La méthode de Cardan et les imaginaires
On a vu ci-dessus que la méthode de Cardan am`ene `a extraire des racines cubiques de nombres complexes. Encore faut-il montrer que c'est possible et dire
Les formules de Cardan : résolution des équations du troisième degré
II) Une présentation des idées sur les équations de degré 2. Voici un court rappel de la méthode qui a conduit à la formule du discriminant pour les polynômes
LA MÉTHODE DE CARDAN
Cardan prof - 1. LA MÉTHODE DE CARDAN. Auteur : Christian Vassard. TI-83 Premium CE. Fichiers associés : formule de Cardan_eleve.pdf CARDAN.8xp
La démonstration de la formule de Cardan Historique
Sa méthode de résolution des équations du troisième degré a pour conséquence l'émergence des nombres imaginaires qui deviendront nos nombres complexes au
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méthode géométrique expliquée en langage courant dans le roman Le maître des avoir transmis à CARDAN sous le sceau du secret sa méthode pour résoudre ...
LA MÉTHODE DE CARDAN
LA MÉTHODE DE CARDAN. TI-83 Premium CE. 1. Objectifs. • Comprendre les problèmes calculatoires qui ont poussé les algébristes de la Renaissance Italienne à.
Une vision géométrique de la méthode de Ferrari pour résoudre les
//www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/algebre/Cardan10.pdf). Dans la foulée de Cardan l'un de ses él`eves
Résolution des équations de degré 3 par la méthode de “Cardan”
Introduction: D'un point de vue historique le nom de cette méthode semble usurpé puisque le mathématicien français du XVI`eme si`ecle Cardan qui l'a
Polynômes
Cette méthode que Tartaglia voulait garder secrète sera quand même publiée quelques années plus tard comme la « méthode de Cardan ».
Combien de solutions pour une équation du troisième degré
14- Calcul d'aires: Méthode de SIMPSON et Méthode de HERMITE Jérôme CARDAN donne une étude complète de la résolution algébrique des.
La m ethode de Cardan et les imaginaires
La m ethode de Cardan et les imaginaires Daniel PERRIN 1 La m ethode de Cardan Il s’agit d’une m ethode de r esolution exacte des equations du troisi eme degr e par radicaux" analogue de la r esolution de l’ equation du second degr e ax2 +bx+c= 0 par la formule x= b+ p b2 4ac 2a mais qui fait intervenir des racines carr ees et cubiques
Les formules de Cardan : résolution des équations du - Free
La méthode de Cardan imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en 1545 est une méthode permettant de résoudre toutes les équations du troisième degré Cette méthode permet de mettre en place des formules appelées formules de Cardan donnant en fonction de p
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Méthode Cardan L’idée de Cardan est de remplacer l’inconnue x par deux autres inconnues u et v telles que x = u+v Il remarque en effet que (u+v) 3= u +3u2v+3uv2 +v3 (u+v)3 = 3uv(u+v)+u3 +v3 Si l’on pose ˆ 3uv = p u3 +v3 = q on constate que u+v est bien solution de l’équation x3 = px +q 2
Réduction Du Nombre de Coefficients
Tout d’abord, on pose X=x?a3X= x -dfrac{a}{3}X=x?3a?. On se retrouve alors avec l’équation : L’équation est alors de la forme Pour la suite, on remplacera la notation “X” par “x”.
La Méthode en Question
Entrons dans le dur de la méthode de Cardan. On cherche x de la forme x=u+vx = u+ v x=u+v. On a alors : Nous allons maintenant imposer 3uv+p3uv+p 3uv+p= 0 On a alors : 1. u3+v3=?qu^3 + v^3 = -q u3+v3=?q 2. 3uv+p=0 ? uv=?p3 ? u3v3=?p3273uv+p = 0 iff uv = dfrac{-p}{3} iff u^3v^3 = dfrac{-p^3}{27}3uv+p=0?uv=3?p??u3v3=27?p3? Ainsi u3u^3 u3 et v3v^3...
Racines Cubiques
Posons j=ei2?3j = e^{i frac{2pi}{3}}j=ei32??. On a : 1. j3=1j^3 = 1 j3=1 2. j2=j?j^2 = bar{j}j2=j?? 3. j2+j+1=0j^2 + j +1 = 0j2+j+1=0 Soit z un nombre complexe. Si on connait r tel que r3=zr^3 = z r3=z alors x=jrx= j r x=jr et y=j2ry=j^2 r y=j2r vérifient aussi x3=zx^3 = z x3=z et y3=zy^3 = z y3=z
Qu'est-ce que la méthode de Cardan?
