TP 5 : Interpolation a l’aide de splines cubiques PDF

2 10. Exercice 6. Splines cubiques. Dans cet exercice nous souhaitons interpoler une fonction f 2 C 2([a

Option B : Examen du 5 Janvier Splines cubiques 1 A propos de l

On souhaite calculer en Scilab la spline cubique interpolante π correspondant à ces données et évaluer numérique- ment l'erreur d'interpolation entre f et π (

Réponses aux exercices du chapitre 5

Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : pn(x) = n a) Obtenir le système linéaire de dimension 3 permettant de calculer la spline cubique.

TD1 : Interpolation et splines

Exercice 3 (Interpolation d'Hermite). On se donne n + 1 abscisses distinctes Exercice 8 (Splines cubiques à peu de nœuds). Soit a = x0 < x2 < ··· < xn = b ...

Chapitre II Interpolation et Approximation

II.22: Spline cubique (`a comparer avec fig. II.1). FIG. II.23: Un dessin en zig-zag (`a gauche) et en splines (`a droite). Théor`eme 8.1 Soit a = x0 < x1

Exercices avec corrigé succinct du chapitre 5

Pour m = 2 le polynôme d'interpolation s'écrit p(t)=1 − t2. On verra plus loin les splines cubiques qui sont également définies par morceaux

Analyse Numérique

interpolation cubique par morceaux de Bessel. Notons que dans ce cas la fonction d ... Exercice 7.5 On reprend la suite {+

Ift 2421 Chapitre 4 Interpolation polynomiale : Collocation

Exercice (suite):. Nous ajoutons un point x F(x). 0. 1. 1. 1. 2. 2. 3. 5. 3 Interpolation par les splines cubiques. Algorithme de résolution de système ...

TP 7 – Splines cubiques – Correction

TP 7 – Splines cubiques – Correction. Exercice 1. a. Pour i = 1 2

feuille dexercices n˚7

Exercice 2 : Interpolation de Hermite. Soit f ∈ C1([a b]

Série dexercices no1/5 Interpolation polynomiale

Exercice 1. Déteminer le polynôme P1 d'interpolation de Lagrange de f aux nœuds 0 et 1. ... Nous appelons spline cubique une fonction S vérifiant.

TD1 : Interpolation et splines

c) Calculer explicitement s dans le cas des nœuds {?2?1

Option B : Examen du 5 Janvier Splines cubiques 1 A propos de l

2 Existence et unicité de la spline cubique contrainte interpolante. On se donne des points x1 < . Corrigé. 1 A propos de l'interpolation de Hermite.

Exercices avec corrigé succinct du chapitre 5

Pour quelle valeur de m le polynôme d'interpolation est unique? On verra plus loin les splines cubiques qui sont également définies par morceaux ...

Réponses aux exercices du chapitre 5

Le polynôme d'interpolation par Lagrange est donné par : a) Obtenir le système linéaire de dimension 3 permettant de calculer la spline cubique.

Série dexercices no1 Interpolation polynomiale

Interpolation polynomiale. Exercice 1. On note Pn ? Rn[X] le polynôme d'interpolation de f ... Nous appelons spline cubique une fonction S vérifiant.

feuille dexercices n?7

2) Déterminer la forme du polynôme d'interpolation de Newton coïncidant avec f Exercice 2 : Interpolation de Hermite. ... Exercice 5 : Splines cubiques.

Exercices corrigés

Exercice 15 On dispose d'un ensemble de n + 1 points (xiyi)

Analyse Numérique

3.1.3 Erreur dans l'interpolation de Lagrange . Ceci prouve l'existence d'une fonction spline cubique à dérivée seconde continue comme.

Interpolation Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Trouver la fonction spline cubique f qui interpole ces données et qui vérifie les conditions f (15) = f (50) = 0. Exercice 8.

TP 7 { Splines cubiques { Correction

Exercice 4 La seule equation pas encore untilis ee est la (7) En remplaceant a i;b i;c i et d i = y i par leurs expressions en fonction de h i;m i et y i on obtient h im i + 2(h i + h i+1)m i+1 + h i+1m i+2 = 6 y i+2 y i+1 h i+1 y i+1 y i h i (12) Exercice 5 En ajoutant les conditions m 1 = 0 et m n = 0 on est amen e a r esoudre le syst eme

Spline — Wikipédia

Figure 2: Piecewise linear interpolation Before we introduce the di?erent kinds of Boundary Conditions we remark there is another approach for obtaining the coe?cients based on Lagrange interpolation! Let g i denote the interpolating cubic on [x ix i+1] and note g?? i is linear

Interpolation Exercice 2 - unistrafr

rouvTer la fonction spline cubique fqui interpole ces données et qui véri e les conditions f0(15) = f0(50) = 0 Exercice 8 Soit une fonction fque l'on cherche à interpoler sur l'intervalle [0;6] (a) Calculer le polynôme d'interpolation Psur les données suivantes x 0 2 4 6 f(x) 0:5 1:7903 3:3900 1:2795 (b) Sachant que la fonction fest

Option B : Examen du 5 Janvier Splines cubiques

Corrigé 1 A propos de l’interpolation de Hermite 1 Comme R 3[X] et R4 ont la même dimension et comme est linéaire il suf?t de véri?er que son noyau est réduit à 0 Or si un polynôme p2R 3[X] est dans le noyau de cela signi?e que p(x g) = p0(x g) = 0; p(x d) = p0(x d) = 0: Ceci montre que x g et x

TP 5 : Interpolation a l’aide de splines cubiques

les points d’interpolation en vue de leur visualisation Le chier cr e e devra contenir a chaque ligne la coordonn ee d’un point t i puis la valeur A i en ce point Testez votre programme avec la fonction fdonn ee en equation (1) et v eri ez que vous avez bien g en er e ce chier

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Partie II : Interpolation Mth2201A - A08 11 Splines cubiques 11 1 Introduction Probl`eme : • On cherche un interpolant passant par un grand nombre de points d’interpolation (xif(xi)) • Cependant un polynˆomed’interpolation de degr´e´elev´eengendre une erreur importante Id´ee :

Comment fonctionne une spline cubique ?

