[PDF] Licence de Mathématiques Exercices de Topologie

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Licence de Math´ematiques

Universit´e d"Artois

Exercices de Topologie

P. Lef`evre

Topologie.2

1 R´evisions : Th´eorie des ensembles et Topologie deR

Exercice 1.1SoientEetFdes ensembles,fune application deEdansF. a) Soit (Ai)i?Iune famille d"ensembles deE. Montrer quef(∩i?IAi)?? i?If(Ai) et que sifest

injective alors on a ´egalit´e. R´eciproquement, montrer que si on a toujours ´egalit´e, alorsfest

injective. b) Montrer quefest injective si et seulement si pour toute partieAdeE,f-1(f(A)) =A. c) Montrer quefest surjective si et seulement si pour toute partieBdeF,f(f-1(B)) =B. Exercice 1.2SoitXun ensemble, montrer que l"inclusion dansP(X) est une relation d"ordre. Est-il total ? Montrer que toute partie deP(X) admet une borne sup´erieure et une borne inf´erieure. Exercice 1.3SoientEun ensemble etA,B?E. On consid`ere l"applicationfdeP(E) dans

P(A)× P(B) d´efinie parf(X) = (X∩A,X∩B). Montrer quefest injective si et seulement si

E=A?B.

Exercice 1.4Montrer queQetR\Qsont denses dansR.

Exercice 1.5 Th´eor`eme de C´esaro.

1) Soit (an)n?Nune suite de complexes convergente versa. On d´efinit pour toutn?N

v n=1n+ 1n k=0a k.

Montrer que cette suite converge aussi versa.

2) Soit (αn)n?Nune suite de r´eels strictement positifs. A toute suite (an)n?Nde complexes, on

associe

˜an=?

nk=0αkak? nk=0αk. Montrer l"´equivalence entre les deux assertions suivantes : i) La s´erie?∞k=0αkdiverge. ii) Pour toute (an)n?Nconvergente versa, la suite (˜an)n?Nassoci´ee converge aussi versa. Exercice 1.6 Sous-groupes additifs deR.On ´etudie les sous-groupes de (R,+). SoitHun sous-groupe non r´eduit `a 0. On posea= inf{x?H|x >0}. Justifier l"existence dea.

1) On veut montrer que sia >0,H=aZ.

i) En utilisant la caract´erisation de la borne inf´erieure, montrer quea?H. En d´eduire aZ?H.

2) Montrer que sia= 0,Hest dense dansR.

3) Soienta,b?R?+, montrer queaZ+bZest dense dansRssiab

/?Q.

4) Montrer que cos(Z) est dense dans [-1,1].

5) Soienta,b?R?+, montrer queaN+bZest dense dansRsiab

/?Qet que sin(N) est dense dans [-1,1].

Topologie.3

Exercice 1.7Soit (xn)n?Nune suite born´ee de r´eels. a) Montrer que les suites (sn)n?Net (in)n?Nsuivantes sont bien d´efinies : s n= sup k≥nxkin= infk≥nxk. b) Montrer que ces deux suites sont convergentes. On notelimxnla limite de (sn)n?Net limx n la limite de (in)n?N. c) Montrer quelimxnest la plus grande valeur d"adh´erence de (xn)n?Net que limx nest la plus petite valeur d"adh´erence de (xn)n?N. d) Etablir le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass pour les suites r´eelles. e) Montrer que (xn)n?Nconverge si et seulement si limx n=limxn.

Exercice 1.8Examen Septembre 2003

1)Soienta < bdeux r´eels. Soitnoun entier sup´erieur `a1b-a. Montrer qu"il existek?Zet

un entiern≥n0tels que ln(n) + 2kπ?[a,b].

Pourn?N,n≥1, on pose :un= sin(ln(n)).

2)Montrer que cette suite est dense dans [-1,1].

3)Est-ce que cette suite converge ?

Exercice 1.9Soient deux suites (an)n?Net (bn)n?Nde [0,1] telles que le produitanbnconverge vers 1. Montrer que chacune des suites converge vers 1.

Indication : on pourra raisonner en termes de sous-suites ou trouver un argument tr`es´el´ementaire

(niveau premi`ere) Exercice 1.10On pose˜R=R?{-∞,+∞}et on met sur˜Rl"ordre suivant : pour toutx?R, -∞< x <+∞; et surR, l"ordre usuel. Montrer que tout partie de˜Radmet un majorant et un minorant; une borne sup´erieure et une borne inf´erieure.