La méthode de Cardan, imaginée et mise au point par Jérôme Cardan dans son ouvrage Ars Magna publié en1545, est une méthode permettant derésoudre toutes les équations du troisième degré.Cette méthode permet de mettre en place des formules appeléesformules de Cardandonnant en fonction depetqles solutions de l’équationx3+px+q= 0.
Qui a inventé la formule de Cardan ?
En 1547, Cardan publia Arts Magna (Le Grand Art) bien connu pour contenir la démonstration de la méthode algébrique permettant de résoudre les équations du 3 e et 4 e degré. Depuis lors, la formule de résolution des équations du 3 e degré s’appelle formule de Cardan. Tartaglia fut furieux quand il découvrit que Cardan avait transgressé sa promesse.
Comment démonter un cardan ?
Une fois la roue déposée, désaccouplez le triangle de suspension, la fusée puis la tête de cardan du moyeu avant de démonter le cardan lui-même. Votre nouveau cardan en main, vérifiez bien qu’il est de la même longueur que l’original et pour les véhicules concernés, que la couronne ABS est également identique.
Quel est le rôle de Cardan dans la résolution des équations du 3 e degré ?
Cardan insère la résolution des équations du 3 e degré dans un cadre algébrique qui permet de comprendre la méthode et fait d’énormes progrès grâce à la méthode de Tartaglia et l’aide de Ferrari comme la résolution des différents cas cubiques.
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LA MÉTHODE DE CARDAN
Auteur : Christian Vassard TI-83 Premium CE Fichiers associés : formule de Cardan_eleve.pdf, CARDAN.8xp, CARDAN2.8xp, CARDAN3.8xp1. Objectifs
Comprendre les problèmes calculatoires qui ont poussé les algébristes de la Renaissance Italienne à
introduire des nombres " imaginaires ».Étudier à l'aide de la formule établie par Cardan la résolution des équations de degré 3 de la forme 3
xpxq, avec p et q réels.Écrire un algorithme de résolution générale des équations de degré 3 de cette forme.
2. Première étape : résoudre une équation simple de degré 3
1) Dans un passé pas si ancien, les so
lutions évidentes étaient celles que l'on pouvait calculer de tête : 1 ou-1, 2 ou -2 pour les plus courageux... et c'était tout. À notre époque, la calculatrice peut suggérer des
racines évidentes plus variées. Traçons sur l'écran de la calculatrice (avec un zoom standard) la courbe
représentative de la fonction f définie sur IR par 350 112fx x x :
D'après le graphique, il semble bien que
= 8 soit solution de l'équation f(x) = 0. Les deux autres solutionsne sont pas des nombres entiers. Une fois que cette solution entière est suggérée, il est facile de vérifier
qu'elle convient.En effet :
38 8 50 8 112 0f
comme le montre la calculatrice :Fiche professeur Terminale S
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2) On écrit alors :
3250 112 8xx xxaxb .
Cette égalité équivaut à :
332250 112 8 8 8x x xaxbxx axb
33250 112 8 8 8x x xaxbaxb
Égalité qui doit avoir lieu pour tout x réel. On procède alors par identification. L'égalité équivaut au système :
80850
8112a
ba b d'où l'on tire a = 8, b = 14.
En conclusion, on a, pour tout x réel :
3250 112 8 8 14xx xxx .
3) L'équation équivaut à f(x) = 0 soit
80x ou
28140xx.
La deuxième équation a un discriminant égal à 64 4 14 = 8. Les solutions sont données par la calculatrice,
si on le souhaite de façon exacte :Finalement, l'équation (E
1 ) possède donc trois solutions : 8, 2 4, 2 4 .Remarquons que le fait d'avoir pu déterminer une solution évidente de l'équation du troisième degré en a
permis la résolution complète par factorisation.3. Deuxième étape : la méthode de Cardan
1) C'est encore la représentation graphique de la fonction f définie sur IR par
366fx x x qui va nous
donner le nombre de solutions de l'équation (E 2 ). Voici ce que l'on obtient, à gauche après un zoom standard et à droite après un zoom Cadre.Il semble bien que l'équation possède une solution et une seule mais elle n'est pas entière car comprise entre
2 et 3.
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On sait qu'une valeur approchée peut être obtenue avec y r (soit / ) :2) a) La fonction cube est continue strictement croissante sur IR. Par conséquent, si a est un nombre réel
quelconque, positif ou négatif, l'équation 3 xa possède une solution et une seule, que l'on note 3 a.On sait que 2
3 = 8 : 2 est donc la seule solution de l'équation 38x. On peut écrire
382, sans aucune
ambiguïté .De même comme
35125, on en déduit que
3125 5.
