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Mme Medouer Nawel
Université de Batna2
Faculté de médecine
1ère année médecine
Corrigé-type de TD 07 de Biostatistique 2019/2020Lois de probabilités :
Loi Binomiale
Loi Normale
Loi discrète finie
Conditions de validité :
La répétition
k succès :Loi discrète
infinieLa loi de poisson
paramètre ߣLoi continue
Centrage Réduction :
Pour quoi ce centrage
réduction ?La loi normale centrée
Approximations des lois :
Loi Binomiale X par la loi Normale Y Loi de Poisson X par la loi Normale YConditions
Alors ܺൎܰ
Condition : ߣ
Correction de continuité :
Un point délicat résulte du fait que nous approximons une loi discrète (Poisson ou Binomiale), par une loi normale continue. La probabilité sur un point nest pas nulle pour une loi X discrète : Ǩ്Ͳ Loi de Poisson Tandis quelle lest pour une Loi Y continue (Loi Normale)Mme Medouer Nawel
La solution Pour éviter le paradoxe est de calculer non pas la probabilité que Y soit strictement égale à k, mais la probabilité quelle soit incluse dans un intervalle autour de k :Exercice n° 01 :
Un service médical reçoit en moyenne 4 appels par période de 8 heures. On désigne1. Quelle loi peut-on appliquer ici ?
2. Utiliser cette loi pour calculer P (X > 3), P (X < 4), P (X > 0).
Solution :
2. P (X > 3) = 1 ʹ ;чϯͿсϭʹ [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)] = 1 ʹ (eʹ4 +
4 eʹ4 + 8 eʹ4 + 32 eʹ4) = 1 ʹ 71 eʹ4 = 1 ʹ 0.43347 = 0.566
3 3 P (X < 4) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) =0. 43347 P (X > 0) = 1 ʹ ;чϬͿсϭʹ eʹ4 = 1 ʹ 0.0183 = 0.9817Exercice n° 02 :
Le nombre de noyades accidentelles est en moyenne de 3 par an pour une population de cent mille (100 000) habitants. Calculer :1. La probabilité que 3 noyades seraient enregistrées pour cette population durant
2. La probabilité que 3 noyades seraient enregistrées pour cette population durant
les deux années suivantes.Solution :
X : Le nombre de noyades accidentelles
ଷǨ= 0.2242. 1ère méthode :
X : le nombre de noyades durant la 1ère annéeMme Medouer Nawel
Y : le nombre de noyades durant la 2ème année A : 3 noyades seraient enregistrées pour cette population durant les deux années suivantes. = 0)] ൌ P [(X = 0) P(Y = 3)ܲ(X = 1)P(Y = 2) ܲ(X = 2)P(Y = 1) ܲ0)]=0.892.
Parce que les événements sont indépendants et disjoints (incompatibles)2ème méthode :
Si X : le nombre de noyades durant la 1ère année Y : le nombre de noyades durant la 2ème annéeAlors ܻܺ
A : 3 noyades seraient enregistrées pour cette population durant les deux années suivantes.͵Ǩ=0.0892
Exercice 03 :
de 8 jours.1. Quel est le nombre attendu de souris ayant une durée de vie entre 390 et 420 jours
2. A quelle durée de vie correspond le 3ème quartile.
3. A quelle durée de vie correspond le 3ème décile.
Solution :
X : durée de vie des souris
Mme Medouer Nawel
Le nombre attendu de souris sera de 100 ൈ 0.8882 = 88.82 souris ou bien 89 souris dont la vie est comprise entre 390 et 420 jours.2) On cherche un x tel que P (X < x) = 0.75
2) P(X De la table 1 de la loi normale, on obtient :
0.75 ne figure pas dans la table 1, on prend les deux adjacentes droite et
0.67 et la primitive de 0.7517 est 0.68, on prend le centre des deux
primitives). Donc ௫ିସ
3) On cherche un x tel que P (X < x) =0.3
3) P(X Ceci signifie que ௫ିସ
଼ est une valeur négative, alors (- ௫ିସ ଼)est une valeur positive et ߨ De la table 1 de la loi normale, on obtient :
(0.7 ne figure pas dans la table 1, on prend les deux adjacentes droite et Exercice 04 :
sait que cette famille a 9 enfants. 1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X : nombre de gauchers
Solution :
1. X : " nombre de gauchers » X ̱B (9 ; 1/5=0.2)
3. ;шϮͿсϭʹ [P (X = 0) + P (X = 1)] = 1 ʹ [0.89 + 0.30199] = 1 ʹ
0.43621 = 56.379 %
Mme Medouer Nawel
Exercice 05 :
les premiers mots apparaissent, en moyenne, à 2 mois et avec un écart type de 1 mois et demi. Sachant que la distribution des âges est normale, on souhaite : Solution :
X : âge auquel les premiers mots apparaissent
Exercice 06 :
Une enquête est effectuée auprès de familles de 4 personnes afin de connaitre leur produit forme une population gaussienne avec une moyenne de 25 litres et un écart type de 6 litres. En vue de concevoir une campagne de publicité, on souhaite connaître le 1. Calculer ces deux pourcentages.
