La méthode de Cardan et les imaginaires
On a vu ci-dessus que la méthode de Cardan am`ene `a extraire des racines cubiques de nombres complexes. Encore faut-il montrer que c'est possible et dire
Les formules de Cardan : résolution des équations du troisième degré
II) Une présentation des idées sur les équations de degré 2. Voici un court rappel de la méthode qui a conduit à la formule du discriminant pour les polynômes
LA MÉTHODE DE CARDAN
Cardan prof - 1. LA MÉTHODE DE CARDAN. Auteur : Christian Vassard. TI-83 Premium CE. Fichiers associés : formule de Cardan_eleve.pdf CARDAN.8xp
La démonstration de la formule de Cardan Historique
Sa méthode de résolution des équations du troisième degré a pour conséquence l'émergence des nombres imaginaires qui deviendront nos nombres complexes au
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méthode géométrique expliquée en langage courant dans le roman Le maître des avoir transmis à CARDAN sous le sceau du secret sa méthode pour résoudre ...
LA MÉTHODE DE CARDAN
LA MÉTHODE DE CARDAN. TI-83 Premium CE. 1. Objectifs. • Comprendre les problèmes calculatoires qui ont poussé les algébristes de la Renaissance Italienne à.
Une vision géométrique de la méthode de Ferrari pour résoudre les
//www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/algebre/Cardan10.pdf). Dans la foulée de Cardan l'un de ses él`eves
Résolution des équations de degré 3 par la méthode de “Cardan”
Introduction: D'un point de vue historique le nom de cette méthode semble usurpé puisque le mathématicien français du XVI`eme si`ecle Cardan qui l'a
Polynômes
Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée quelques années plus tard comme la « méthode de Cardan ».
Combien de solutions pour une équation du troisième degré
14- Calcul d'aires: Méthode de SIMPSON et Méthode de HERMITE Jérôme CARDAN donne une étude complète de la résolution algébrique des.
La m ethode de Cardan et les imaginaires
La m ethode de Cardan et les imaginaires Daniel PERRIN 1 La m ethode de Cardan Il s’agit d’une m ethode de r esolution exacte des equations du troisi eme degr e par radicaux" analogue de la r esolution de l’ equation du second degr e ax2 +bx+c= 0 par la formule x= b+ p b2 4ac 2a mais qui fait intervenir des racines carr ees et cubiques
Les formules de Cardan : résolution des équations du - Free
La méthode de Cardan imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en 1545 est une méthode permettant de résoudre toutes les équations du troisième degré Cette méthode permet de mettre en place des formules appelées formules de Cardan donnant en fonction de p
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Méthode Cardan L’idée de Cardan est de remplacer l’inconnue x par deux autres inconnues u et v telles que x = u+v Il remarque en effet que (u+v) 3= u +3u2v+3uv2 +v3 (u+v)3 = 3uv(u+v)+u3 +v3 Si l’on pose ˆ 3uv = p u3 +v3 = q on constate que u+v est bien solution de l’équation x3 = px +q 2
Réduction Du Nombre de Coefficients
Tout d’abord, on pose X=x?a3X= x -dfrac{a}{3}X=x?3a?. On se retrouve alors avec l’équation : L’équation est alors de la forme Pour la suite, on remplacera la notation “X” par “x”.
La Méthode en Question
Entrons dans le dur de la méthode de Cardan. On cherche x de la forme x=u+vx = u+ v x=u+v. On a alors : Nous allons maintenant imposer 3uv+p3uv+p 3uv+p= 0 On a alors : 1. u3+v3=?qu^3 + v^3 = -q u3+v3=?q 2. 3uv+p=0 ? uv=?p3 ? u3v3=?p3273uv+p = 0 iff uv = dfrac{-p}{3} iff u^3v^3 = dfrac{-p^3}{27}3uv+p=0?uv=3?p??u3v3=27?p3? Ainsi u3u^3 u3 et v3v^3...
