TS2 Feuille dexercices 2 - Estimation TP1 Variation du coefficient PDF

Dans ce cas la distribution de la moyenne empirique tend vers une loi normale d'après le théorème central limite. On parlera d'intervalle de confiance

Théorie statistique de lestimation

distribution `a une loi normale centrée réduite en réduisant l'écart z =S ? µS Trouver les limites de l'intervalle de confiance `a (a) 95% (b) 99%

Chapitre 5 : Estimation

Intervalles pour la loi normale centrée réduite. Soit Z ? N(0 1). (par ex

CORRIGE DES EXERCICES : Estimation ponctuelle et estimation

l'estimation par intervalle de confiance au niveau 99% (au risque ?=1%) de µ dans P s'écrit : X suit approximativement une loi normale.

STATISTIQUES IUT DEUXIEME PARTIE

t1 et t2 sont les limites de l'intervalle de confiance ? est le seuil de plus de 20 mesures

Statistique pour ingénieur

d'intervalles de confiance ou des tests statistiques à poser fréquemment P = 1 ? ? Table no2.1— Fractiles de la loi normale centrée réduite . ... 0

Table de la loi normale

En utilisant le petit tableau situé au dessous de la grande table on note que ce 99e centile est 2.326. Autrement dit

Chapitre 2 : LESTIMATION

mais des seuils de 90% et de 99% sont aussi fréquemment utilisés. Si la population suit une loi normale l'intervalle de confiance est exact.

TS2 Feuille dexercices 2 - Estimation TP1 Variation du coefficient

moyenne des concentrations du calcium de ces dosages suit la loi normale N(µ ; 0

Méthodologie du calcul de la VaR de marché : revue de lapproche

01-Mar-2013 donné un niveau de confiance fixé ... 10 jours) et un intervalle de confiance ... F (x)= Fonction de distribution de la loi normale.

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques 1 LOI NORMALE Le célèbre mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss (1777 ; 1855) conçoit une loi statistique continue appelée loi normale ou loi de Laplace-Gauss dont la répartition est représentée par la fameuse courbe en cloche

ESTIMATION INTERVALLES DE CONFIANCE DE LA MOYENNE D’UNE

l’intervalle de confiance à 99 autour de cette valeur On obtient successivement zr = 0604 Dans la table de la loi normale on lit z0 005 = 2575 et donc P(0293 < Z < 0927) = 099 Par inversion on obtient l’intervalle de confiance sur l’estimation du coefficient de corrélation : P(0285 < R < 0729) = 099 4

6 Estimation et intervalle de confiance - Fabrice Monna

Construisons un IC de confiance 99 pour p à l’aide de ces mesures Les conditions sont bien vérifiées sur la taille de l’échantillon et le nombre de cas observé sont bien vérifiées On a donc l’intervalle (avec =2 576) de confiance 0 99 pour la vraie proportion p dans la population [0 405 ;0 495]

Intervalles de con?ance - univ-rennes1fr

intervalle de con?ance pour le poids de Pamela de probabilit´e de con?ance 095 2 1 2 si l’´ecart-type est inconnu On utilise le fait que T = X n ?m S n ? n?1 suit une loi de Student a n ? 1 degr´es de libert´e Pour m´emoire la densit´e de la loi de Student a n degr´es de libert´e poss`ede la densit´e : f St(n)(t) = 1

Estimations et intervalles de con?ance Exemple

3 2 Intervalle de con?ance pour la moyenne et la va-riance dans le cas d’un échantillon gaussien Soit (X 1;:::;X n) un n-échantillon de v a r de loi N( ;?2) Estimation de l’espérance lorsque la variance ?2 est connue Pour estimer on utilise la moyenne empirique X n= 1 n P n i=1 X iqui a pour loi N( ;?2=n) Il en résulte que p n

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Intervalles de con?ance Rappels sur la loi normale Cas Gaussien Intervalles de con?ance asymptotiques BILATERE` VS UNILATERE` Remarque : Pour les intervalles pr´ec edents on parle´ d’intervalles de con?ances bilat`eres Remarque : On peut ´egalement construire des intervalles de con?ances de la forme]1 ;b(X 1;:::;X n)] et [a(X 1

Comment calculer les intervalles de confiance de la moyenne d’une loi normale ?

Intervalles de con?ance de la moyenne d’une loi normale Nous consid´erons une variable X de loi N(µ,?2), donc de loi normale de moyenne µ et de variance ?2 (E = R et E = B(R)). n) de variables al´eatoires ind´ependantes toutes de loi N(µ,?2). Le premier cas est celui ou` ? est connu (ce qui est assez rare a mon avis).

Quelle est la notation de l’intervalle de confiance?

