(n)x(n)jNalors jxP(n)jN: Donc la suitextend vers 0, doncx2YetYest fermé. 2. Notons Zl"ensemble des suites nulles à partir d"un certain rang. Poury= (y(0);y(1);y(2);:::)2Y, La suite(yp)est bien une suite d"éléments deZ. De plusd(yp;y) =supn2Njyp(n)y(n)j=supn>pjy(n)j or la suitey(n)tend vers 0 doncd(yp;y)tend vers 0 quandptend vers+¥. On montre facilement (par l"absurde) que l"élémentx= (1;1;1;:::)2Xn"est limite d"aucune suite d"éléments deZ, (ni d"ailleurs deY). 7

Correction del"exer cice8 NPar l"inégalité triangulairejf(x)+f0(x)j6jf(x)j+jf0(x)jon obtientkfk6N(f). Pour une inégalité dans

l"autre sens décomposons le travail : •kf0k¥6kfk¥+kfk: en effet par l"inégalité triangulairejf0(x)j6jf(x)j+jf0(x)+f(x)j.

•kfk¥6kfk: en effetfest continue sur[0;1]donc elle est bornée et atteint ses bornes. Soitx02[0;1]ce

point du maximum. Six02]0;1[alorsf0(x0)=0 donckfk¥=jf(x0)j=jf(x0)+f0(x0)j6kfk. Six0=1 alorsfetf0ont même signe sur un intervalle[1e;1]donc sur cet intervallejf(x)j6jf(x)+f0(x)jet

donckfk¥=jf(1)j6kfk. (Enfinf(0) =0 donc six0=0 alorsfest nulle et l"inégalité est triviale.)

Il reste à rassembler les e xpressions:

N(f) =kf0k¥+kfk¥6kfk¥+kfk+kfk¥63kfk:

(La première inégalité vient du premier point et la deuxième du second.)

Les normeskfketN(f)sont équivalentes :

13 N(f)6kfk6N(f):Correction del"exer cice10 N1.kfk1=R1

0jf(t)jdt6R1

0kfk¥dt6kfk¥. Donckfk16kfk¥Par contre il n"existe aucune constante

C>0 tel quekfk¥6Ckfk1pour toutf. Pour montrer ceci par l"absurde, supposons qu"il existe une constanteC>0 telle quekfk¥6Ckfk1pour toutfdeC([0;1];R). Regardons les fonctionsfkdéfinies parfk(x) =2k(1kx)six2[0;1k ]etfk(x) =0 six>1k . Alorsfk2C([0;1];R)etkfkk¥=2kalors que kfkk1=1. On obtient 2k6C:1 ce qui est contradicoire pourkassez grand. Cela prouve que les normes ne sont pas équivalentes. 2.

Comme les métriques sont définies par des normes et que les normes ne sont pas équi valentesalors les

métriques ne définissent pas la même topologie.Correction del"exer cice11 N1.On montre f acilement

N

16N262N162N462N3:

2. P arcontre il n"e xistepas de constante C>0 telle queN36CN4ouN26CN4. On suppose qu"il existe C>0 telle queN36CN4on regardefkdéfinie parfk(x) =xk, après calcul on obtientN3(fk) =k+1 et N

4(fk) =2, pourksuffisament grand on obtient une contradiction. CommeN1etN2sont équivalentes on

va prouver qu"il n"existe pas de constanteC>0 telle queN36CN1. On prendgk, définie pargk(x) =

1+sin(2pkx). AlorsN1(gk) =2 etN3(gk) =4k, ce qui prouve le résultat souhaité.Correction del"exer cice12 N1.(a) P are xempleune suite constante xn=apour toutn.

(b)

P are xemplexn=1n

eta=0. (c) Comme Qest dénombrable on peut trouver une suitexntelle queA=fx1;x2;:::g=Q. On prend a=p2 alorsa2¯AnA=RnQ. 8

2.C"est juste les définitions : un point d"accumulation de Aest toujours une valeur d"adhérence deA.Correction del"exer cice13 N1.(Correction pour n=1, pourn>1 remplacer les intervalles par des boules.) Comme 0 est isolé soit

I=]e;+e[un voisinage de 0 tel queI\G=f0g. Soitg2Get considéronsIg=g+I=]ge;g+e[. Supposons, par l"absurde, queIg\Gne soit pas réduit àg. Alors il existeg02Ig\G,g06=g. Mais ge