2. Au-dessous de quel nombre de litres achetés se trouvent 75% des consommateurs ?
3. Combien de litres au maximum consomme la moitié des consommateurs ?
4. Au-dessus de quelle consommation se trouve 1/3 de la population ?
et 2/3 de la population ? Solution :
X : Consommation du lait
Les faibles consommateurs X < 10 L
Les grands consommateurs X > 30 L.
Mme Medouer Nawel
2. On cherche x, tel que : P (X < x) = 0.75
P(X De la table 1 de la loi normale, on obtient :
Parce que ߨ
Et 0.75 ne figure pas dans la table 1, on prend les deux adjacentes droite et gauche 0.7517 est 0.68, on prend le centre des deux primitives).
3. On cherche un x tel que P (X x) = 0.5
P(X 4. On cherche x, tel que : P (X > x) = 0.33
P (X > x) =ܲቀܼ
Alors ݔൌʹͷכ
5. On cherche x, tel que : P (X > x) = 0.67
P (X > x) =ܲቀܼ
)est une valeur positive et De la table 1 de la loi normale, on obtient :
Donc : ݔൌʹͷെכ
Exercice supplémentaire (approximations des lois) Exercice :
- Quelle loi suit Y ? Justifier. Mme Medouer Nawel
Solution :
X : nombre d'albinos dans un groupe de 5000 individus Conditions de validité :
-La répétition -L'alternance -L'indépendance. Alors ܺൎܻ
quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
De la table 1 de la loi normale, on obtient :
0.75 ne figure pas dans la table 1, on prend les deux adjacentes droite et
0.67 et la primitive de 0.7517 est 0.68, on prend le centre des deux
primitives).Donc ௫ିସ
3) On cherche un x tel que P (X < x) =0.3
3) P(X Ceci signifie que ௫ିସ
଼ est une valeur négative, alors (- ௫ିସ ଼)est une valeur positive et ߨ De la table 1 de la loi normale, on obtient :
(0.7 ne figure pas dans la table 1, on prend les deux adjacentes droite et Exercice 04 :
sait que cette famille a 9 enfants. 1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X : nombre de gauchers
Solution :
1. X : " nombre de gauchers » X ̱B (9 ; 1/5=0.2)
3. ;шϮͿсϭʹ [P (X = 0) + P (X = 1)] = 1 ʹ [0.89 + 0.30199] = 1 ʹ
0.43621 = 56.379 %
Mme Medouer Nawel
Exercice 05 :
les premiers mots apparaissent, en moyenne, à 2 mois et avec un écart type de 1 mois et demi. Sachant que la distribution des âges est normale, on souhaite : Solution :
X : âge auquel les premiers mots apparaissent
Exercice 06 :
Une enquête est effectuée auprès de familles de 4 personnes afin de connaitre leur produit forme une population gaussienne avec une moyenne de 25 litres et un écart type de 6 litres. En vue de concevoir une campagne de publicité, on souhaite connaître le 1. Calculer ces deux pourcentages.
2. Au-dessous de quel nombre de litres achetés se trouvent 75% des consommateurs ?
3. Combien de litres au maximum consomme la moitié des consommateurs ?
4. Au-dessus de quelle consommation se trouve 1/3 de la population ?
et 2/3 de la population ? Solution :
X : Consommation du lait
Les faibles consommateurs X < 10 L
Les grands consommateurs X > 30 L.
Mme Medouer Nawel
2. On cherche x, tel que : P (X < x) = 0.75
P(X De la table 1 de la loi normale, on obtient :
Parce que ߨ
Et 0.75 ne figure pas dans la table 1, on prend les deux adjacentes droite et gauche 0.7517 est 0.68, on prend le centre des deux primitives).