Dans les figures, la notation « I.C. (95 %) » fait référence à la notion statistique d’« intervalle de confiance à 95 % » pour la moyenne du DHP. Les limites de cet intervalle sont appelées « Borne inf. » et « Borne sup. » et représentent respectivement les bornes inférieures et supérieures de l’intervalle de confiance.

Quelle est la limite de l’intervalle de confiance ?

Pour une expérience avec le même estimé de p ^, mais un plus grand échantillon ( n = 50, y = 15), la limite de L pour l’intervalle à 95% est de 0.0179. Comme on le voit ci-dessous, la fonction de vraisemblance et donc l’intervalle de confiance sont plus étroits.

Quelle est la différence entre la standardisation et l’intervalle de confiance?

Avec la standardisation, on obtient le taux que présenterait la population étudiée si elle avait la même structure par âge et sexe que la population de référence. L’intervalle de confiance est une mesure de la précision de l’estimation. Il définit les limites à l’intérieur desquelles la valeur se trouve avec une probabilité de 95%.

TS2Feuille d'exercices 2 - Estimation

TP1 Variation du coefficient de confiance

Un industriel fabrique des comprimés contenant du paracétamol. Sur les boîtes, il est indiqué une quantité de

500 mg. Soucieux de respecter ces indications, il décide de vérifier sa production.

La quantité en paracétamol de ces médicaments, exprimée mg, est distribuée selon une loi normale d'écart-

type σ = 2 mg. Avec cette hypothèse, on se propose d'estimer la moyenne µ de la quantité de paracétamol à

partir d'un échantillon de 36 comprimés prélevés au hasard dans la production. Il fait analyser ces 36

comprimés et obtient une quantité moyenne en paracétamol de 495 mg.

1.Déterminer une estimation de m par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance 95%.

2.Même question avec le coefficient de confiance 90%, puis avec le coefficient de confiance 99%.

3.Qu'observe-t-on sur les intervalles de confiance de la moyenne µ de la population obtenus à partir

d'un même échantillon lorsque le coefficient de confiance varie?

4.Peut-on situer la position de la moyenne

µ par rapport à l'intervalle obtenu à la question n°1?TP2 Recherche de l'effectif d'un échantillon

Sur une portion de route où la vitesse des véhicules est limitée à 90 km/h, on effectue un contrôle des

vitesses avec un instrument de mesure de grande précision.

On mesure la vitesse (en km/h) d'un véhicule sur 20 et on obtient les résultats suivants pour un échantillon de

100 véhicules :

Vitesse en km/hEffectif

[75, 80[5 [80, 85[10 [85, 90[ 20 [90, 95[36 [95, 100[15 [100, 105[8 [105, 110[6

1.Déterminer la moyenne e et l'écart-type sigmae des vitesses pour cet échantillon. Arrondir à

10-2

2.À partir des résultats obtenus pour cet échantillon, proposer une estimation ponctuelle de la moyenne

et de l'écart-type σ des vitesses des 2 000 véhicules de la population observée.3.On suppose que la variable aléatoire X qui, à tout échantillon de taille n = 100 obtenu comme

précédemment, associe la moyenne des vitesses de l'échantillon suit la loi normale N( n ).

On prend pour valeur de

σ l'estimation ponctuelle obtenue au 2.Déterminer un intervalle de confiance de la vitesse moyenne

µ de la population avec le coefficient de

confiance 99%.

4.Quelle doit être la taille minimale de l'échantillon pour connaître, avec le coefficient de confiance

95%, la vitesse moyenne de la population à 0,5 km/h près?

TS2Feuille d'exercices 2 - Estimation

Exercice 1

Une machine fabrique des jetons circulaires.

On suppose que la variable aléatoire qui associe, à tout jeton prélevé au hasard dans la fabrication, son

diamètre, exprimé en mm, suit une loi normale de moyenne µ et d'écart-type σ. À chaque échantillon E de taille n = 100, prélevé au hasard et avec remise, on associe la moyenne des

diamètres des jetons de cet échantillon E; cela définit une nouvelle variable aléatoire X. On admet dans ce

qui suit que X suit une loi normale de moyenne

µ et d'écart-type n=

10.

1.Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X-

n

2.Un échantillon de taille 100 extrait de la fabrication fournit une moyenne de 40 et un écart-type égal

à 1. En prenant pour écart-type de la population cette valeur

σ = 1, déterminer pour la moyenne µ un

intervalle de confiance à 95%. Les bornes seront arrondies à 10-1.

3.Même question avec le coefficient de confiance 98%.

Exercice 2

Dans le cadre d'un contrôle de qualité, un laboratoire d'analyses médicales se propose de contrôler la

précision d'une méthode colorimétrique de dosage du calcium sérique.

Ce contrôle, appelé répétabilité, consiste à faire doser un échantillon, distribué au hasard dans les séries

d'analyses d'une journée, par la même personne et dans les mêmes conditions.