Racines Cubiques
Posons j=ei2?3j = e^{i frac{2pi}{3}}j=ei32??. On a : 1. j3=1j^3 = 1 j3=1 2. j2=j?j^2 = bar{j}j2=j?? 3. j2+j+1=0j^2 + j +1 = 0j2+j+1=0 Soit z un nombre complexe. Si on connait r tel que r3=zr^3 = z r3=z alors x=jrx= j r x=jr et y=j2ry=j^2 r y=j2r vérifient aussi x3=zx^3 = z x3=z et y3=zy^3 = z y3=z
Qu'est-ce que la méthode de Cardan?
La méthode de Cardan, imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en1545, est une méthode permettant derésoudre toutes les équations du troisième degré.Cette méthode permet de mettre en place des formules appeléesformules de Cardandonnant en fonction depetqles solutions de l’équationx3+px+q= 0.
Qui a inventé la formule de Cardan ?
En 1547, Cardan publia Arts Magna (Le Grand Art) bien connu pour contenir la démonstration de la méthode algébrique permettant de résoudre les équations du 3 e et 4 e degré. Depuis lors, la formule de résolution des équations du 3 e degré s’appelle formule de Cardan. Tartaglia fut furieux quand il découvrit que Cardan avait transgressé sa promesse.
Comment démonter un cardan ?
Une fois la roue déposée, désaccouplez le triangle de suspension, la fusée puis la tête de cardan du moyeu avant de démonter le cardan lui-même. Votre nouveau cardan en main, vérifiez bien qu’il est de la même longueur que l’original et pour les véhicules concernés, que la couronne ABS est également identique.
Quel est le rôle de Cardan dans la résolution des équations du 3 e degré ?
Cardan insère la résolution des équations du 3 e degré dans un cadre algébrique qui permet de comprendre la méthode et fait d’énormes progrès grâce à la méthode de Tartaglia et l’aide de Ferrari comme la résolution des différents cas cubiques.
La methode de Cardan et les imaginaires
Daniel PERRIN
1 La methode de Cardan
Il s'agit d'une methode de resolution exacte des equations du troisieme degre \par radicaux", analogue de la resolution de l'equation du second degre ax2+bx+c= 0 par la formulex=b+pb
24ac2a,mais qui fait intervenir
des racines carrees et cubiques.1.1 Reductions
Quitte a diviser par le coecient dex3, on peut supposer qu'on a une equation de la formex3+ax2+bx+c= 0, aveca;b;c2R. Si on eectue alors le changement d'inconnue1X=x+a3
, l'equation devient : X3+ba23
X+cab3
+2a327 = 0 qui est de la formeX3+pX+q= 0. On supposera desormais qu'on est dans ce cas.1.2 La methode de Cardan
On cherche donc les racines dex3+px+q= 0. L'astuce de Cardan2 consiste a poserx=u+ven introduisant deux inconnues au lieu d'une. L'inter^et { nonevidenta priori{ est d'avoir un degre de liberte supplementaire.L'equation devient alors :
u3+v3+ (u+v)(3uv+p) +q= 0:
C'est ici que se revele l'inter^et de l'astuce. Comme on a deux inconnues u;v, on peut leur imposer une relation supplementaire, et ici, on va imposer3uv+p= 0 (relation ()), ce qui tue un des termes et il resteu3+v3+q= 0. On
constate alors qu'on conna^t la sommeu3+v3=qet le produitu3v3=p327 gr^ace a (). Quand on a la sommeSet le produitPde deux nombres, on sait qu'ils sont racines de l'equation du second degreX2SX+P= 0. Ici, u3etv3sont donc racines deX2+qXp327
(equation ()).1. Cela revient a faire appara^tre le debut d'un cube.2. Il n'est pas evident que ce soit Cardan qui ait le premier trouve cette methode.