La calculatrice donne évidemment ces résultats :b) Le calcul peut être mené à la condition que le discriminant de l'équation soit positif ou nul.
c) Le programme peut être le suivant :Il consiste essentiellement, après avoir calculé puis affiché le discriminant, à renvoyer le résultat de la
formule de Cardan quand le discriminant est positif ou nul et un message dans le cas contraire. Toutes les
fractions ont été écrites en mode exact avec barres de fractions sont indiquées en gras.Fiche professeur Terminale S
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d) Voici les résultats obtenus à partir des équations proposées :Le dernier résultat montrerait sous toute réserve que l'équation ne possède pas de solution, ou en tout cas que
la méthode de Cardan ne permet pas d'en obtenir une. Pour la première équation que vous avons testée, on
tombe dans une situation similaire... pourtant nous savons qu'elle admet trois solutions, dont une était
évidente.
Le discriminant est négatif, donc les formules de Cardan ne peuvent pas s'appliquer ; pourtant nous savons
que cette équation a 3 solutions dans IR.Fiche professeur Terminale S
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3. Troisième étape : de la nécessité d'introduire des nombres imaginaires
Comme Cardan l'a fait il y a presque cinq siècles, nous nous proposons d'examiner d'un peu plus près le cas
de la dernière équation de la question précédente 315 4xx.
1) Comme au début de l'activité, nous demandons à la calculatrice de tracer la courbe représentative de la
fonction qui à x associe 315 4xx pour constater que l'équation 0fx ou
315 4xx possède trois
solutions réelles, dont l'une est manifestement 4 (en effet, 4 315 4 4 = 0). Les deux autres solutions
pourraient être calculées comme précédemment, mais la question n'est pas posée ici.2) a) Si on pose i =
1, il semble légitime de dire que i
2 = 1 et i 3 = i 2 i = i. b) Les calculs qui nous gênaient peuvent alors être poursuivis : 233 3
411i24272qqp
3211i et
233 3
411i24272qqp
3 211i.c) Il faut supposer que les racines cubiques peuvent se calculer aussi simplement dans que dans IR... ce
qui n'est pas tout à fait vrai... mais la calculatrice va nous donner une réponse qui nous satisfait :
d'où l'on déduit que 23 2333
2 4 27 2 4 27qqp qqp
= 2 + i + 2 i = 4.Remarquons que, pour retrouver le résultat de la calculatrice, le développement à la main de
32iest un
bon exercice de calcul pour les élèves qui découvrent à ce moment-là les nombres complexes.
On retrouve bien la solution mise en évidence au 1).3) a) On peut maintenant traiter le cas où le discriminant D est strictement négatif : on demande à la
calculatrice de renvoyer 33ii22qqDD et on sait qu'elle gère très bien de tels nombres. Voici un tel programme :
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Les résultats sont maintenant parfaitement concluants dans tous les cas. Bien que, dans le cas où le
discriminant est strictement négatif, les calculs se fassent dans l'ensemble des nombres complexes, les
réponses obtenues sont réelles.b) On sait que la méthode de Cardan nous donne maintenant dans tous les cas une solution réelle
. On peut alors factoriser l'expression 3 xpx q par identification. On a, pour tout x réel : 32xpxqx xaxb qui équivaut à : 3322
xpxqxaxbx xax b 332
xpxqx a x baxb Cette égalité qui doit être vraie pour tout réel x équivaut à : 0a ba p bq soit a qb Remarquons que la deuxième égalité est bien vérifiée car 3 2 qq pba p , ce qui est normal puisque est solution de 3 xpx q. On a donc la factorisation suivante, valable pour tout x réel : 32
qxpxqx x x
L'équation
30xpxq équivaut donc à
2 0 0x qxxLe programme que nous cherchons à construire doit tout d'abord déterminer une solution de l'équation
30xpxq par la méthode de Cardan, puis résoudre l'équation du second degré
2 0qxx.Fiche professeur Terminale S
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Une remarque importante : il peut arriver que la variable A soit complexe, lorsque la première équation a
un discriminant négatif. Le calcul de A² - 4*Q/AĺD se produit alors dans l'ensemble des nombres
complexes et la comparaison à 0 du test qui suit provoque une erreur. Ceci explique l'instruction réel(D)ĺD, qui replace la variable D dans l'ensemble des nombres réels.Il est aussi possible d'adapter ce programme pour qu'il donne les solutions complexes de l'équation. Voici
quelques-uns des résultats obtenus :quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33[PDF] cours régulation pdf
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