36 dosages du calcium sérique ont ainsi été effectuées. Ils ont donné des concentrations en calcium allant de

94,5 à 102,5 mg.L -1, réparties de la manière suivante :

Ca mg.L -1Nombre

[94,5 ; 96,5[2 [96,5 ; 97,5[5 [97,5 ; 98,5[10 [98,5 ; 99,5[11

599,5 ; 100,5[5

[100,5 ; 101,5[1 [101,5 ; 102,5[2 Dans ce qui suit les résultats seront approchés à 10 -2

1.Calculer une valeur approchée de la moyenne

x et de l'écart-type s de cette distribution.

2.On suppose que la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 36 dosage associe la

moyenne des concentrations du calcium de ces dosages, suit la loi normale N( µ ; 0,245).Donner un intervalle de confiance à 99% de la moyenne inconnue µ.3.Peut-on situer exactement la position de la moyenne µ par rapport à l'intervalle précédent?

TS2Feuille d'exercices 2 - Estimation

Exercice 3

Dans ce qui suit les résultats seront approchés à 10 -2

1.Un chercheur désire connaître la taille moyenne des enfants âgés de 13 à 14 ans d'une ville. Il

commence par mesurer la taille de 35 enfants prélevés au hasard parmi les enfants de cette ville et

obtient les résultats suivants :

Taille (en cm)Effectifs

[130, 135[1 [135, 140[4 [140, 145[7 [145, 150[10 [150, 155[8 [155, 160[3 [160, 165[2

Calculer des approximations de la taille moyenne bar x et de l'écart-type s de cet échantillon.

2.On admet que la variable aléatoire X, qui à tout enfant de la ville, âgé de 13 à 14 ans associe sa taille,

suit une loi normale, de moyenne µ et d'écart-type σ.La variable aléatoire X, qui à tout échantillon de 35 enfants prélevés au hasard associe la moyenne associe la moyenne de leurs tailles, suit alors la loi normale N(

µ,n ) où n = 35.

a.À partir de l'échantillon étudié au 1., déterminer un intervalle de confiance avec le risque 5% de

la moyenne

µ, en prenant pour σ son estimation ponctuelle fournie par cet échantillon.b.Le chercheur désirant améliorer sa connaissance de

µ pense augmenter la taille de son

échantillon.

À partir de quel entier n0 un échantillon de taille n0 lui fournira-t-il un intervalle de confiance au seuil de 5% d'amplitude inférieure à 1 cm?quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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Comment calculer les intervalles de confiance de la moyenne d’une loi normale ?

Quelle est la notation de l’intervalle de confiance?

Quelle est la limite de l’intervalle de confiance ?

Quelle est la différence entre la standardisation et l’intervalle de confiance?

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TP1 Variation du coefficient de confiance

500 mg. Soucieux de respecter ces indications, il décide de vérifier sa production.

1.Déterminer une estimation de m par un intervalle de confiance avec le coefficient de confiance 95%.

2.Même question avec le coefficient de confiance 90%, puis avec le coefficient de confiance 99%.

3.Qu'observe-t-on sur les intervalles de confiance de la moyenne µ de la population obtenus à partir

4.Peut-on situer la position de la moyenne

100 véhicules :

Vitesse en km/hEffectif

1.Déterminer la moyenne e et l'écart-type sigmae des vitesses pour cet échantillon. Arrondir à

2.À partir des résultats obtenus pour cet échantillon, proposer une estimation ponctuelle de la moyenne

On prend pour valeur de

µ de la population avec le coefficient de

4.Quelle doit être la taille minimale de l'échantillon pour connaître, avec le coefficient de confiance

95%, la vitesse moyenne de la population à 0,5 km/h près?

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Exercice 1

Une machine fabrique des jetons circulaires.

µ et d'écart-type n=

1.Déterminer la loi suivie par la variable aléatoire X-

2.Un échantillon de taille 100 extrait de la fabrication fournit une moyenne de 40 et un écart-type égal

σ = 1, déterminer pour la moyenne µ un

3.Même question avec le coefficient de confiance 98%.

Exercice 2

36 dosages du calcium sérique ont ainsi été effectuées. Ils ont donné des concentrations en calcium allant de

94,5 à 102,5 mg.L -1, réparties de la manière suivante :

Ca mg.L -1Nombre

599,5 ; 100,5[5

1.Calculer une valeur approchée de la moyenne

2.On suppose que la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 36 dosage associe la

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Exercice 3

1.Un chercheur désire connaître la taille moyenne des enfants âgés de 13 à 14 ans d'une ville. Il

Taille (en cm)Effectifs

2.On admet que la variable aléatoire X, qui à tout enfant de la ville, âgé de 13 à 14 ans associe sa taille,

µ,n ) où n = 35.

µ pense augmenter la taille de son

échantillon.