Topologie.4

2 Espaces m´etriques.

Exercice 2.1V´erifier que, surR,d(x,y) =|arctan(x)-arctan(y)|est une distance. Exercice 2.2Montrer qued2,d1etd∞(cf cours) sont bien des distances. Exercice 2.3SoitEun ensemble. Soitdd´efinie pard(x,y) = 1 six=yetd(x,y) = 0 sinon (o`ux,y?E). Montrer quedest une distance surE. Exercice 2.4PourAetBdes parties deN?, on d´efinit :d(A,B) =?min(AΔB)? -1siA?=B etd(A,B) = 0 siA=B. On rappelle queAΔB= (A?B)\(A∩B). a)Montrer que, pour toutm?N?et tousA,B?N?,d(A,B)<1m ??A∩[1,m] =B∩[1,m]. b)Montrer quedest une distance sur l"ensemble des parties deN?. c)Montrer que la suiteXn={1,2n,3n,4n,...}converge. Exercice 2.5Pourx,y?Z, on posed(x,y) = 0 six=yetd(x,y) =1m sinon, o`um≥1 v´erifie : x-yest divisible par 10m-1mais pas par 10m. a)Montrer que, pour toutp?Net tousx,y?Z,d(x,y)<1p ??x-yest divisible par 10p. b)Montrer quedest une distance surZ. c)On posexn=n k=1k.k! pour tout entiern. Montrer que cette suite converge vers-1 dans (Z,d). Indication :xn+ 1 = (n+ 1)!. d)Montrer que la suite (10n)n?Nconverge vers 0 et que la suite (2n)n?Ndiverge dans (Z,d). Exercice 2.6Soit (E,d) un espace m´etrique. Montrer que l"applicationδd´efinie surE×Epar δ(x,y) =d(x,y)1 +d(x,y), pourx,y?E, est une distance. Exercice 2.7Montrer que l"adh´erence d"une partie born´ee est born´ee. Exercice 2.8Donner un exemple d"espace m´etrique o`u l"adh´erence d"une boule ouverte n"est

pas la boule ferm´ee correspondante et l"int´erieur d"une boule ferm´ee n"est pas la boule ouverte

correspondante. Exercice 2.9Soient (E,d) un espace m´etrique etA?E, non vide, distinct deE.

Montrer que (pourx?E)x?◦A?d(x,Ac)>0.

A-t-on toujoursd(x,A) =d(x,◦A) ?

Exercice 2.10Soitfune fonction strictement croissante continue et born´ee deRdansR. On

pose˜f=fsurRet˜f(+∞) = lim+∞fet˜f(-∞) = lim-∞f(justifier l"existence de ces limites). On

d´efinit alors, sur ˜R=R?{-∞,+∞},d(x,y) =|˜f(x)-˜f(y)|, o`ux,y?˜R. Montrer quedest une distance sur˜R. Exercice 2.11Soient (E,?.?) un espace vectoriel norm´e etKune partie convexe non vide de

E. Montrer que¯Ket◦Ksont convexes.

Topologie.5

Exercice 2.12Soient?f?1=?

1

0|f(t)|dtet?f?∞= sup

t?[0,1]|f(t)|. Montrer que ces normes ne sont pas ´equivalentes surC([0,1]). Exercice 2.13On consid`ereCc(R) l"espace des fonctions continues surR`a support compact. Montrer que les normes?.?1,?.?2et?.?∞ne sont pas comparables sur cet espace. Exercice 2.14D´eterminer les adh´erences et les int´erieurs des partiesAsuivantes deRn(muni de la distance euclidienne). a) (n= 1)A= [a,b]. b) (n= 1)A= [a,+∞[. c) (n= 2)A= [a,b]× {0}d) (n= 2)A={(x,y)|x2+y2= 1} e) (n= 1)A=Q∩]0,1[. f) (n= 2)A=Q×Q g) (n= 2)A=Q×Qch) (n= 1)A={1/n|n?N?}. i) (n= 1)A={sin(1/n)|n?N?}. j) (n= 1)A={sin(n)|n?N?}. k) (n= 4)A={(a,b,c,d)|ad-bc?= 0}. l) l"ensemble des matrices orthogonales d"ordre 2. m) l"ensemble des matrices inversibles Exercice 2.15Soitp >0. On rappelle que?p={(an)?CN;?|an|p<+∞}et?(an)?p= (?|an|p)1p est alors d´efini sur?p.

Pourp= +∞:?∞={(an)?CN; sup

n|an|<+∞}et?(an)?∞= sup n|an|est alors d´efini sur ∞. Enfin,c0={(an)?CN; limnan= 0}.