3. On cherche un x tel que P (X x) = 0.5
P(X 4. On cherche x, tel que : P (X > x) = 0.33
P (X > x) =ܲቀܼ
Alors ݔൌʹͷכ
5. On cherche x, tel que : P (X > x) = 0.67
P (X > x) =ܲቀܼ
)est une valeur positive et De la table 1 de la loi normale, on obtient :
Donc : ݔൌʹͷെכ
Exercice supplémentaire (approximations des lois) Exercice :
- Quelle loi suit Y ? Justifier. Mme Medouer Nawel
Solution :
X : nombre d'albinos dans un groupe de 5000 individus Conditions de validité :
-La répétition -L'alternance -L'indépendance. Alors ܺൎܻ
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Ceci signifie que ௫ିସ
଼ est une valeur négative, alors (- ௫ିସ ଼)est une valeur positive et ߨDe la table 1 de la loi normale, on obtient :
(0.7 ne figure pas dans la table 1, on prend les deux adjacentes droite etExercice 04 :
sait que cette famille a 9 enfants.1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire X : nombre de gauchers
Solution :
1. X : " nombre de gauchers » X ̱B (9 ; 1/5=0.2)
3. ;шϮͿсϭʹ [P (X = 0) + P (X = 1)] = 1 ʹ [0.89 + 0.30199] = 1 ʹ
0.43621 = 56.379 %
Mme Medouer Nawel
Exercice 05 :
les premiers mots apparaissent, en moyenne, à 2 mois et avec un écart type de 1 mois et demi. Sachant que la distribution des âges est normale, on souhaite :Solution :
X : âge auquel les premiers mots apparaissent
Exercice 06 :
Une enquête est effectuée auprès de familles de 4 personnes afin de connaitre leur produit forme une population gaussienne avec une moyenne de 25 litres et un écart type de 6 litres. En vue de concevoir une campagne de publicité, on souhaite connaître le1. Calculer ces deux pourcentages.
2. Au-dessous de quel nombre de litres achetés se trouvent 75% des consommateurs ?
3. Combien de litres au maximum consomme la moitié des consommateurs ?
4. Au-dessus de quelle consommation se trouve 1/3 de la population ?
et 2/3 de la population ?Solution :
X : Consommation du lait
Les faibles consommateurs X < 10 L
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2. On cherche x, tel que : P (X < x) = 0.75
P(X De la table 1 de la loi normale, on obtient :
Parce que ߨ
Et 0.75 ne figure pas dans la table 1, on prend les deux adjacentes droite et gauche 0.7517 est 0.68, on prend le centre des deux primitives).
3. On cherche un x tel que P (X x) = 0.5
P(X 4. On cherche x, tel que : P (X > x) = 0.33
P (X > x) =ܲቀܼ
Alors ݔൌʹͷכ
5. On cherche x, tel que : P (X > x) = 0.67
P (X > x) =ܲቀܼ
)est une valeur positive et De la table 1 de la loi normale, on obtient :
Donc : ݔൌʹͷെכ
Exercice supplémentaire (approximations des lois) Exercice :
- Quelle loi suit Y ? Justifier. Mme Medouer Nawel
Solution :
X : nombre d'albinos dans un groupe de 5000 individus Conditions de validité :
-La répétition -L'alternance -L'indépendance. Alors ܺൎܻ
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De la table 1 de la loi normale, on obtient :
Parce que ߨ
Et 0.75 ne figure pas dans la table 1, on prend les deux adjacentes droite et gauche0.7517 est 0.68, on prend le centre des deux primitives).
3. On cherche un x tel que P (X x) = 0.5
P(X 4. On cherche x, tel que : P (X > x) = 0.33
P (X > x) =ܲቀܼ
Alors ݔൌʹͷכ
5. On cherche x, tel que : P (X > x) = 0.67
P (X > x) =ܲቀܼ
)est une valeur positive et De la table 1 de la loi normale, on obtient :
Donc : ݔൌʹͷെכ
Exercice supplémentaire (approximations des lois) Exercice :
- Quelle loi suit Y ? Justifier. Mme Medouer Nawel
Solution :
X : nombre d'albinos dans un groupe de 5000 individus Conditions de validité :
-La répétition -L'alternance -L'indépendance. Alors ܺൎܻ
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4. On cherche x, tel que : P (X > x) = 0.33
P (X > x) =ܲቀܼ
Alors ݔൌʹͷכ
5. On cherche x, tel que : P (X > x) = 0.67
P (X > x) =ܲቀܼ
)est une valeur positive etDe la table 1 de la loi normale, on obtient :
Donc : ݔൌʹͷെכ
Exercice supplémentaire (approximations des lois)Exercice :
- Quelle loi suit Y ? Justifier.Mme Medouer Nawel
Solution :
X : nombre d'albinos dans un groupe de 5000 individusConditions de validité :
-La répétition -L'alternance -L'indépendance.Alors ܺൎܻ
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