D'autres noms circulent : Scipion del Ferro, Tartaglia et les controverses ont ete sanglantes. Mais Cardan a eu le merite de publier un traiteArs Magnaqui rassemble tous les resultats connus a l'epoque (1545). 1 On conna^t doncu3etv3, on extrait leurs racines cubiquesuetvet on obtientxcomme la sommeu+v. Mais il faut parfois faire attention, voir section 2.1.3 Quelques exemples
1.3.1 Un exemple avec une solution presentable
On resout l'equationx3+6x+2. On trouve un discriminant 36 pour () et la solutionx=3p23p4.1.3.2 Un exemple avec une solution particulierement laide
Il s'agit de l'equationx3+3x4 = 0. On trouve, avec Cardan, la racine x=3q2 + p53qp52. Belle formule, derriere laquelle se cache la solution evidente de l'equation, a savoir ... 1. (On comprend la raison de cette identite en notant que la racine cubique de 2 + p5 est dansQ(p5), c'est 1 +p5 2 Cet exemple relativise l'inter^et de la methode : les calculs auxquels elle conduit peuvent ^etre parfois compliques. De plus, pour avoir des valeurs approchees des solutions, il faut calculer des racines carrees ou cubiques, ce qui n'est pas forcement simple.1.3.3 L'exemple de Newton
Appliquons la methode a l'equation favorite de Newton :x32x5 = 0.L'equation qui donneu3;v3est alorsX25X+827
= 0. Le discriminant de () est = 253227 =64327 et on obtient : u 3=52 +p643 6 p3 ; v3=52 p643 6 p3 On en deduit l'unique racine de l'equation donnee : x=3s5 2 +p643 6 p3 +3s5 2 p643 6 p3 On verie que l'on ax2;09455148154 comme le donne aussi la methode (des tangentes) de Newton.2 Le cas \irreductible" et l'introduction des
imaginaires2.1 Discussion
Ce qui precede s'applique sans modication lorsque le discriminant =4p3+ 27q227
de l'equation () est positif qui correspond au cas ou l'equation 2 admet une unique racine reelle en vertu du lemme suivant 3:2.1 Lemme.L'equationx3+px+q= 0admet une unique racine reelle si
et seulement si on a4p3+ 27q2>0. Demonstration.On etudie la fonctionf(x) =x3+px+q, sa derivee est f0(x) = 3x2+p. Sipest positif, on voit quefest croissante, donc a un unique
zero, et 4p3+27q2est bien>0. Sinon,fest croissante jusqu'a=r p3 puis decroissante jusqu'a=r p3 , puis croissante. Elle admet un maximum relatifMenet un minimum relatifmen. Dire que l'equation a une seule racine reelle c'est dire quemetMsont de m^eme signe, donc que le produit mMest>0. Or, on a : mM=q+2p3 r p3 q2p3 r p3 =4p3+ 27q227 d'ou le resultat. On voit que, dans le cas >0 ou l'equation a une unique racine reelle, les choses se passent bien : l'equation () a deux racines reellesu3;v3, chacune admet une unique racine cubique reelleu;vet on trouvex=u+v, unique racine de l'equation comme dans l'exemple ci-dessus.2.2 Les imaginaires
En revanche, lorsque l'equation a 3 racines reelles, le discriminant est negatif et l'equation () n'a plus de solutions4. Plus de solutions? Au moins dans les reels, car on peut faire le calcul de Cardan avec les complexes, et c'est d'ailleurs pour faire ce calcul qu'ils ont ete inventes par Bombelli vers1572. En fait, Bombelli introduit une sorte de signe supplementaire a c^ote
des signes plus (piu) et moins (meno), signe qu'il appellepiu de meno(plus de moins) et qui correspond en langage moderne ai=p1. Il utilise aussi iappelemeno de meno. En langage moderne, lorsque est negatif, on trouve d'abord les deux racinesu3;v3de (), qui sont complexes conjuguees, puis on extrait leurs racines cubiquesu;v. Attention, il y a deux dicultes ici. La premiere est de trouver vraiment ces racines. Nous y revenons plus bas. La seconde tient au fait queu3admet trois racines cubiques :u;ju;j2uet de m^eme pourv. Si on calcule toutes les sommes possibles de ces racines, on va trouver 9 valeurs pourx, ce qui est trop pour une equation de degre 3. En fait, il faut se souvenir ici qu'on a impose la relationuv=p3 ,de sorte que si on eectue l'un des trois choix possibles pouru, l'autre valeurvest bien determinee, donc aussix. Precisement, on av=u. En eet,uv=p=3 est reel donc v=p3u=pu juj2est de la formeruavecrreel. Mais commev3est conjugue deu3, on av3=r3u 3=u3, on voit querest egal a 1.3. Bien entendu, a l'epoque de Cardan on ne connaissait pas la derivation, mais les