Soientp,q≥1 tels que1p

+1q = 1. xp+1q yq.

ii) En d´eduire l"in´egalit´e de H¨older : pour touta??pet toutb??q, montrer queab??1avec

b) En d´eduire l"in´egalit´e de Minskowski, c"est `a dire l"in´egalit´e triangulaire pour la norme?.?p

et montrer que?.?pest effectivement une norme. Exercice 2.16Montrer quec0est s´eparable mais que?∞est non s´eparable. Pour ce deuxi`eme

point, on suppose qu"il existe une partie d´enombrable dense (vn)n≥1. Soitxune suite `a valeurs 0

ou 1. On noteωx=◦B(x,12

1) Montrer quex?=x??ωx∩ωx?=∅.

2) Montrer que pour toutx? {0,1}N, il existe un entiern(x) tel quevn(x)?ωx. Justifier que

pourx?=x?, on an(x)?=n(x?).

3) En d´eduire que{0,1}Ndevrait alors ˆetre d´enombrable et conclure (on pourra faire un

raisonnement via la diagonale de Cantor). Exercice 2.17Soient (E,?.?) un espace vectoriel norm´e etFun sous-espace vectoriel, distinct deE. Montrer queFest d"int´erieur vide. Exercice 2.18SoientEl"espace des fonctions sur [a,b] `a valeurs r´eelles, qui sont born´ees et A?[a,b], non vide. On consid`ereXle sous-ensemble deEdes fonctions nulles surA. Montrer queX=FrX.

Topologie.6

3 Espaces topologiques.

Exercice 3.1Lesquelles des familles suivantes de parties de [0,1] forment une topologie sur [0,1] ?

1={A?[0,1]|A?]0,1[ ouA= [0,1]}.

2={A?[0,1]|A?Q∩[0,1] ouQ∩[0,1]?A}.

3={A?[0,1]|A.A?A}.

5={A?[0,1]|0/?AouA= [0,1]}.

6={A?[0,1]|0?AouA=∅}.

Exercice 3.2Montrer que toute intersection de topologies est une topologie. Exercice 3.3Soit Σ une famille de parties sur un ensembleX. On suppose que cette famille est presque stable par intersection :?A,B?Σ,?x?A∩B,?C?Σ,x?C?A∩B. Montrer

que la topologie engendr´ee par Σ est l"ensemble des r´eunions d"´el´ements de Σ, auquel on ajoute

{X}. Exercice 3.4Soit (X,τ) un espace topologique, que l"on suppose s´epar´e. On dit qu"il est r´egulier si pour toutx?Xet tout ferm´eFne contenant pasx, il existe deux ouverts disjoints, l"un contenantxet l"autre contenantF.

1) Montrer que (X,τ) est r´egulier si et seulement si tout ´el´ement deXa une base de voisinages

ferm´es.

2) Montrer (X,τ) est normal si et seulement si tout ferm´e deXa une base de voisinages

ferm´es.

Exercice 3.5Soit (X,τ) un espace topologique.

1) SoitYune partie deX. Montrer que l"int´erieur deFr(Fr(Y)) est vide.

2) Donner un exemple de partieYdeRtelle queFr(Fr(Y))?=Fr(Y).

Exercice 3.6Soient (X,τ) un espace topologique etA,B?X. On suppose queAest ouvert. a) Montrer queA∩¯B?A∩B. b) Donner un contre-exemple dansRsi on ne suppose pasAouvert. Exercice 3.7Soit (X,τ) un espace topologique. PourA?X, on noteA?l"ensemble des points d"accumulation deA. SoientA,B?X.

i) Montrer que (A?B)?=A??B?et que (A∩B)??A?∩B?. A-t-on ´egalit´e en g´en´eral ?

(Indication : construire un contre-exemple dansRo`u le seul point d"accumulation deAet deB est 0 et o`u 0 est leur seul point commun) ii) On suppose que (X,τ) est un espace s´epar´e. Montrer queA?est ferm´e.

Topologie.7

4 Continuit´e et Convergence.

Exercice 4.1Montrer que l"application suivante est continue (on calculera la norme; montrer qu"elle n"est pas atteinte sur la boule unit´e) ?:c0-→R u?-→? n?Nu n2 n+1 Exercice 4.2Soit (E,d) un espace m´etrique. Montrer que l"applicationδd´efinie surE×Epar δ(x,y) =d(x,y)1 +d(x,y), pourx,y?E, est une distance. Montrer queδest topologiquement ´equivalente `ad. Mˆeme questions avecδa(x,y) = min(a,d(x,y)), o`ua >0.

