[PDF] PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES





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PRIMITIVES ET ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2. 3) Primitive d'une fonction. Exemple : On considère les fonctions suivantes : :???.



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Chapitre 3 – Dérivées et Primitives

Cours de Mathématiques – Classe de Terminale STI - Chapitre 3 : Dérivées et Primitives. Exemples :Calculer les dérivées des fonctions suivantes :.



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Grandeurs et mesure : calculs de longueurs d'aires et de volumes. Page 2. eduscol.education.fr/ - Ministère de l'Éducation nationale et de la Jeunesse 



Calculs dintégrales et de primitives

intervalle I admet des primitives et que celles-ci diffèrent toutes 2 à 2 d'une Théorème 1.6 (Changement de variable pour le calcul d'intégrales).



COURS DE MATHÉMATIQUES PREMI`ERE ANNÉE (L1

17 Calcul de primitives page 153. 18 Intégrales impropres terminales d'autres développent des concepts (chapitres 2



PRIMITIVES - maths et tiques

$+$+3 est une primitive de ! Correction On dérive la fonction " : "?($)=2× 1 2 $+1+0 =$+1=!($) Donc : ""=! Et donc " est une primitive de ! 2) Propriété Propriété : ! est une fonction continue sur un intervalle Si " est une primitive de ! alors pour tout réel 3 la fonction $ "($)+3 est une primitive de ! Démonstration :

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PRIMITIVES ET

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Tout le cours sur les primitives en vidéo : https://youtu.be/bQ-eS1zZCdw Tout le cours sur les équations différentielles en vidéo : https://youtu.be/qHF5kiDFkW8

Partie 1 : Primitive d'une fonction

1) Définition et propriétés

Exemple :

On considère les fonctions et définies par : =2+3 et +3-1

Si on dérive , on constate que :

=2+3=

Lorsque

=, on dit que est une primitive de . Définition : est une fonction continue sur un intervalle . On appelle primitive de , une fonction , telle que :

Remarque :

Dans ces conditions, dire que " est une primitive de » revient à dire que " est la dérivée de ». Méthode : Vérifier qu'une fonction est une primitive d'une autre fonction

Vidéo https://youtu.be/7tQqY9Vkmss

Dans chaque cas, dire si est une primitive de . a) 2 2 et b) et (+1). c) ln() et -ln 2

Correction

a)

2

2

Donc est une primitive de .

b) =1× +1

Donc est une primitive de .

c) 1

×-ln()×1

2

1-ln()

2

Donc n'est pas une primitive de .

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Propriété : Deux primitives d'une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d'une

constante.

Démonstration au programme :

Vidéo https://youtu.be/oloWk2F4bI8

Soit et deux primitives de la fonction sur . Alors : '()=() et '()=(). Donc : '()='(), soit ' -'()=0, soit encore (-)'()=0.

La fonction - possède une dérivée nulle sur , elle est donc constante sur .

On nomme cette constante. Ainsi :

-()= pour tout de . On en déduit que les deux primitives de diffèrent d'une constante. Propriété : est une fonction continue sur un intervalle . Si est une primitive de alors pour tout réel , la fonction ⟼ + est une primitive de .

Démonstration :

est une primitive de .

On pose

()+0=

Donc est une primitive de .

Exemple :

On a vu dans la méthode précédente que est une primitive de avec : 2 2 et

Donc, la fonction définie par

2 2 +5 est également une primitive de .

En effet :

2

2 +0== Propriété : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. - Démontrée dans le chapitre Intégration - Remarque : Bien que l'existence étant assurée, la forme explicite d'une primitive n'est pas toujours connue. Par exemple, la fonction ⟼ ne possède pas de primitive sous forme explicite. Méthode : Recherche d'une primitive particulière

Vidéo https://youtu.be/-q9M7oJ9gkI

Soit la fonction définie sur ℝ* par a) Démontrer que la fonction définie sur ℝ* par est une primitive de . b) Déterminer la primitive de la fonction qui s'annule en =1. Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 3

Correction

a) ′ Donc '= et donc la fonction est une primitive de . b) On cherche la primitive de la fonction qui s'annule en =1, soit : 1 =0. Si est une primitive de alors : +, où est un nombre réel.

Donc :

1 1

Et donc :

1 +=0

Soit :

+=0 +=0 La primitive de la fonction qui s'annule en =1 est telle que :

2

2) Primitives des fonctions usuelles

Fonction Une primitive

-1;0 1 +1 1 1 avec >0 ln() 2 cos() sin() sin() -cos()

3) Linéarité des primitives

Propriété :

Si est une primitive de et est une primitive de alors : - +est une primitive de +, - est une primitive de ,avec réel.

Démonstrations :

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Méthode : Déterminer une primitive (1)

Vidéo https://youtu.be/GA6jMgLd_Cw

Vidéo https://youtu.be/82HYI4xuClw

Vidéo https://youtu.be/gxRpmHWnoGQ

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a) -2 b) =3 1 c) 1 5 d) 3 sur

0;+∞

e) =-sin() f) 2

Correction

a) 1 4 -2 b) =3 1 =3 2 -3× donc -3×S- 1

T=

3 c) 1 5 1 -4 1

4

4 d) 3 =3× 1 =3ln() Remarque : L'intervalle de recherche de la primitive est

0;+∞

, car la fonction est définie pour des valeurs strictement positive. e) =-sin() -cos =cos() f) 2 =2× 1 =2×2 =4

4) Primitives de fonctions composées

est une fonction dérivable sur un intervalle I.

Fonction Une primitive

-1;0 1 +1 2 avec >0 ln() cos() sin() sin() -cos() Yvan Monka - Académie de Strasbourg - www.maths-et-tiques.fr 5

Méthode : Déterminer une primitive (2)

Vidéo https://youtu.be/iiq6eUQee9g

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction . a)

2-5

-5+4 b) 4. c) d) =cos

5

-3sin

3-1

Correction

a)

2-5

-5+4 du type ′ , avec =2.

En effet :

-5+4 → =2-5

Une primitive de ′

est de la forme

Soit :

1 3 -5+4 b) quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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