gens savaient qu'une equation du troisieme degre pouvait avoir une ou trois racines reelles.4. On parle traditionnellement de \cas irreductible" de l'equation de degre 3 dans cette
situation. 32.3 Un exemple a la mode des anciens
Pour convaincre de la valeur de leurs methodes, les anciens utilisaient souvent des equations a solutions evidentes et nous allons les copier ici. Considerons donc l'equationx37x+6 = 0, qui admet les racines evidentes1;2;3 et appliquons lui la methode de Cardan. L'equation () estX2+
6X+34327
= 0, dont le discriminant est =40027 . Les racines de () sont u3=3+103
p3 ietv3=3103 p3 iet il faut en extraire les racines cubiques. Comme on l'a dit, ce n'est pas si facile, voir paragraphe suivant. On trouve que les trois racines cubiques sontu1= 1 +2ip3 3 ,u2=ju1=32 +ip3 6 etu3=ju1=12 5ip3 6 .Pour trouver les valeurs correspondantes dev, on utilise la relation ()uv=73 ,en notant que 7=3 est exactement le carre du module desui, ce qui montre que lesvisont leurs conjugues. On a donc v 1=u1= 12ip3
3 qui donnex1=u1+v1= 2, de m^emev2=u2, qui donne
x2=3 et ennv3=u
3qui fournitx3= 1.
Inutile de dire qu'a l'epoque de Bombelli, ce calcul (qui n'etaitevidemment pas formule ainsi) passait pour magique et le nom d'imaginaires pour les nou- veaux nombres en temoigne. Il faudra plus de 200 ans pour que le statut des nombres complexes soit clairement elucide.3 Racines cubiques
On a vu ci-dessus que la methode de Cardan amene a extraire des racines cubiques de nombres complexes. Encore faut-il montrer que c'est possible et dire comment on le fait.3.1 Existence
3.1 Proposition.Soitz=a+ibun nombre complexe non nul. Alors,
zadmet trois racines cubiques distinctes,w;jwetj2w(oujest la racine cubique de1:j=12 +ip3 2 Demonstration.Dans les cours modernes sur les complexes on utilise en general la forme trigonometrique pour prouver ce resultat. Il faut bien com- prendre que les anciens algebristes ne pouvaient proceder ainsi, puisque la representation geometrique des complexes date du debut XIX-ieme avec Ar- gand et Cauchy. Voici une methode algebrique. On cherchewsous la forme w=x+iy. On doit donc resoudre le systeme : x33xy2=a(1)3x2yy3=b:(2)
Supposonsb6= 0, sinon on est dans le cas reel, qui est connu. La relation jwj3=jzjmontre quex;yverient aussi (x2+y2)3=a2+b2. Soitcla racine 4 cubique reelle (positive) dea2+b2. On doit avoirx2+y2=c, doncy2=cx2. L'equation (1) donne une equation de degre 3 enx: 4x33cxa= 0 et cetteequation admet une racine reellex. La deuxieme equation donney=b4x2c(on verie que 4x2cest non nul, c'est la conditionb6= 0). On verie qu'on
a bieny2=cx2et on en deduit le resultat.3.2 Comment faire?
On peut se demander comment Bombelli procedait pour trouver les ra- cines cubiques de3 +10i3 p3 .Je ne connais pas la reponse historique a cette question, mais je tente ci-dessous d'en donner une version plausible. On peut supposer qu'il cherchait les solutions, comme ci-dessus, sous la forme w=x+iy. On a alors le systeme : 8< :x33xy2=3 (1)
3x2yy3=103
p3 .(2) La methode utilisee pour la preuve de 3.1 ne peut s'appliquer telle quelle : elle conduit a une equation du troisieme degre, avec trois racines reelles et le serpent se mord la queue. Mon hypothese est que, vu la forme de l'equation (2), Bombelli a cherche une solution avecy=tp3 ,ce qui mene au systeme :quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] cours régulation pdf
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