Exercice 4.3Soit (E,?.?) un espace vectoriel norm´e r´eel. On consid`ereVun sous-espace ferm´e

etFde dimension finie en somme directe avecV. Montrer par r´ecurrence sur la dimension deF

queV?Fest ferm´e. Indication, il suffit de le faire pour dimF= 1 et on uilisera la caract´erisation

de la continuit´e des formes lin´eaires.

Exercice 4.4Soient (E,?.?) un espace vectoriel norm´e r´eel etψdans le dual alg´ebrique. On

suppose que l"image parψde toute suite convergente vers 0 est born´ee. Montrer queψest continue. Exercice 4.5Soient (X,d) et (Y,δ) deux espaces m´etriques. Soientfetgcontinues deXdans Y. i) Montrer que{x?X|f(x) =g(x)}est ferm´e dansX. ii) SoitAune partie dense deX. Montrer que sifetgco¨ıncident surAalorsf=g. Exercice 4.6Soitfl"application [0,1[ dans le cercle unit´e du plan complexe qui `at?[0,1[ associee2iπt. i) Montrer quefest une bijection continue. ii)fest-il un hom´eomorphisme ?

Exercice 4.7SoientDle disque unit´e ferm´e deR2(i.e. la boule unit´e ferm´ee pour la norme

topologie induite par la structure euclidienne deR2. Montrer queDetKsont hom´eomorphes. Pour cela, on pourra consid´erer l"application deDdansKd´efinie par f(0) = 0 etf(x,y) =?x⎷x

2+y2max(|x|,|y|),y⎷x

2+y2max(|x|,|y|)?pour (x,y)?D\ {0}.

Exercice 4.8Soient (fn) une suite d"applications uniform´ement continues de (X,d) dans (Y,δ) (deux espaces m´etriques), convergeant uniform´ement versfsurX. Montrer quefest uni- form´ement continue. Exercice 4.9Montrer que l"ensemble des endomorphismes cycliques est un ouvert (que le corps soitRouC).

Topologie.8

Exercice 4.10Soitf(x) =xsin(ln(x)) pourx >0 etf(0) = 0. Est-ce quefest uniform´ement continue surR+? Soitg(x) =xsin(x) pourx?R. Est-ce quegest uniform´ement continue surR? Exercice 4.11Pourf?C([0,1]), on d´efinit les normes?f?∞= sup t?[0,1]|f(t)|et?f?1=? 1

0|f(t)|dt.

Les applications lin´eaires suivantes sont-elles continues ? On calculera ´eventuellement leur norme.

?: (C([0,1]),?.?∞)-→R f?-→f(0) ?: (C([0,1]),?.?1)-→R f?-→f(0) ?: (C([0,1]),?.?1)-→(C([0,1]),?.?∞) f?-→f ?: (C([0,1]),?.?1)-→(C([0,1]),?.?∞) f?-→?x?→? x

0f(t)dt?

?: (C([0,1]),?.?1)-→R f?-→? 12

0f(t)dt-?

1 12 f(t)dt Exercice 4.12Soitσl"application deRdansRd´efinie parσ(x) = 1 six≥0 etσ(x) =-1 sinon. Soitfl"application deRdansRd´efinie parf(x) =σ(x)?|x|pour tout r´eelx. Exercice 4.13Hahn-Banach fini-dimensionnel. SoitEunR-espace vectoriel de dimension n≥1. SoientFun sous-espace deEetfune forme lin´eaire continue surF. Montrer quefse prolonge en une forme lin´eaire˜fsurEavec?˜f?=?f?. Indication : on raisonnera par r´ecurrence sur la dimension. On consid`ere alorsfune forme lin´eaire continue surF, de dimension finie eta /?F. On prouvera l"existence deα?Rtel que

E=F?Ra.