À droite, une spline cubique dans laquelle les nœuds sont reliés par des polynômes du 3e degré auxquels on a imposé des conditions pour rendre la spline continue au premier degré (les pentes varient de façon continue) et au second degré (la courbure de la spline, plus précisément sa dérivée seconde, varie de façon continue).

Quelle est la différence entre la méthode des splines et l'interpolation polynomiale ?

Dans les problèmes d' interpolation, la méthode des splines est très souvent préférée à l' interpolation polynomiale. Les splines sont également utilisées dans les problèmes de lissage de données expérimentales ou de statistiques. Les splines sont utilisées pour représenter numériquement des contours complexes. Leur mise en œuvre est simple.

Comment calculer les points d’interpolation?

Ce phénomène peut être minimisé en choisissant les points d’interpolation aux nœuds de Tchebychev . Ces points sur un intervalle [a,b] sont définis par la relation suivante : ? ? ? ? ? ? ? = + + ? ? n i xi a b b a

Pourquoi utiliser l’interpolation bicubique ?

La conséquence de cette complexité est que les résultats qu’elle produit sont encore plus lisses et contiennent moins d’artefacts. L’interpolation bicubique est donc finalement l’interpolation la plus utilisée, sauf dans certains cas critiques demandant une grande vitesse d’interpolation.

TP 5 : Interpolation a l'aide de splines cubiques

30 avril 2014

Dans ce TP, on cherche a approcher par un polyn^ome une fonction continue, par exemple : f:[5;5]![0;1] t7!11+t2(1)

Voici a quoi elle ressemble : 0

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 -4-2 0 2 4

1/(1+t**2)Cela signie qu'on veut trouver une fonction qui passe parppoints (ti;Ai) avecAi=f(ti)

de la fonction et qui soit une bonne approximation def. On considereras que les points sont equireparti, c'est a direti+1ti=hpour touti2J1::p1K. Une premiere strategie d'interpolation consiste a utiliser des polyn^omes d'ordre moderement eleve (n= 4 ou 5) sur des sous-intervalles du domaine de denition de la fonction. Neanmoins, l'interpolee d'une fonction lisse (par exempleC1) sera toujours de classeC0en utilisant par ex- emple l'interpolation de Lagrange. Dans ce TP, on implementera une technique d'interpolation qui permet d'obtenir une interpolee de classeC2, l'interpolation par splines cubiques.

1 Splines cubiques

Dans le sous-intervalle [ti;ti+1[ oui2J1::p1K, on cherche l'interpoleeg(t) sous la forme d'un polyn^ome d'ordre 3 ent: g(t) = (1(t))Ai+(t)Ai+1+h26 (1(t))3(1(t))Bi+h26 (t)3(t)Bi+1: en ayant pris comme notations (t) =ttit i+1ti; h=ti+1tietAi=f(ti): 1 LesBisont des inconnues a determiner, puisque quelles que soient les valeurs prises parBi, la courbeg(t) passe par les points (ti;Ai). On determine alors les pointsBien imposant que la derivee premiere et la derivee seconde soient continues quand on passe de l'intervalle [ti1;ti[ a [ti;ti+1[.

Question 1

1. Cal culezla d eriveede g(t) vis a vis detsur l'intervalle [ti;ti+1[. 2. Mon trezque la d eriveeseconde de g(t) sur [ti;ti+1[ est donnee par g

00(t) = (1(t))Bi+(t)Bi+1:

On obtient donc que la derivee seconde est continue (par construction), puisque qu'on constate que lim t!ti;t0=Ap; Ap+1=A1; B0=Bp; Bp+1=B1: Onelimine ainsi les inconnuesB0etBp+1et on resout un systeme lineaire de tailleppour trouver B

1;:::;Bp. Soit la fonction 1-D est quelconque, et c'est le cas qui va d'abord nous interesser,

et a ce moment la, une maniere simple de fermer le systeme est d'imposer :B0=Bp+1= 0. On resout donc un systeme lineaire de tailleppour trouverB1;:::;Bp.

2 Mise en uvre pour des fonctions 1D

On cherche a ecrire une sous-routine qui prend en arguments d'entree les donnees suivantes : le nom brede p ointspd'interpolation def, le nom brede p ointsnd'echantillonage du resultat (en generaln > p), les b ornesdu sous-in tervallede tra vail. Elle devra renvoyer un tableau de taillenqui represente la solution a acher a l'ecran.

Question 2

Etape a.Ecrire une sous-routine qui calcule les valeurs deAiprises par la fonctionfauxp pointstid'interpolation a partir des bornes d'un sous-intervalle de travail, sachant qu'ils sont equirepartis. Stockez-les valeurs deAiet detidans deux tableaux distincts. 2 Etape b.Ecrivez maintenant un programme principal qui doit nous permettre de sauvegarder les points d'interpolation en vue de leur visualisation. Le chier cree devra contenir, a chaquequotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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