Topologie.9

5 Topologie produit - Topologie quotient.

Exercice 5.1Soit (Ei)i?Iune famille d"espaces topologiques. Leur produit est muni de la topologie produit. Montrer qu "une suite (un)nest convergente vers?= (?i)i?Isi et seulement si pour chaquei?I, (un,i)nconverge vers?i. Exercice 5.2Soitfune application d´erivable deRdansR. On d´efinit l"application

F:R2-→R

(x,y)?-→f(x)-f(y)x-ysix?=y (x,y)?-→f?(x) six=y L"espaceR2est muni de la topologie produit (Rest muni de sa topologie usuelle). Montrer que Fest continue si et seulement sifest de classeC1surR. Exercice 5.3Sur l"espace ([0,1],|.|), on d´efinit la relation d"´equivalence :xRysix-y?Z(i.e. l"´egalit´e modulo 1). Montrer que l"espace quotient [0,1]/R(muni de la topologie quotient) est hom´eomorphe au

cercle unit´e Γ du plan, via l"applicationgqui, `at?[0,1]/R, associe (cos2πt,sin2πt)?Γ. On

pourra utiliser l"applicationf=g◦σ, o`uσest la surjection canonique de [0,1] sur [0,1]/R. Exercice 5.4 Groupes topologiques.On appelle groupe topologique, un groupe (G,.) muni

d"une topologie telle que les applications suivantes soient continues (G×Gest muni de la topologie

produit)

G×G-→G

(x,y)?-→x.y

G-→G

g?-→g-1 a) Montrer que tout sous-groupe d"un groupe topologiqueGest un groupe topologique. De plus, montrer que siGest s´epar´e, tout sous-groupe aussi. b) Montrer qu"un groupe topologique est s´epar´e si et seulement si{e}est ferm´e. c) Montrer queGLn(R) est un groupe topologique s´epar´e (pour la topologie induite par la topologie d"espace vectoriel norm´e deMn(R)).

d) En d´eduire que les sous-groupes suivants deGLn(R) sont des groupes topologiques s´epar´es :

GL +n(R),On(R) etSOn(R).

Topologie.10

6 Espaces compacts.

Exercice 6.1SoientEetFdes espaces topologiques s´epar´es.

1) Soitf|E→Fbijective et ouverte. Montrer que pour toute partie compacteBdeF,f-1(B)

est une partie compacte deE.

2) On supposeEcompact. SoitAune partie ferm´ee deE×F. Montrer que la projection de

AsurFest ferm´ee. Donner un exemple o`u la projection deAsurEn"est pas ferm´ee.

Exercice 6.2Montrer qu"il n"existe pasde partition d´enombrable de [0,1] en ferm´es (non vides).

Pour cela, on raisonnera par l"absurde en supposant que [0,1] =? n?NFno`u lesFnsont des ferm´es

disjoints non vides. Consid´erer les extr´emit´es (borne sup. et bornes inf.) de certains d"entre eux

pour mettre en ´evidence une suite de segments emboˆıt´es et aboutir `a une contradiction.

Exercice 6.3Soient (E,d) un espace m´etrique compact etf:E→Eune isom´etrie. Montrer quefest bijective. Indication : consid´erer les images it´er´ees d"un point. Exercice 6.4Soient (E,d) un espace m´etrique compact etf:E→Eune application continue telle que pour tousx,y?E,d(f(x),f(y))≥d(x,y). Montrer quefest une isom´etrie bijective. Indication : consid´erer les images it´er´ees d"un point. Exercice 6.5Montrer que le groupe orthogonalOn(R) est compact. Mˆeme question avec le groupe unitaireUn(C) Exercice 6.6 Nombres de Lebesgue. Dans la suite,Kd´esigneRouC. Soientn≥1 un entier etε >0. On notedn=nsiK=Retdn= 2nsiK=C. On noteN(ε) la cardinal minimum

d"unε-r´eseau dans la boule unit´e deKn, muni d"une norme?.?(on rappelle qu"unε-r´eseau est

une partieRde la boule unit´e deKntel que tout point de cette boule est distant d"au plusεde

R). Montrer que1ε

dn. Etablir le mˆeme r´esultat dans un espace vectoriel norm´e de dimensionn.

En d´eduire le th´eor`eme de Riesz.

Exercice 6.7Soit (K,d) un espace m´etrique compact. Montrer que les id´eaux maximaux de C(K,R) sont les id´eaux annulateurs en un point, i.e. de la formeIx={f?C(K,R)|f(x) = 0}, o`ux?K. Exercice 6.8 Lemme d"AuerbachSoitEunR-espace vectoriel norm´e de dimensionn≥1. Montrer qu"il existe une base (x1,...,xn) deEtelle que?x1?=...=?xn?=?x?1?=...=?x?n?=

1, o`u lesx?isont les formes lin´eaires coordonn´ees associ´ees. Pour cela, on consid`erera l"application

du produit desnsph`eres unit´es deEdansRqui `a (x1,...,xn) associe leur d´eterminant (dans une base fix´ee). SoientXunR-espace vectoriel norm´e etEun sous-espace vectoriel de dimensionn≥1. Onquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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